10.4: Función de frecuencia-respuesta de un filtro de paso de banda RC

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Volvemos a visitar la Sección 5.4 y el ejemplo de la Sección 9.10, donde se demuestra que un filtro de\(RC\) paso de banda típico, como se muestra a continuación, es un sistema de ^segundo orden sobreamortiguado con dinámica del lado derecho. Nuestro objetivo ahora es derivar el FRF de este circuito de filtro. ^{En lugar de analizar directamente la ODE 9.10.9 de ^segundo orden, es instructivo comenzar con las ODEs acopladas de primer orden de las dos etapas: Ecuación 5.4.1,\(\tau_{L} \dot{e}_{m}+e_{m}=e_{i}\), con\(\tau_{L}=R_{L} C_{L}\), para el filtro de paso bajo aguas arriba; y Ecuación 5.4.2,\(\tau_{H} \dot{e}_{o}+e_{o}=\tau_{H} \dot{e}_{m}\), con\(\tau_{H}=R_{H} C_{H}\), para el flujo descendente, alto} -filtro de paso. En este enfoque, representamos un sistema (el filtro paso banda, en este caso) como un conjunto de etapas o subsistemas de orden inferior (los filtros paso bajo y paso alto, en este caso). Esta sección es un adelanto de la discusión más general que comienza en el Capítulo 13.

Figura\(\PageIndex{1}\): filtro\(RC\) de paso de banda

Tomando la transformación de Laplace de la ODE para la etapa de paso bajo, con el supuesto de que todos los CI son cero, da

\[\left.\left(\tau_{L} s+1\right) L\left[e_{m}\right]\right|_{I C s=0}=\left.L\left[e_{i}\right] \Rightarrow L\left[e_{m}\right]\right|_{/ C s=0}=\frac{1}{\tau_{L} s+1} L\left[e_{i}\right]\label{eqn:10.25} \]

A continuación, tomamos la transformada de Laplace de la ODE para la etapa de paso alto, aún con la suposición de que todos los CI son cero, y luego sustituimos Ecuación\(\ref{eqn:10.25}\) en el resultado:

\[\left(\tau_{H} s+1\right) L\left[e_{o}\right]_{/ C s=0}=\left.\tau_{H} s L\left[e_{m}\right]\right|_{I C s=0} \nonumber \]

\[\left.\Rightarrow \quad L\left[e_{o}\right]\right|_{I C s=0}=\left.\frac{\tau_{H} S}{\tau_{H} S+1} L\left[e_{m}\right]\right|_{I C s=0}=\frac{\tau_{H} s}{\tau_{H} s+1} \times \frac{1}{\tau_{L} s+1} L\left[e_{i}\right]\label{eqn:10.26} \]

Entonces, la función de transferencia de todo el circuito\(RC\) de filtro de paso de banda, que muestra claramente la dinámica del lado derecho, es

\[T F(s) \equiv \frac{\left.L\left[e_{o}\right]\right|_{I C_{s=0}}}{L\left[e_{i}\right]}=\frac{\tau_{H} s}{\left(\tau_{H} s+1\right)\left(\tau_{L} s+1\right)}\label{eqn:10.27} \]

Finalmente, la función de frecuencia-respuesta compleja del sistema es

\[F R F(\omega)=T F(j \omega)=\frac{j \omega \tau_{H}}{\left(j \omega \tau_{H}+1\right)\left(j \omega \tau_{L}+1\right)}\label{eqn:10.28} \]

Ver tarea Problema 10.11 para una evaluación numérica de esta respuesta de frecuencia que demuestre la función práctica para la que se diseña un filtro pasabanda.