9.10: Derivación de ecuaciones de respuesta para sistemas de segundo orden sobreamortiguados

Porque\(\zeta>1\), podemos considerar la frecuencia natural amortiguada como un número imaginario:

\[\omega_{d}=\omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}}=j \omega_{n} \sqrt{\zeta^{2}-1} \equiv j \mu_{d} \quad \text { where } \quad \mu_{d} \equiv \omega_{n} \sqrt{\zeta^{2}-1} \text { is real }\label{eqn:9.44} \]

El método general para derivar ecuaciones de respuesta transitoria para el caso sobreamortiguado es sustituir la ecuación\(\ref{eqn:9.44}\) en la ecuación 9.3.5 de transformada de Laplace, y luego proceder a invertir la ecuación resultante, conduciendo a expresiones generales que incluyen términos de respuesta IC e integrales de convolución, análogas a las Ecuaciones 9.3.8 y 9.3.9.

Existe un método más fácil para encontrar ecuaciones de respuesta del sistema sobreamortiguado si ya se han derivado las ecuaciones comparables del sistema subamortiguado. El método consiste\(\ref{eqn:9.44}\) en utilizar Ecuación para convertir términos trigonométricos de las\(\zeta<1\) ecuaciones en términos hiperbólicos para las\(\zeta>1\) ecuaciones. De tarea Problema 2.13, tenemos las siguientes conversiones válidas para\(\zeta>1\):

\[\cos \omega_{d} t=\cosh \mu_{d} t \quad \text { and } \quad \frac{\sin \omega_{d} t}{\omega_{d}}=\frac{\sinh \mu_{d} t}{\mu_{d}}\label{eqn:9.45} \]

Un ejemplo de aplicación de Ecuaciones\(\ref{eqn:9.44}\) y\(\ref{eqn:9.45}\) es la conversión de la Ecuación 9.4.1 de la respuesta IC de la forma subamortiguada (\(\zeta<1\)) a la forma sobreamortiguada (\(\zeta>1\)):

\[x(t)=e^{-\zeta \omega_{n} t}\left[x_{0} \cos \omega_{d} t+\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\omega_{d}}\right) \sin \omega_{d} t\right] \text { for } 0 \leq \zeta<1 \nonumber \]

\[\Rightarrow \quad x(t)=e^{-\zeta \omega_{n} t}\left[x_{0} \cosh \mu_{d} t+\left(\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\mu_{d}}\right) \sinh \mu_{d} t\right] \text { for } \zeta>1\label{eqn:9.46a} \]

en el que\(\mu_{d}=\omega_{n} \sqrt{\zeta^{2}-1}\). Esta ecuación de respuesta IC es válida para\(0 \leq t\) y\(\zeta>1\). Las funciones hiperbólicas se definen en términos de funciones exponenciales como

\[\cosh \mu_{d} t=\frac{e^{\mu_{d} t}+e^{-\mu_{d} t}}{2} \quad \text { and } \quad \sinh \mu_{d} t=\frac{e^{\mu_{d} t}-e^{-\mu_{d} t}}{2} \nonumber \]

Por lo tanto, la Ecuación de Respuesta IC se\(\ref{eqn:9.46a}\) puede escribir un poco más claramente como

\[x(t)=\frac{1}{2} e^{-\zeta \omega_{n} t}\left[e^{\mu_{d} t}\left(x_{0}+\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\mu_{d}}\right)+e^{-\mu_{d} t}\left(x_{0}-\frac{\dot{x}_{0}+\zeta \omega_{n} x_{0}}{\mu_{d}}\right)\right]\label{eqn:9.46b} \]

Todos los términos en Ecuación\(\ref{eqn:9.46b}\) están amortiguados exponencialmente. Incluso el primer término entre corchetes se desintegra exponencialmente porque\(-\zeta \omega_{n}+\mu_{d}=-\zeta \omega_{n}+\omega_{n} \sqrt{\zeta^{2}-1}=-(\zeta-\sqrt{\zeta^{2}-1}) \omega_{n}<0\) para\(\zeta>1\).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): \(RC\) band-pass filter, an overdamped 2^nd order system

Revisitamos la Sección 5.4, donde el voltaje de entrada al filtro\(RC\) paso banda se define como\(e_{i}(t)\), el voltaje de circuito medio entre etapas paso bajo y paso alto es\(e_{m}(t)\), y el voltaje de salida es\(e_{o}(t)\); también, las constantes ^de tiempo de primer orden de las etapas paso bajo y paso alto están (\(\tau_{L}\)y\(\tau_{H}\), respectivamente, definidos en términos de valores de resistencia y capacitancia en el circuito. Las dos ODE ^acopladas de primer orden derivadas en la Sección 5.4 son

\[\text{for the low-pass filter stage, }\tau_{L} \dot{e}_{m}+e_{m}=e_{i}\label{eqn:5.16} \]

\[\text{for the high-pass filter stage, }\tau_{H} \dot{e}_{o}+e_{o}=\tau_{H} \dot{e}_{m}\label{eqn:5.17} \]

Combinamos estas ODE ^acopladas de primer orden en una sola ODE ^{de segundo} orden con las siguientes operaciones: diferenciar Ecuaciones\(\ref{eqn:5.16}\) y\(\ref{eqn:5.17}\); en la Ecuación diferenciada\(\ref{eqn:5.16}\), reemplazar\(\dot{e}_{m}\) usando la Ecuación original\(\ref{eqn:5.17}\), y reemplazar\(\ddot{e}_{m}\) usando la Ecuación diferenciada\(\ref{eqn:5.17}\); reorganizar y recopilar términos para encontrar la ODE que relaciona la salida con\(e_{o}(t)\) la entrada\(e_{i}(t)\):

\[\tau_{L} \tau_{H} \ddot{e}_{o}+\left(\tau_{L}+\tau_{H}\right) \dot{e}_{o}+e_{o}=\tau_{H} \dot{e}_{i}\label{eqn:9.47} \]

Debido a la dinámica del lado derecho (la presencia de\(\dot{e}_{i}\) más que solo\(e_{i}\)), no podemos convertir toda esta ecuación en la forma estándar Ecuación 9.2.2; ver tarea Problema 9.15 para una forma estándar modificada de ODE y para soluciones de respuesta integral de convolución. Sin embargo, el orden del circuito está determinado solo por los términos del lado izquierdo, y es claramente de ^segundo orden, con frecuencia natural y relación de amortiguación definidas como

\[\omega_{n}=\frac{1}{\sqrt{\tau_{L} \tau_{H}}} \quad \text { and } \quad \zeta=\frac{1}{2 \omega_{n}} \frac{\tau_{L}+\tau_{H}}{\tau_{L} \tau_{H}}=\frac{1}{2} \frac{\tau_{L}+\tau_{H}}{\sqrt{\tau_{L} \tau_{H}}} \nonumber \]

Supongamos, por ejemplo, que un circuito en particular tiene las frecuencias de corte paso alto y paso bajo\(f_{H}\) = 10 Hz y\(f_{L}\) = 500 Hz, respectivamente. Entonces las constantes de tiempo son\(\tau_{H}=1 / \omega_{H}=1 /\left(2 \pi f_{H}\right)=1.592 \mathrm{e}-2\) s, y\(\tau_{L}=1 / \omega_{L}=1 /\left(2 \pi f_{L}\right)=3.183 \mathrm{e}-4\) s, y la frecuencia natural no amortiguada es\(\omega_{n}=4.443 \mathrm{e} 2\) rad/s (\(f_{n}=\omega_{n} / 2 \pi=70.71\)Hz). Finalmente, la relación de amortiguación es\(\zeta=3.606\), lo que significa que se trata de un sistema fuertemente sobreamortiguado.