10.5: Funciones comunes de frecuencia-respuesta

El término función frecuencia-respuesta (FRF) es general, significando físicamente la magnitud y fase en la variación sinusoidal de estado estacionario con el tiempo de alguna variable sujeto, relativa a la magnitud y fase de alguna otra variable de referencia. A menudo, pero no siempre, la variable sujeto es claramente una respuesta física (salida), y la variable de referencia es claramente una excitación física (entrada). Durante más de un siglo de desarrollo, los ingenieros han encontrado usos para muchos tipos diferentes de sujetos FRF y variables de referencia, y los nombres para estos tipos son ampliamente reconocidos. Muchas de las definiciones más comunes de estas FRF, sus nombres y ejemplos se presentan en esta sección.

Los diagramas como la Figura 4.3.1 y las Figuras 10.1.1 y 10.2.1 muestran FRF gráficamente, y hay muchas formas diferentes de estos diagramas. Una de las formas más conocidas y útiles es el diagrama Bode, en el que la magnitud relativa y la fase se trazan por separado contra la frecuencia sinusoidal, que se encuentra en una escala logarítmica (como en la Figura 10.2.1). La magnitud relativa generalmente se traza en la escala de decibelios [\(\mathrm{dB}=20 \times \log _{10}\text{(relative magnitude)}\)], y la fase relativa generalmente se expresa en grados. Otro formato gráfico útil para los FRF es el diagrama o trama Nyquist (después de Harry Nyquist, ingeniero eléctrico y físico estadounidense nacido en Suecia, 1889-1976), que se describe extensamente en la Sección 17.2. La aplicación de diagramas Bode y diagramas Nyquist al análisis de sistemas de control se discute en el Capítulo 17.

El uso de FRF aparentemente comenzó durante la década de 1880 con las definiciones de admitancia e impedancia en el contexto de la ingeniería eléctrica. A la admisión eléctrica se le asigna tradicionalmente el símbolo\(Y(\omega)\). \(\Delta e(t)\)Al ser una diferencia de voltaje especificada y\(i(t)\) siendo una corriente especificada, la admitancia se define por la ecuación

\[Y(\omega)=\left\{\frac{L[i(t)]}{L[\Delta e(t)]}\right\}_{s=j \omega}\label{eqn:10.29} \]

Tenga en cuenta que Laplace se transforma en Ecuación\(\ref{eqn:10.29}\) y todas las demás definiciones de FRF son para cero condiciones iniciales. A la impedancia eléctrica se le asigna tradicionalmente el símbolo\(Z(\omega)\), y se define como la inversa de la admitancia:\(Z(\omega)=1 / Y(\omega)\). En general, la admisión es el grado en que un sistema eléctrico admite (o permite, si se prefiere) el flujo de corriente, y la impedancia es el grado en que el sistema impide el flujo de corriente. Los ejemplos más simples de admitancia eléctrica e impedancia son para una resistencia lineal ideal de resistencia\(R\), con diferencia de voltaje\(\Delta e(t)\) a través de la resistencia y corriente\(i(t)\) que fluye a través de ella. La ley de Ohm, Ecuación 5.2.1, es\(\Delta e(t)=R \times i(t)\), así\(Y(\omega)=1 / R\) y\(Z(\omega) = R\), la misma para todas las frecuencias ¹.

Los FRF eléctricos para un condensador lineal ideal con capacitancia\(C\) son más complicados. La relación entre la diferencia de voltaje\(\Delta e(t)\) en un condensador y la corriente\(i(t)\) que fluye a través de él es la Ecuación 5.2.4:\(i(t)=C \times d[\Delta e(t)] / d t\). Tomando la transformada de Laplace de esta ecuación da\(L[i(t)]=C \times s L[\Delta e(t)]\), entonces, a partir de la ecuación\(\ref{eqn:10.29}\), la admitancia de un condensador es\(Y(\omega)=j \omega C\), y su impedancia es\(Z(\omega)=1 /(j \omega C)=-j \times 1 /(\omega C)\). La magnitud de esta impedancia se denomina reactancia capacitiva (Hammond, 1961, pp. 97-100), y suele escribirse como\(X_{C}=1 /(\omega C)=1 /(2 \pi f C)\). Físicamente, para una magnitud dada de diferencia de voltaje y una capacitancia dada\(C\), la magnitud de corriente permitida por un condensador es directamente proporcional a la frecuencia\(\omega\) o\(f\), y la corriente conduce la diferencia de voltaje en 90°.

La relación entre la diferencia de voltaje\(\Delta e(t)\) a través de un inductor lineal ideal y la corriente\(i(t)\) que fluye a través de él es la Ecuación 5.2.9:\(\Delta e(t)=\mathcal{L} \times d i(t) / d t\) denotando inductancia solo\(\equiv \mathcal{L}\) en este párrafo, para distinguirla del operador de transformación de Laplace\(L\)). Se puede demostrar fácilmente que la admitancia asociada y la impedancia son, respectivamente,\(Y(\omega)=1 /(j \omega \mathcal{L})=-j \times 1 /(\omega \mathcal{L})\) y\(Z(\omega)=j \omega \mathcal{L}\). La magnitud de esta impedancia se llama reactancia inductiva, y generalmente se escribe como\(X_{\ell}=\omega \mathcal{L}=2 \pi f \mathcal{L}\). Físicamente, para una magnitud dada de diferencia de voltaje y una inductancia dada\(\mathcal{L}\), la magnitud de corriente permitida por un inductor es inversamente proporcional a la frecuencia\(\omega\) o\(f\), y la corriente retarda la diferencia de voltaje 90°.

Las variables sujeto y de referencia de las FRF comúnmente utilizadas para sistemas mecánicos y estructurales son, por supuesto, diferentes a las utilizadas para sistemas eléctricos. Durante gran parte del siglo ^XX aparecieron en la literatura de ingeniería nombres contradictorios y ambiguos para estos FRF, pero los nombres en inglés se han estandarizado de manera más uniforme en los últimos años, como lo describen Ewins, 1984, pp. 26-27, y por Maia y Silva, 1997, pp. 38-39. A continuación, derivaremos ecuaciones teóricas de FRF para un\(k\) sistema\(m\) -\(c\) -; sin embargo, en la práctica de ingeniería, estas definiciones de FRF también se aplican tanto teórica como experimentalmente para sistemas mecánicos y estructurales mucho más generales y más complicados.

Para la admisión mecánica, la variable objeto es un desplazamiento físico (traslación o rotación) en algún punto y en alguna dirección sobre el sistema mecánico o estructural, y la variable de referencia es una acción física (fuerza o momento) impuesta en algún punto y en alguna dirección sobre el sistema (Bisplinghoff et al. , 1955, pp. 663- 665). Así, para un\(k\) sistema\(m\)\(c\) -, a partir de la transformación de Laplace de la ODE\(m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=f_{x}(t)\), y con el uso de la notación definida en las Ecuaciones 10.2.5 y 10.3.2, la ecuación para la admitancia mecánica compleja es

\[\left\{\frac{L[x(t)]}{L\left[f_{x}(t)\right]}\right\}_{s=j \omega}=\frac{1}{\left(k-\omega^{2} m\right)+j \omega c}=\frac{1}{k}\left[\frac{1}{\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta}\right]\label{eqn:10.30} \]

La relación de magnitud y el ángulo de fase asociados a la Ecuación\(\ref{eqn:10.30}\) se escribieron anteriormente en las Ecuaciones 10.3.4 y 10.3.5. Algunos sinónimos en inglés para admisión mecánica son flexibilidad dinámica, cumplimiento dinámico y receptancia.

La inversa de la admitancia mecánica se conoce como rigidez dinámica (ocasionalmente también impedancia mecánica, pero este nombre generalmente denota una FRF diferente, como se describe a continuación); por lo tanto, la rigidez dinámica de un\(m\)\(k\) sistema es\(c\)

\[\left\{\frac{L\left[f_{x}(t)\right]}{L[x(t)]}\right\}_{s=j \omega}=\left(k-\omega^{2} m\right)+j \omega c=k\left[\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta\right]\label{eqn:10.31} \]

La definición de Ecuación\(\ref{eqn:10.31}\), con la transformación de Laplace de acción en el numerador y la de desplazamiento en el denominador, puede parecer poco ortodoxa, ya que una acción (fuerza o momento) suele ser la entrada física y un desplazamiento suele ser la salida física. Sin embargo, este tipo de FRF es útil en la práctica para mediciones experimentales, como se describe en la tarea Problema 10.16. La rigidez dinámica es también la base de un método avanzado para analizar teóricamente la dinámica de las estructuras de parámetros distribuidos (Clough y Penzien, 1975, capítulo 20; Fergusson y Pilkey, 1991).

Para los sistemas mecánicos y estructurales, también son de interés las derivadas de desplazamiento primera y segunda vez, principalmente porque los sensores de velocidad y, especialmente, los acelerómetros se utilizan a menudo para medir el movimiento. En consecuencia, se han definido los FRF apropiados. Para la movilidad, la variable sujeto es una velocidad, y la variable de referencia es una acción. Dado que\(L[\dot{x}(t)]=s \times L[x(t)]\), la movilidad de un\(m\)\(c\) -\(k\) sistema, a partir de la ecuación\(\ref{eqn:10.30}\), es

\[\left\{\frac{L[\dot{x}(t)]}{L\left[f_{x}(t)\right]}\right\}_{s=j \omega}=\frac{j \omega}{\left(k-\omega^{2} m\right)+j \omega c}=\frac{1}{c}\left[\frac{j 2 \zeta \beta}{\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta}\right]\label{eqn:10.32} \]

A la inversa de la movilidad se le suele dar el nombre de impedancia mecánica. En consecuencia, la impedancia mecánica de un\(k\) sistema\(m\)\(c\) - es

\[\left\{\frac{L\left[f_{x}(t)\right]}{L[\dot{x}(t)]}\right\}_{s=j \omega}=\frac{\left(k-\omega^{2} m\right)+j \omega c}{j \omega}=c\left[1-j\left(\frac{1-\beta^{2}}{2 \zeta \beta}\right)\right]\label{eqn:10.33} \]

Para la acelerancia (también conocida como inertancia), la variable sujeto es una aceleración, y la variable de referencia es una acción. Dado que\(L[\ddot{x}(t)]=s^{2} \times L[x(t)]\), la aceleración de un\(m\) -\(c\) -\(k\) sistema, a partir de la ecuación\(\ref{eqn:10.30}\), es

\[\left\{\frac{L[\ddot{x}(t)]}{L\left[f_{x}(t)\right]}\right\}_{s=j \omega}=\frac{(j \omega)^{2}}{\left(k-\omega^{2} m\right)+j \omega c}=\frac{1}{m}\left[\frac{-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta}\right]\label{eqn:10.32} \]

Vale la pena señalar que para la carga estática (\(\omega=0\)), la admitancia mecánica equivale a una flexibilidad estática distinta de cero, pero tanto la movilidad como la aceleración son cero. La inversa de la acelerancia se denomina masa aparente, motivada por la siguiente expresión para un\(m\) -\(c\) -\(k\) sistema:

\[\left\{\frac{L\left[f_{x}(t)\right]}{L[\ddot{x}(t)]}\right\}_{s=j \omega}=\frac{\left(k-\omega^{2} m\right)+j \omega c}{(j \omega)^{2}}=m\left[\left(1-\frac{1}{\beta^{2}}\right)-j \frac{2 \zeta}{\beta}\right]\label{eqn:10.35} \]

Todos los FRF mecánicos y estructurales descritos en esta sección tienen unidades dimensionales. Por ejemplo, las unidades comunes de acelerancia utilizadas en las pruebas dinámicas de estructuras son G o metros/s ² (de aceleración) por libra o newton (de fuerza).

¹ Claramente, la unidad SI para impedancia es el ohm (\(\Omega\)), el de la resistencia; aparentemente dado que la admitancia es la inversa de la impedancia, a la unidad SI para la admitancia se le dio el nombre caprichoso mho (\(\Omega^{-1}\)).