10.3: Respuesta de Frecuencia de Sistemas Masa-Amortiguador-Muelle

Revisando el sistema mecánico básico de ^segundo orden de la Figura 9.1.1 y Sección 9.2, tenemos las ODEs de orden\(m\)\(c\) -\(k\) y estándar de 2 ^° orden:

\[m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=f_{x}(t) \Rightarrow \ddot{x}+2 \zeta \omega_{n} \dot{x}+\omega_{n}^{2} x=\omega_{n}^{2} u(t)\label{eqn:10.15} \]

con las definiciones

\[\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}}, \quad \zeta \equiv \frac{c}{2 m \omega_{n}}=\frac{c}{2 \sqrt{m k}} \equiv \frac{c}{c_{c}}, \quad u(t) \equiv \frac{1}{k} f_{x}(t)\label{eqn:10.16} \]

Así podemos usar la correspondencia\(U=F / k\) para adaptar FRF (10-10) directamente para\(m\) -\(c\) -\(k\) sistemas:

\[\frac{X(\omega)}{F / k}=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+(2 \zeta \beta)^{2}}}, \quad \phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(\frac{-2 \zeta \beta}{1-\beta^{2}}\right), \quad \beta \equiv \frac{\omega}{\sqrt{k / m}}\label{eqn:10.17} \]

En la forma conceptualmente más simple de prueba de vibración forzada de un sistema ^{mecánico lineal de segundo} orden, un agitador generador de fuerza (un motor de traslación electromagnético o hidráulico) impone sobre la masa del sistema una fuerza sinusoidalmente variable a frecuencia cíclica\(f\), \(f_{x}(t)=F \cos (2 \pi f t)\). La traslación sinusoidal resultante en estado estacionario de la masa es\(x(t)=X \cos (2 \pi f t+\phi)\). Los sensores calibrados detectan y\(x(t)\), y luego\(F\)\(X\),\(f\) y\(\phi\) se miden a partir de las señales eléctricas de los sensores. En principio, la prueba implica un barrido de seno escalonado: las mediciones se realizan primero a una frecuencia de límite inferior en un estado estacionario, luego la frecuencia se incrementa hacia arriba en algún pequeño incremento y se realizan nuevamente las mediciones de estado estacionario; este paso de frecuencia se repite una y otra vez hasta que se haya cubierto la banda de frecuencia deseada y se\(f\) puedan dibujar gráficas suaves de\(X / F\) y\(\phi\) versus frecuencia.

Para la identificación de sistemas (ID) de ^segundo orden, sistemas mecánicos lineales, es común escribir la relación frecuencia-magnitud respuesta de la Ecuación\(\ref{eqn:10.17}\) en forma de una magnitud dimensional de flexibilidad dinámica ¹:

\[\frac{X(\omega)}{F}=\frac{1}{k} \frac{1}{\sqrt{\left(1-\beta^{2}\right)^{2}+(2 \zeta \beta)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{\left(k-m \omega^{2}\right)^{2}+c^{2} \omega^{2}}}\label{eqn:10.18} \]

Además, en términos de los\(k\) parámetros básicos\(m\), el ángulo de fase de la Ecuación\(\ref{eqn:10.17}\) es\(c\)

\[\phi(\omega)=\tan ^{-1}\left(\frac{-c \omega}{k-m \omega^{2}}\right)\label{eqn:10.19} \]

Tenga en cuenta que si\(\omega \rightarrow 0\), la ecuación de flexibilidad dinámica\(\ref{eqn:10.18}\) reduce solo a la flexibilidad estática (la inversa de la constante de rigidez)\(X(0) / F=1 / k\), que tiene sentido físicamente. De hecho, el primer paso en el proceso de ID del sistema es determinar la constante de rigidez. Los agitadores electromagnéticos no son muy efectivos como máquinas de carga estática, por lo que podría requerirse una prueba estática independiente de la prueba de vibración. En principio, la fuerza estática\(F\) impuesta sobre la masa por una máquina de carga hace que la masa se traduzca una cantidad\(X(0)\), y la constante de rigidez se calcula a partir de

\[k=\frac{F}{X(0)}\label{eqn:10.20} \]

Sin embargo, supongamos que es más conveniente agitar la masa a una frecuencia relativamente baja (que sea compatible con las capacidades del agitador) que realizar una prueba estática independiente. Obsérvese de la Figura 10.2.1 que si la frecuencia de excitación es menor que aproximadamente el 25% de la frecuencia natural\(\omega_n\), entonces la magnitud de la flexibilidad dinámica es esencialmente la misma que la flexibilidad estática, por lo que una buena aproximación a la constante de rigidez es

\[k \approx\left(\frac{X\left(\omega \leq 0.25 \omega_{n}\right)}{F}\right)^{-1}\label{eqn:10.21} \]

Incluso si es posible generar datos de respuesta de frecuencia a frecuencias tan bajas como 60-70% de\(\omega_n\), todavía se puede extrapolar con conocimiento la curva de flexibilidad dinámica hacia abajo a muy baja frecuencia y aplicar la ecuación\(\ref{eqn:10.21}\) para obtener una estimación de\(k\) que probablemente sea suficiente precisa para la mayoría de los propósitos de ingeniería.

Suponiendo que se hayan recopilado todos los datos experimentales necesarios, y suponiendo que el sistema pueda modelarse razonablemente como un\(k\) sistema LTI, SISO,\(m\)\(c\) - con amortiguación viscosa, entonces los pasos del algoritmo de cálculo de ID de sistema posterior son:

1. Calcular\(k\) a partir de la Ecuación\(\ref{eqn:10.20}\) y/o Ecuación\(\ref{eqn:10.21}\), preferiblemente ambas, para verificar que tanto las pruebas estáticas como las dinámicas conduzcan al mismo resultado.
2. Determinar la frecuencia natural\(\omega_{n}\) de las curvas de respuesta de frecuencia. La frecuencia a la que el ángulo de fase es −90° es la frecuencia natural, independientemente del nivel de amortiguación. Además, si la relación de amortiguación viscosa\(\zeta\) es pequeña, menor que aproximadamente 0.2, entonces la frecuencia a la que los picos de flexibilidad dinámica es esencialmente la frecuencia natural. Con\(\omega_{n}\) y\(k\) conocido, calcular la masa:\(m=k / \omega_{n}^{2}\).
3. Medir la resonancia (pico) flexibilidad dinámica,\(X_{r} / F\). Entonces la ecuación de amplificación dinámica máxima Ecuación 10.2.9 da la siguiente ecuación a partir de la cual se\(\zeta \leq 1 / \sqrt{2}\) puede calcular cualquier relación de amortiguación viscosa: \[\frac{X_{r}}{F / k}=k\left(\frac{X_{r}}{F}\right)=\frac{1}{2 \zeta \sqrt{1-\zeta^{2}}}\label{eqn:10.22} \]El cálculo se simplifica considerablemente si\(\zeta\) es pequeño, menos de aproximadamente 0.2: \[\frac{1}{2 \zeta} \approx k\left(\frac{X_{r}}{F}\right) \Rightarrow \zeta \approx \frac{1}{2}\left[k\left(\frac{X_{r}}{F}\right)\right]^{-1}\label{eqn:10.23} \]Finalmente, el La constante de amortiguación viscosa se calcula a partir de la ecuación\(\ref{eqn:10.16}\): \[c=c_{c} \times \zeta=2 \zeta \sqrt{m k}=2 \zeta m \omega_{n}\label{eqn:10.24} \]

¹ Sin embargo, ver tarea Problema 10.16 por las razones prácticas por las que a menudo podría ser mejor medir la rigidez dinámica, Ec. (10-31), en lugar de la flexibilidad dinámica.