Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

10.7: Capítulo 10 Tarea

  • Page ID
    84580
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Los problemas 10.1—10.4 son problemas de respuesta de frecuencia (inspirados en Myklestad, 1944) sobre los sistemas estándar de amortiguador-resorte de masa de segundo orden. En cada caso, la masa es excitada por la fuerza sinusoidal\(f_{x}(t)=F \cos \omega t\), y responde con desplazamiento sinusoidal en estado estacionario\(x(t)=X \cos (\omega t+\phi)\), donde es la frecuencia de excitación en Hz\(f=\omega / 2 \pi\). Se dan algunas respuestas parciales para ayudarte a ver si estás en el camino correcto; aún debes calcular estos valores como si no se dieran las respuestas. Para obtener el máximo beneficio de estos problemas, utilice las ecuaciones apropiadas para los cálculos, pero también averigüe cómo se representan los resultados en las gráficas de magnitud y fase de FRF, Figuras 10.1.1 y 10.2.1. Asegúrese de usar el valor apropiado para\(g\), ya sea 386.1 pulgadas/s 2 o 9.807 m/s 2.

    1. (Myklestad, 1944, p. 61) Supongamos que el amortiguamiento es insignificante. El peso medido de la masa es\(W\) = 19.0 lb, y la rigidez del resorte es\(k\) = 13.0 lb/pulgada. Con\(F\) = 5.00 lb a cierta frecuencia de excitación, la amplitud de respuesta es\(X\) = 0.750 pulgadas. Calcular la amplificación dinámica adimensional\(X /(F / k)\). Hay dos frecuencias de excitación diferentes,\(f_{1}<f_{2}\), que pueden producir esta amplificación dinámica particular; calcular ambas frecuencias (en Hz), y la fase de respuesta\(\phi\) (en grados) en ambas frecuencias. (respuestas parciales:\(\phi_{1}\) = 0°,\(f_{2}\) = 3.18 Hz)
    2. Supongamos que el amortiguamiento es insignificante. El peso medido de la masa es\(W\) = 8.50 kg f, y la rigidez del resorte es\(k\) = 2.50 kN/m. Con\(F\) = 5.00 N a cierta frecuencia de excitación, la amplitud de respuesta es\(X\) = 20.0 mm. Calcular la amplificación dinámica adimensional\(X /(F / k)\). Hay dos frecuencias de excitación diferentes,\(f_{1}<f_{2}\), que pueden producir esta amplificación dinámica particular; calcular ambas frecuencias (en Hz), y la fase de respuesta\(\phi\) (en grados) en ambas frecuencias. (respuesta parcial:\(f_2\) = 2.86 Hz)
    3. La masa pesa\(W\) = 1.26 kN, y las constantes de amortiguación viscosa y resorte son, respectivamente,\(c\) = 2,400 N-S/m y\(k\) = 1.12 mN/m. Calcular la frecuencia natural no amortiguada\(f_{n}\) en Hz y la relación de amortiguación viscosa\(\zeta\). Supongamos que la amplitud de respuesta es\(X\) = 2.50 mm cuando la fase\(\phi\) = −90.0°; calcular la amplitud correspondiente\(F\) de la fuerza de excitación. (respuesta parcial:\(F\) = 560 N)
    4. (Myklestad, 1944, p. 113) La masa pesa\(W\) = 2.36 lb, y las constantes de amortiguación elástica y viscosa son, respectivamente,\(k\) = 37.8 lb/pulgada, y\(c\) = 0.0169 lb-s/pulgada. La amplitud de la fuerza es\(F\) = 0.785 lb Calcular la constante de amortiguación crítica\(c_{c}\), la relación de amortiguación\(\zeta\), la amplitud máxima posible de respuesta\(X_{r}\) y la amplitud\(X\) y fase\(\phi\) (en grados) para excitación a 13.0 Hz. (Nota: para calcular\(\phi\) correctamente, debes tener en cuenta cuidadosamente el cuadrante de la fracción en el argumento arcotangente; si solo calculas la fracción y usas la función arctan en tu calculadora, obtendrás la respuesta equivocada; si necesitas ayuda, consulta el comando atan2 en MATLAB). ¿La pequeña\(\zeta\) aproximación es apropiada para este sistema? (respuestas parciales:\(X_{r}\) = 0.591 pulgadas,\(\phi\) = −155°)
    5. Se realiza una medición de respuesta de frecuencia en un\(k\) sistema estándar de orden\(m\) -\(c\) - con constante de rigidez conocida\(k\), de manera que el desplazamiento pseudo-estático de entrada se calcula a partir de la fuerza de entrada medida,\(u(t)=f_{x}(t) / k\). A continuación se muestra un gráfico medido de los desplazamientos de entrada y salida a una frecuencia de excitación particular. Calcule a partir de la gráfica, con tanta precisión como permitan los datos, las siguientes cantidades: la frecuencia (en Hz); la relación de magnitud FRF\(X / U\); la fase FRF\(\phi\) (en grados). ¿Cuáles son la frecuencia natural\(f_n\) (en Hz) y la relación\(\zeta\) de amortiguación de este sistema?
      clipboard_e983dc0907a2da52f2ae3437677c4bf46.png
      Figura\(\PageIndex{1}\)
    6. El sistema mecánico de la tarea Problema 9.1 [con\(f_{x}(t)=0\)] tiene entrada\(x_i(t)\) y salida de excitación base\(x(t)\). La ODE del movimiento es\(m \ddot{x}+\left(c_{1}+c_{2}\right) \dot{x}+k x=c_{1} \dot{x}_{i}+k x_{i}\), que incluye la dinámica del lado derecho (RHS), donde\(m\) está la masa,\(c_1\) y\(c_2\) son constantes de amortiguación viscosas, y\(k\) es la constante de rigidez.
      clipboard_e561523cb1abc87557cfbc473be8a5968.png
      Figura\(\PageIndex{2}\)
      1. Derivar para este sistema la función de transferencia\(\operatorname{TF}(s)=\left.L[x(t)]\right|_{I C s=0} / L\left[x_{i}(t)\right]\).
      2. Utilice el resultado fundamental\(T F(j \omega)=F R F(\omega)=\left[X(\omega) / X_{i}\right] e^{j \phi(\omega)}\) y el resultado de la parte 10.6.1 para derivar la ecuación algebraica relativamente simple para la relación de magnitud real\(X(\omega) / X_{i}\). Esta ecuación debe ser en términos de parámetros físicos\(m\),,\(c_1\)\(c_2\), y\(k\), y frecuencia de excitación\(\omega\). [NOTA: Debes implementar la división compleja por el método polar descrito en la Sección 2.1; no uses el método rectangular, ¡porque producirá un horrible lío algebraico!] Si lo desea, puede derivar la ecuación algebraica/trigonométrica relativamente simple asociada para el ángulo de fase real\(\phi(\omega)\) (en radianes), pero eso no es obligatorio.
      3. Dejar que las constantes del sistema sean\(m\) = 128.5 kg,\(c_1\) = 1,600 N-S/m,\(c_2\) = 800 N-S/m, y\(k\) = 1.12 mN/m. Calcular y graficar la respuesta de frecuencia (relación de magnitud\(X / X_{i}\), y fase\(\phi\) en grados) en el rango de frecuencias de excitación 0-30 Hz. Utilice el formato gráfico por debajo de la Figura 10.2.1, excepto graficar ambas gráficas en escalas lineales (no logarítmicas). Como en el script que produjo la Figura 10.2.1, deje que MATLAB haga la mayor parte del trabajo por usted comenzando con la función de respuesta de frecuencia compleja\(F R F(\omega)\) de la parte 10.6.2, luego usando la capacidad de MATLAB para realizar aritmética compleja con las funciones abs y angle . Si necesita ayuda con las multiplicaciones de matriz requeridas para este FRF, consulte las líneas de comando "frf=...” en el script que produjo la Figura 10.2.1. Envíe su script de MATLAB junto con sus gráficas FRF.
    7. El dibujo representa un modelo muy simplificado de un vehículo terrestre circulando sobre una carretera ondulada (tabla de lavar) con velocidad constante hacia adelante\(V\). La masa del vehículo es\(m\), y está conectada a la rueda rodante a través del puntal de choque que tiene constante de amortiguación viscosa\(c\) y constante de rigidez\(k\). La desviación de la superficie de la carretera de la planitud se denota como\(y_{s}(x)=Y_{s} \cos (2 \pi x / \lambda)\), en la que\(x\) se encuentra la distancia horizontal recorrida desde una posición de referencia,\(Y_s\) es la amplitud (altura de ola en las crestas), y\(\lambda\) es la longitud de ola. Hacemos las siguientes suposiciones para este modelo: la rueda en sí es rígida, rueda sin deslizarse, y mantiene contacto con la carretera en todo momento debido al peso de la masa\(m\); además, la altura de ola\(Y_s\) es pequeña en relación con el radio de la rueda, de manera que, en efecto, el punto de contacto es siempre directamente debajo del eje de la rueda, lo que significa que\(y_s\) juega el papel de excitación de base, y esencialmente es una función del tiempo:\(y_{s}(x)=Y_{s} \cos \omega t\).
      1. Supongamos por el momento que\(y_{s}(t)\) es excitación base arbitraria. Dibuje un diagrama dinámico de masa\(m\) en cuerpo libre y derive de su DFBD la ODE del movimiento dinámico vertical\(y(t)\), medido en relación con la posición de equilibrio estático para una superficie de carretera plana. Primero, escribe la ODE en términos de constantes\(m\)\(c\), y\(k\); segundo, usa las definiciones estándar de las ecuaciones 7.1.3 y 9.1.6 para escribir la ODE en términos de frecuencia natural\(\omega_{n}\) y relación de amortiguación viscosa\(\zeta\).
      2. Utilice la segunda ODE de la parte 10.7.1 para derivar la función de respuesta de frecuencia compleja para entrada\(y_{s}(t)\) y salida arbitrarias\(y(t)\) como s\(F R F(\omega)=\frac{1+j 2 \zeta \beta}{\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta} \equiv \frac{Y(\omega)}{Y_{s}} e^{j \phi(\omega)}\), en la cual\(\beta \equiv \omega / \omega_{n}\). A pesar de que este sistema tiene dinámicas del lado derecho que influyen en la respuesta, consideremos la condición\(\omega=\omega_{n}\). Derivar ecuaciones para relación de magnitud\(Y\left(\omega_{n}\right) / Y_{s}\) y fase de FRF\(\phi\left(\omega_{n}\right)\), en términos de\(\zeta\). (NOTA: Para obtener el álgebra más manejable, implementar la división compleja por el método polar descrito en la Sección 2.1, no por el método rectangular.) Si\(\zeta\) es pequeño, por ejemplo\(\zeta=0.05\), ¿qué tan cerca están sus valores de\(Y\left(\omega_{n}\right) / Y_{s}\) y\(\phi\left(\omega_{n}\right)\) de los valores\(\omega=\omega_{n}\) que prevalecerían si no hubiera dinámicas del lado derecho?
      3. Para la superficie de la carretera de tabla de lavar, utilizamos la relación cinemática\(x=V t\) para expresar la excitación base como una función sinusoidal:\(y_{s}(t)=Y_{s} \cos (2 \pi V t / \lambda) \equiv Y_{s} \cos \omega t\), en la cual\(\omega \equiv 2 \pi V / \lambda\). Escribir la ecuación algebraica, en términos de\(m\),, y\(k\)\(\lambda\), para la velocidad\(V_{n}\) a la que la frecuencia de excitación base es igual a la frecuencia natural no amortiguada,\(\omega=\omega_{n}\).
    8. Se sabe que un dispositivo particular es un sistema LTI de amortiguador-muelle de masa. Usted (el ingeniero) debe identificar experimentalmente la masa\(m\), la constante\(c\) de amortiguación viscosa y la constante de rigidez\(k\). Primero, aplicas una fuerza estática de 162 lb y observas que la masa se desvía estáticamente 0.108 pulgadas. A continuación, ejecuta una prueba de frecuencia-respuesta de seno escalonado, aplicando fuerza sinusoidal sobre la masa, aumentando la frecuencia en pequeños incrementos de 8 a 20 Hz. Se mide en cada frecuencia la magnitud de la fuerza de entrada en estado estacionario\(F\) (en libras), la magnitud de traslación de salida\(X\) (en pulgadas) y la fase de traslación relativa a la fuerza. La respuesta de frecuencia se grafica a continuación. Utilice esta información para calcular\(m\)\(c\), y\(k\) en unidades consistentes y con tanta precisión como los datos lo permitan. Mostrar todos los cálculos.
      clipboard_ead10c7dc464f30882ac7ac254f131393.png
      Figura\(\PageIndex{3}\)
    9. Se sabe que un dispositivo en particular es un sistema LTI de masa-amortiguador-resorte, pero se\(k\) desconocen la masa\(m\), la constante\(c\) de amortiguación viscosa y la constante de rigidez. Se requiere que los parámetros del sistema se identifiquen experimentalmente con una combinación de pruebas estáticas y de vibración. Primero, se aplica una fuerza estática de 52.0 N, y se mide la masa para desviar estáticamente 1.13 mm. A continuación, se aplica fuerza sinusoidal a la masa mediante un agitador electromagnético, con la frecuencia incrementada en pequeños incrementos de 1 a 10 Hz. La magnitud de la fuerza de entrada en estado estacionario\(F\) y la magnitud de traslación de salida\(X\) se miden en cada frecuencia, al igual que la fase\(\phi\) de traslación relativo a la fuerza. La relación frecuencia-respuesta traslación-fuerza magnitud y fase se trazan a la izquierda. Utilice esta información para calcular\(m\)\(c\), y\(k\) en unidades SI consistentes y con tanta precisión como los datos lo permitan. Mostrar todos los cálculos.
      clipboard_e218e7b0037ec09a932c8a3cf147c9ef7.png
      Figura\(\PageIndex{4}\)
    10. A usted, el ingeniero, se le pide que determine experimentalmente las constantes eléctricas (inductancia\(L\) y resistencia\(R_L\)) de una bobina pequeña, con base en el modelo simple de inductor y resistencia en serie, para ver si estas constantes coinciden con las especificaciones de diseño. Usted elige inferir estas constantes a partir de una prueba de respuesta de frecuencia en un\(LRC\) circuito accionado por un generador de voltaje de onda sinusoidal, con la bobina conectada en serie a un condensador calibrado con capacitancia\(C\) = 0.500\(\mu\) F. El circuito se muestra en el dibujo (del ejemplo en la Sección 9.2), y su ODE en forma de orden 2 nd estándar es\(\ddot{e}_{o}+\frac{R}{L} \dot{e}_{o}+\frac{1}{L C} e_{o}=\frac{1}{L C} e_{i}(t)\). Ejecuta una prueba de frecuencia-respuesta de seno escalonado, aplicando voltaje de entrada sinusoidal de magnitud constante\(E_{i}=1.00\) V, con la frecuencia aumentando en pequeños incrementos de 100 a 1,000 Hz. Se mide en cada frecuencia la magnitud\(E_{o}\) del voltaje de salida de estado estacionario y la fase del voltaje\(\phi\) de salida en relación con el voltaje de entrada. La respuesta de frecuencia se traza en la página siguiente. Utilice esta información para calcular\(L\) y\(R_L\) en unidades consistentes y con tanta precisión como los datos lo permitan. Mostrar todos los cálculos.
      clipboard_eb73d999118263784c2bff125e9021a67.png
      Figura\(\PageIndex{5}\)
      clipboard_e7a1941a9926ac48e021805f72b9ab93b.png
      Figura\(\PageIndex{6}\)
    11. Considere el filtro\(RC\) pasabanda descrito en la Sección 10.4, para el cual es la función de respuesta de frecuencia\(F R F(\omega)=T F(j \omega)=\frac{j \omega \tau_{H}}{\left(j \omega \tau_{H}+1\right)\left(j \omega \tau_{L}+1\right)}\). El propósito de este problema es demostrar la función práctica para la que se diseña ese filtro, mediante gráficas FRF. Vamos\(\tau_{H}=\frac{1}{2 \pi \times 10}\) s y\(\tau_{L}=\frac{1}{2 \pi \times 500}\) s para hacer que las frecuencias de corte de paso alto y paso bajo sean, respectivamente, de 10 Hz y 500 Hz. Ahora, utilice MATLAB para calcular y trazar la relación de magnitud FRF y la fase (en grados) en el rango de frecuencia de 0.1 a 10,000 Hz. Utilice el formato gráfico descrito en la tarea Problema 4.3 (log-log para relación de magnitud, semilog para fase en grados, gráfico de relación de magnitud directamente sobre gráfico de fase). Como en el Problema 4.3, deje que MATLAB haga la mayor parte del trabajo por usted comenzando con la representación FRF compleja y luego usando la capacidad de MATLAB para realizar aritmética compleja. Recordemos, en particular, que la función MATLAB abs calcula el valor absoluto (magnitud) de un número complejo, y el ángulo de la función MATLAB calcula el ángulo en radianes de un número complejo.
    12. En la figura se muestra un modelo mecánico idealizado para sensores de movimiento de tipo sísmico. Dicho sensor está montado completamente en un cuerpo móvil (se dice que está “portado por la estructura”), a diferencia, por ejemplo, del sensor de desplazamiento de proximidad que se muestra en las Figuras 7.6.1 y 7.6.5. La parte mecánica del sensor es un sistema de amortiguador-resorte de masa sellado dentro de una robusta caja, que se fija firmemente al cuerpo cuyo movimiento se detecta. El estímulo al sensor es la excitación base: la traslación\(x_i(t)\) del cuerpo y el caso. La traducción absoluta de la masa sísmica\(m\) es\(x(t)\). Un transductor dentro de la caja detecta la traslación relativa\(z(t) \equiv x(t)-x_{i}(t)\) y genera una señal eléctrica 1 proporcional a\(z(t)\), que normalmente es visualizada y/o registrada por un sistema de adquisición y procesamiento de datos, y también puede servir como entrada a un sistema de control.
      1. Esboce y etiquete diagramas de cuerpo libre apropiados, luego use sus FBD para derivar una ODE de movimiento para\(z(t)\) [no\(x(t)\)] en términos de constantes\(m\)\(c\), y\(k\), y cantidad de entrada variable\(x_i(t)\) o sus derivadas. Convierta su ODE en la forma estándar Ecuación 10.2.1, excepto con\(z(t)\) [no\(x(t)\)] como variable dependiente:\(\ddot{z}+2 \zeta \omega_{n} \dot{z}+\omega_{n}^{2} z=\omega_{n}^{2} u(t)\). Escriba una ecuación explícita para la cantidad de entrada estándar\(u(t)\) en términos de las constantes apropiadas\(x_i(t)\) y/o sus derivadas.
      2. Evaluar el uso de este sensor sísmico como acelerómetro traslacional, un sensor de la aceleración del cuerpo en la dirección definida por\(x(t)\) y\(x_i(t)\). Primero, use los resultados de la parte 10.12.1 para mostrar que la respuesta pseudo-estática es\(z_{p s}(t)=-(m / k) \ddot{x}_{i}(t)\). Esto significa que si la cantidad\(\ddot{z}+2 \zeta \omega_{n} \dot{z}\) es pequeña (o cero) en comparación con\(\omega_{n}^{2} z\), entonces el sensor sísmico actúa como acelerómetro, ya que entonces\(z(t)\) y su señal eléctrica correspondiente son directamente proporcionales a\(\ddot{x}_{i}(t)\) 2. Esta respuesta pseudo-estática se refleja claramente en los gráficos FRF de la Figura 10.2.1: Si las frecuencias de movimiento dentro de la excitación base\(x_i(t)\) están sustancialmente por debajo de la frecuencia natural del sensor (\(\beta \equiv \omega / \omega_{n}=1\)), entonces tanto la magnitud como la fase de respuesta siguen de cerca las de excitación. Un acelerómetro es un sensor sísmico destinado a medir frecuencias que son considerablemente más bajas que la frecuencia natural del propio sensor. Supongamos que está diseñando un acelerómetro que medirá con una precisión de ingeniería razonable aceleraciones corporales cuyas frecuencias no son superiores al 25% de la frecuencia natural del sensor. ¿Cuál es el valor más alto de relación de amortiguación\(\zeta\) (a tres dígitos significativos) que su sensor puede tener para que el error de fase sea menor de 5°, y cuál es el error de magnitud máxima para eso\(\zeta\)? Utilice la Figura 10.2.1 para encontrar una estimación, luego realice cálculos iterativos de prueba y error (preferiblemente con MATLAB) para determinar con mayor precisión la relación requerida\(\zeta\) y de magnitud.
      3. Evaluar el uso de este sensor sísmico como sismómetro traslacional, un sensor de la traslación del cuerpo\(x_i(t)\). Ahora, debido a la segunda derivada del lado derecho\(\ddot{x}_{i}\), su primera ODE de la parte 10.12.1 no está en la forma estándar Ecuación 10.2.1, por lo que es necesario derivar nuevas ecuaciones de respuesta. La función de transferencia apropiada se define como\(T F(s)=\left.L[z(t)]\right|_{I C_{\mathrm{S}=0} \div} L\left[x_{i}(t)\right]_{I C s=0}\). Derive esto\(T F(s)\), luego utilícelo para derivar la FRF correspondiente:\[F R F(\omega) \equiv \frac{Z(\omega)}{X_{i}} e^{j \phi(\omega)}=\frac{\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta}, \text { with } \beta=\frac{\omega}{\omega_{n}}=\frac{\omega}{\sqrt{k / m}}, \text { and } \zeta=\frac{c}{2 m \omega_{n}} \nonumber \] Supongamos que un sismómetro tiene relación de amortiguación\(\zeta = 0.22\), lo suficientemente alta como para amortiguar la respuesta resonante rápidamente. Trazar sobre el rango\(0.1 \leq \beta \leq 10\) la relación de magnitud de respuesta de frecuencia\(Z(\omega) / X_{i}\) y, por separado, el ángulo de fase\(\varphi(\omega)\) en grados. (Si es necesario, consulte para obtener orientación la descripción de la producción de la Figura 10.2.1 con MATLAB.) A partir de estos gráficos, y si lo desea de asíntotas de baja y alta frecuencia de\(Z(\omega) / X_{i}\), debe reconocer que: Un sismómetro traslacional es un sensor sísmico destinado a medir frecuencias que son considerablemente más altas que la frecuencia natural del propio sensor. Supongamos que este sismómetro está destinado a medir con razonable precisión de ingeniería traducciones corporales cuyas frecuencias no son inferiores a cinco (5) veces la frecuencia natural del sensor. Calcular los mayores valores de error del sensor, porcentaje de relación de magnitud y grados de ángulo de fase 3? Describir físicamente el movimiento de la masa sísmica en respuesta a frecuencias de movimiento base que son considerablemente más altas que la frecuencia natural del sismómetro.
    13. El dibujo a la derecha es el modelo idealizado prototípico para el tema del aislamiento de vibraciones. Supongamos que la masa\(m\) en el dibujo alberga un motor de combustión interna reciprocante con un solo par pistón-cilindro orientado verticalmente, y que el conjunto amortiguador-resorte-base une la masa al piso. El motor ejerce una fuerza vertical oscilatoria\(f(t)\) sobre la masa\(m\), y el sistema masa-amortiguador-resorte transmite fuerza a través de la base rígida al piso rígido, que reacciona la fuerza transmitida con la fuerza vertical oscilatoria\(f_{R}(t)\) 4. En beneficio del piso y su superestructura (edificio, vehículo, etc.) y para la comodidad de los ocupantes, suele ser deseable diseñar el soporte amortiguador-resorte de manera que\(f_{R}(t)\) sea lo más pequeño posible, es decir, aislar el motor del piso. En la práctica, el soporte amortiguador-resorte a menudo es un acolchado elastomérico (similar al caucho).
      1. Utilice un diagrama dinámico de cuerpo libre (DFBD), si es necesario, para escribir la ODE de movimiento dinámico\(y(t)\) relativo a la posición de equilibrio estático, en términos de fuerza de excitación\(f(t)\) y constantes\(m\),\(c\), y\(k\). Tome la transformada de Laplace de la ODE (suponiendo cero IC) para obtener una ecuación para la transformación\(L[y(t)] \equiv Y(s)\), que la ecuación incluirá como la transformada de cantidad de entrada\(L[y(t)] \equiv F(s)\). A continuación, escriba una ecuación para la fuerza de reacción dinámica\(f_{R}(t)\) en términos de\(y(t)\) y su derivada y las constantes apropiadas, luego tome su transformada de Laplace para encontrar una ecuación para transformar que\(\L\left[f_{R}(t)\right] \equiv F_{R}(s)). Next, combine the two transform equations appropriately to find the transfer function \(T F(s)=F_{R}(s) / F(s)\) relacione la fuerza dinámica de reacción de piso con la fuerza de excitación. Finalmente, use las definiciones estándar de\(\omega_{n}\)\(\zeta\), y\(\beta\) para mostrar que la función compleja de frecuencia-respuesta correspondiente, conocida como transmisibilidad, es\(T F(j \omega) \equiv F R F(\omega) \equiv \frac{F_{R}(\omega)}{F} e^{j \phi(\omega)}=-\frac{1+j 2 \zeta \beta}{\left(1-\beta^{2}\right)+j 2 \zeta \beta}\) 5.
      2. Trazar en una sola gráfica la relación de magnitud de transmisibilidad\(F_{R}(\omega) / F\) para los casos de amortiguación cero\(\zeta=0\), y la relación de amortiguación relativamente alta\(\zeta=0.25\); graficar estas curvas en escalas lineales (no logarítmicas) sobre las relaciones de frecuencia\(0 \leq \beta \leq 4\), y mostrar la relación de magnitud solo en el rango \(0 \leq F_{R}(\omega) / F \leq 2.5\). (Si es necesario, consulte para obtener orientación la descripción de la producción de la Figura 10.2.1 con MATLAB.) Explica cómo tu gráfica muestra (no te molestes con ninguna teoría) que existe un aislamiento efectivo de vibraciones solo si\(\beta>\sqrt{2}\). Supongamos que conoce la masa\(m\) y la frecuencia de excitación\(\omega\); ¿cuál es el rango de constante de resorte\(k\) para el cual existe un aislamiento efectivo de vibraciones? Físicamente, ¿los resortes deben ser rígidos o blandos, y qué tan rígidos o blandos? ¿La amortiguación positiva aumenta o disminuye la efectividad del aislamiento de vibraciones en todas las frecuencias de excitación, o la amortiguación es una bendición mixta, útil en algún rango de frecuencias, pero no tanto en otras?
    14. La velocidad\(v(t)\) de traslación de un punto en un objeto a veces se mide con el uso de un acelerómetro de estructura (ver tarea Problema 10.12). Un acelerómetro es un transductor que detecta la aceleración de traslación en una dirección\(a(t)=\ddot{x}(t)\), por ejemplo, y convierte el movimiento en una señal de voltaje eléctrico\(e_{a}(t)\), que puede visualizarse, grabarse, procesarse o usarse en un sistema de control. La señal de salida del transductor es nominalmente\(e_{a}(t)=C_{e a} a(t)+n(t)+\varepsilon\):\(C_{e a}\) es el factor de calibración del sensor, con unidades como voltios por metro/s;\(n(t)\) es pequeño “ruido” eléctrico que varía aleatoriamente; y no\(\mathcal{E}) is a small, constant offset voltage. Error voltage \(n(t)+\varepsilon\) está relacionado con el movimiento detectado; es un subproducto no deseado pero prácticamente inevitable de un circuitos del transductor. La aceleración es la tasa de cambio de velocidad\(\dot{v}(t)=a(t)\), por lo que la señal de salida del acelerómetro debe integrarse para producir una señal eléctrica\(e_{v}(t)\) que sea proporcional a la velocidad. Así, la ODE básica que un integrador & (tv) exacto (en circuitos analógicos o un algoritmo digital) resolvería es\(\dot{e}_{v}(t)=(1 / T) e_{a}(t)\), donde\(T\) es una constante física que tiene dimensiones de tiempo (por ejemplo,\(T=-R C\) para el integrador de op-amp-circuito de tarea Problema 5.6). Sin embargo, en la práctica la integración exacta de la señal de un acelerómetro no es deseable debido a un error constante\(\mathcal{E}), because \(\int e_{a}(t) d t=\int\left[C_{e a} a(t)+n(t)+\varepsilon\right] d t=\int C_{e a} a(t) d t+\int n(t) d t+\varepsilon t\). El término\(\int n(t) d t\) típicamente es despreciable porque aleatorio\(n(t)\) tiene un valor promedio de cero. Por otro lado, el término de error\(\mathcal{E} t\) es deriva artificial que crece con el tiempo y distorsiona la señal de salida exacta del integrador, independientemente de cuán pequeña sea\(\mathcal{E}) is. Therefore, it is necessary to use approximate integration that is not vulnerable to artificial drift but is still sufficiently accurate for practical purposes. Perhaps the simplest approximate integrator, which we name the low-pass approximate integrator, is defined by the 1st order ODE \(\dot{e}_{v}+\Omega e_{v}= (1 / T) e_{a}(t)\); la respuesta estática a la constante distinta de cero\(e_{a}\) es claramente distinta de cero,\(e_{v}=e_{a} /(\Omega T)\). Esta respuesta estática distinta de cero hace que el integrador aproximado de paso bajo no sea adecuado para aplicaciones que requieren que la salida del dispositivo tenga voltaje de compensación cero. Para evitar tal respuesta estática constante artificial, tenemos el integrador aproximado de paso de banda definido por la ODE de segundo orden\(\ddot{e}_{v}+\Omega \dot{e}_{v}+\Omega^{2} e_{v}=(1 / T) \dot{e}_{a}(t)\), que tiene dinámica del lado derecho.
      1. Usando la definición de frecuencia de excitación adimensional\(\beta \equiv \omega / \Omega\), derivar y mostrar que las funciones complejas de frecuencia-respuesta del integrador exacto, el integrador aproximado de paso bajo y el integrador aproximado de paso de banda pueden escribirse en las formas, respectivamente,\([\Omega T \times F R F(\omega)]_{\text {exact }}=1 /(j \beta)\), y\([\Omega T \times F R F(\omega)]_{\text {band-pass }}=j \beta /\left(1-\beta^{2}+j \beta\right)\).
      2. Trazar en una gráfica las magnitudes versus\(\beta\) (al menos en el rango\(0.1 \leq \beta \leq 10\)) de\([\Omega T \times F R F(\omega)]_{\text {exact }}\), y\([\Omega T \times F R F(\omega)]_{\text {low-pass }}\), y\(\[\Omega T \times F R F(\omega)]_{\text {band-pass }}). Plot on another graph the phases versus \(\beta\) (sobre el mismo rango) de estas tres funciones de frecuencia-respuesta. Sus gráficos deben mostrar claramente las características señaladas anteriormente, como las respuestas estáticas de los integradores aproximados de paso bajo y paso banda, y deben mostrar que para\(\beta \equiv \omega / \Omega>6\) ambos integradores aproximados tienen un error de magnitud insignificante, relativo al integrador exacto, y un error de fase inferior a 10°.
    15. Considere el actuador de masa de reacción (RMA) dibujado esquemáticamente a continuación, que incluye un\(k\) sistema\(m\)\(c\) - - que se aumenta con un generador de fuerza interna,\(f_{i}(t)\). Una señal de voltaje dinámico externo\(e_{i}(t)\) ordena al generador de fuerza que imponga fuerzas dinámicas iguales y opuestas\(f_{i}(t)\) sobre la masa de reacción\(m\) y la interfaz rígida, fuerzas\(f_{i}(t)\) que son proporcionales a la entrada\(e_{i}(t)\). La función pretendida de la RMA es “reaccionar” para imponer una fuerza dinámica a\(f_{a}(t)\) través de la biela sobre la pared rígida dibujada a la izquierda.\(m\) Sin embargo, debido a la dinámica del\(k\) sistema\(m\) -\(c\) -, la fuerza de accionamiento\(f_{a}(t)\) realmente transmitida a través de la biela es diferente a la fuerza interna\(f_{i}(t)\).
      clipboard_e262a2b93c07833c68c6392faeaab8aaf.png
      Figura\(\PageIndex{7}\): Actuador de masa de reacción (RMA) en una configuración de calibración

      Sus tareas en este problema son derivar la relación matemática entre la fuerza de accionamiento de salida\(f_{a}(t)\) y la señal de voltaje de entrada\(e_{i}(t)\), y luego calcular y trazar la respuesta de frecuencia que ilustra el carácter del funcionamiento de RMA.

      1. Derive la ODE muy simple que relaciona\(x(t)\) la traslación de la masa\(m\) de reacción con la fuerza de accionamiento\(f_{a}(t)\) mostrada actuando sobre la interfaz rígida. (Las masas de los componentes internos (resorte, amortiguador y generador de fuerza) son insignificantes en relación con\(m\).) Luego derivar de esa ODE la función de transferencia\(F_{a}(s) / X(s)\), donde\(F_{a}(s)\) y\(X(s)\) son las transformaciones de Laplace, respectivamente, de\(f_{a}(t)\) y\(x(t)\).
      2. La relación lineal entre la fuerza interna generada\(f_{i}(t)\) y la señal de voltaje de entrada\(e_{i}(t)\) es\(f_{i}(t)=G e_{i}(t)\), donde la constante de ganancia (calibración)\(G\) tiene unidades como newtones/voltio. Derivar la ODE relacionando la traslación\(x(t)\) de la masa de reacción m a la fuerza interna\(f_{i}(t)\) mostrada actuando sobre\(m\), y luego a la señal de entrada\(e_{i}(t)\). Entonces derivar de esa ODE la función de transferencia\(X(s) /E_{i}(s)), where \(E_{i}(s)\) es la transformada de Laplace de\(e_{i}(t)\).
      3. Multiplique las funciones de transferencia de las partes 10.15.1 y 10.15.2 para mostrar que la función de transferencia requerida que relaciona la fuerza\(f_{a}(t)\) de accionamiento de salida con la señal de voltaje de entrada\(e_{i}(t)\) es\(F_{a}(s) E_{i}(s)=G s^{2} /\left(s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}\right)\), donde, como de costumbre,\(\omega_{n}^{2}=k / m\) y\(\zeta=c /\left(2 m \omega_{n}\right)\).
      4. Durante la década de 1990, un equipo de empresas aeroespaciales diseñó un RMA especializado y fabricó varias unidades del dispositivo para su uso como actuadores de control de vibraciones en experimentos en un banco de pruebas que simulaba una estructura de director de haz láser espacio-satélite [Dettmer, 1995, que usa otro nombre común, proof- actuador de masa (PMA) para el dispositivo] 6. Imagine que estos RMA son restaurados para un nuevo proyecto y que usted, como ingeniero de instrumentación, está asignado para realizar pruebas de identificación y calibración de sistemas en uno de ellos. Primero, ejecuta pruebas de vibración libre con el generador de fuerza apagado,\(f_{i}(t)=0\). Excita la vibración desplazando la masa\(m\) de reacción de\(x = 0\), luego liberándola (prueba de twang, ver tarea Problema 9.4). Se mide la frecuencia de la vibración libre resultante de ser de\(m\) 5.00 Hz, con una amortiguación inherente muy ligera que reduce la amplitud de la vibración a la mitad en exactamente 9 ciclos completos [en la Ecuación 9.5.5,\(r_{1 / 2}= 9.00\)]. El RMA tiene una brida que le permite atornillar una masa calibrada de 3.00 kg firmemente a la masa de reacción\(m\); así se realiza una segunda prueba de twang, a partir de la cual se mide la frecuencia de vibración libre de la masa de reacción más masa agregada,\(m\) + 3.00 kg, para ser 4.23 Hz (ver tarea Problema 7.9). A continuación, retire la masa agregada de 3.00-kg y encienda el actuador de fuerza. En pruebas estáticas, se mide una relación lineal entre el voltaje aplicado\(e_{i}\) y la traslación\(x\), con voltaje máximo\(e_{i}=+10.0) V moving \(m\) la distancia\(x=-6.00\) mm (y, a la inversa, −10.0 V produciendo +6.00 mm). Utilice sus datos medidos para inferir valores para los componentes\(m\),\(c\),\(k\), y\(G\) del sistema RMA (Respuesta parcial:\(G\) = 4.47 N/V). Finalmente, calcule la función de frecuencia-respuesta correspondiente a la función\(F_{a}(s) /E_{i}(s)\) de transferencia de la parte 10.15.3, y graficarla en el formato de la Figura 10.2.1 [log (relación de magnitud) vs log (frecuencia en Hz), lineal (fase en grados) vs. log (frecuencia en Hz)] sobre el rango de excitación-frecuencia 1-100 Hz. Estos gráficos deben indicar que el RMA produce una fuerza de accionamiento de salida\(f_{a}(t)\) muy representativa de la señal de voltaje de entrada\(e_i(t)\) para frecuencias por encima de aproximadamente el doble de la frecuencia natural del RMA, pero eso no\(f_{a}(t)\) es en absoluto representativo de\(e_i(t)\) para frecuencias cercanas y por debajo de la RMA frecuencia natural.
    16. En el dibujo y la fotografía se muestra un modelo estructural de construcción de cizalla de parámetros distribuidos utilizado en un laboratorio de instrucción, y se describe en detalle en
      clipboard_ed1d6ed8c310c7fb7edc8f26e6a153580.png
      Figura\(\PageIndex{8}\): Vistas laterales y frontales

      tarea Problema 7.10. Las mediciones realizadas por los estudiantes dan la masa vibratoria efectiva como\(m_{E}= 0.00473\) lb-s 2 /inch, y la rigidez lateral debido a las dos vigas de aluminio de\(L =\) 12 pulgadas como\(k_{E}= 43.6\) lb/pulgada. La amortiguación estructural y aeroacústica inherente de las vigas vibratorias y la masa es muy, muy pequeña, pero un amortiguador suplementario (cerca de la parte superior izquierda en la foto) unido entre la masa y el suelo aumenta la constante de amortiguación viscosa efectiva medida total a\(c_{E}=0.0309\) lb-s/pulgada

      clipboard_eb94e0084d727206e5e375c7f20e290e8.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)
      1. Calcular la frecuencia natural no amortiguada\(f_{n}\) en Hz y la relación de amortiguación\(\zeta\). (Respuestas:\(f_{n}=15.3\) Hz,\(\zeta=0.0340\))
      2. Un pequeño agitador electromagnético 7 está unido al lado derecho de la masa, y produce la fuerza variable en el tiempo\(f_{x}(t)\) etiquetada en el dibujo. Cualquier actuador de fuerza real tiene una carrera máxima, el rango de movimiento de las partes móviles del dispositivo, sobre el cual:
        1. la fuerza de salida\(f_{x}(t)\) es proporcional a la señal de mando eléctrica de entrada, y/o
        2. las partes móviles del dispositivo pueden desviarse sin dañarse a sí mismas ni a otras partes dentro del dispositivo.
        Es importante reconocer que las partes móviles del agitador están unidas directamente a la estructura, por lo que experimentan la misma deflexión que el punto de unión en la estructura. Por lo tanto, la vibración estructural en realidad puede hacer que se supere la carrera máxima del agitador, especialmente en o cerca de la resonancia. Supongamos que desea ejecutar un experimento para medir una FRF del modelo de construcción de cizalla, en un barrido sinusoidal escalonado de frecuencia de excitación\(f\) en Hz de\(0.5 f_{n}\) a\(1.5 f_{n}\). El agitador impulsará la masa con fuerza sinusoidal\(f_{x}(t)=F \cos (2 \pi f t)\), y la masa responderá con traslación sinusoidal en estado estacionario\(x(t)=X \cos (2 \pi f t+\varphi)\). Supongamos que el agitador en este caso tiene la carrera máxima de\(\pm\) 0.05 pulgadas y una magnitud de fuerza máxima\(F_{max}\) = 2 lb (valores típicos para un pequeño agitador comercial disponible). Si tuvieras que ejecutar el barrido de seno escalonado para medir directamente la admitancia mecánica (también conocida como flexibilidad dinámica) manteniendo la magnitud de la fuerza constante al 80% de su capacidad,\(F = 0.8F_{max}\), cuáles son las magnitudes teóricamente predichas\(X\) de estructural ( y partes móviles del agitador) traslación a las frecuencias\(0.5 f_n\),\(1.0 f_n\), y\(1.5 f_n\)? (Respuesta parcial:\(X\left(f_{n}\right)=0.539\) inch) ¿Por qué este enfoque dinámico-flexible no funcionaría en la vida real?
      3. Supongamos que ejecuta un barrido de seno escalonado, con las mismas propiedades de agitador definidas en la parte 10.16.2, de tal manera que mida directamente la rigidez dinámica, en lugar de la flexibilidad dinámica. Por ejemplo, imagine que a cada frecuencia de excitación discreta en el barrido se ajusta la magnitud de la fuerza del agitador para que la magnitud de la respuesta sea igual al 80%,\(X = 0.04\) pulgada, de la carrera máxima del agitador. Calcular las magnitudes teóricamente predichas\(F\) de la fuerza agitadora requerida en las frecuencias de excitación\(f = 0\) (la condición estática)\(0.5 f_n\),,\(1.0 f_n\), y\(1.5 f_n\). (Respuesta parcial:\(F\left(f_{n}\right)=0.119\) lb) ¿Para qué (si hay) rango de frecuencias de excitación funcionaría este enfoque de rigidez dinámica en la vida real?
      4. Calcular y graficar la rigidez dinámica teóricamente predicha (magnitud y fase) de este sistema estructural para la frecuencia de excitación en el rango\(0 \leq f \leq 1.5 f_{n}\).
    17. Evalúe la Ecuación 10.6.9 numéricamente (usando MATLAB o su elección de software) para calcular y trazar la respuesta de tiempo desde los CI de reposo hasta una entrada sinusoidal (SAS) aplicada repentinamente en el circuito electrónico analógico de la computadora a la derecha. El ODE\(e_o(t)\) que relaciona el voltaje de salida con el voltaje de entrada\(e_i(t)\) derivado en la tarea Problema 9.17, es, en forma estándar de orden,\(\ddot{e}_{o}+\frac{1}{R_{c} C} \dot{e}_{o}+\left(\frac{1}{R_{b} C}\right)^{2} e_{o}=\left(\frac{1}{R_{b} C}\right)^{2} \frac{R_{b}}{R_{a}} e_{i}(t)\). El voltaje de entrada es cero para el tiempo\(t < 0\) y\(e_{i}(t)=E_{i} \sin (2 \pi f t)\) para\(t \geq 0\), en el que\(E_{i}=3.20\) V y\(f = 14.2\) Hz. Los valores de los componentes del circuito son:\(R_{a}=R_{d}=50.0 \\ k\Omega\)\(R_{c}=500\\ k\Omega\),, y\(C=2.04 \mu\) F. Calcular y graficar tanto la excitación como la respuesta a lo largo del intervalo de tiempo\(-0.1 \leq t \leq 2.4\) s, en incrementos de 0.001 s (para producir una resolución gráfica adecuada). Este circuito fue “parcheado” (programado con cables enchufables) en una computadora analógica Comdyna GP-10, y el voltaje de entrada dado fue producido por un generador de onda sinusoidal; los gráficos de la excitación de entrada variable en el tiempo real medida y la respuesta de salida están en la página siguiente. ¿La excitación y respuesta numéricamente simuladas que calcula se parecen mucho a la excitación y respuesta medidas? (Si no, ¡deberían!) A pesar de que el circuito está ligeramente amortiguado, todavía hay un claro comportamiento de golpeteo. Demuestre que el periodo y la frecuencia de latidos evidentes en la gráfica de tiempo-respuesta son lo que usted esperaría, con base en la Ecuación 10.6.5 para golpes de un sistema de orden sin amortiguar.
      clipboard_e64f8433a414539a41bee07c514e56b86.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)
      clipboard_ee960a4d59f3b862b288e5596d2469392.png
      Figura\(\PageIndex{11}\)

    1 Para la mayoría de los sensores disponibles comercialmente, la señal eléctrica pasa a través de cables conectados al sensor, pero algunos sensores modernos envían la señal de forma inalámbrica. El tamaño de dicho sensor varía típicamente desde el de una tableta de aspirina hasta el de una botella de soda grande.

    2 Aunque la constante teórica de proporcionalidad es\(-m/k\), la verdadera constante, incluida la polaridad, de cualquier sensor real siempre se mide mediante calibración de laboratorio.

    3 Para el error de ángulo de fase, considere una diferencia de fase de 180° como equivalente a 0°, porque es simplemente una diferencia de signo que se corrige en la calibración y/o procesamiento de datos.

    4 La verdadera reacción del piso es la fuerza distribuida, es decir, la tensión, que actúa contra la base sobre el área de contacto. La fuerza discreta\(f_{R}(t)\) en el dibujo es el equivalente resultante de la fuerza distribuida, es decir, fR (t) tiene la magnitud de la distribución total de la fuerza y su punto de aplicación es el centro de la distribución.

    5 Este FRF aplica para un aislador de vibraciones con amortiguación viscosa. Sin embargo, el modelo matemático de fricción interna de amortiguación estructural es más realista que el amortiguamiento viscoso. En el Apéndice B, Sección 19.5, se describe el modelo de fricción interna y se aplica para el aislamiento de vibraciones.

    6 El dibujo esquemático para este problema muestra la biela unida a una pared rígida, la cual es una configuración adecuada para calibrar un RMA; sin embargo, en cualquier aplicación práctica del usuario final, la biela estaría unida a una estructura flexible. Los RMA se aplican en la práctica para imponer fuerzas dinámicas sobre las estructuras, tanto para proporcionar excitación para pruebas de vibración como para suprimir vibraciones no deseadas como actuadores en sistemas de control. Un RMA puede ser portado por la estructura, lo que significa que puede estar completamente soportado por la estructura sobre la que impone fuerza dinámica. Por ejemplo, se han instalado grandes RMA en los pisos superiores de edificios altos con el fin de reducir la vibración de flexión excitada por el viento y los temblores en el suelo; un RMA en esta aplicación de ingeniería civil a menudo se llama un amortiguador activo de masa sintonizada (ATMD). Los generadores de fuerza interna de los ATMD son motores hidráulicos, mientras que los de RMA pequeños (que tienen un peso total del orden de 100 lb o por debajo del orden de 100 lb) son motores lineales electromagnéticos.


    This page titled 10.7: Capítulo 10 Tarea is shared under a CC BY-NC 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by William L. Hallauer Jr. (Virginia Tech Libraries' Open Education Initiative) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.