11.2: Ecuación de movimiento para un cuerpo rígido en rotación de plano puro

Un caso especial importante de movimiento plano general es la rotación pura alrededor de un pivote fijo o bisagra, como se representa en la Figura\(\PageIndex{1}\). Para analizar este caso, supongamos que el punto\(A\) de reacción de la Figura 11.1.1 es el punto bisagra, y coloquemos el\(xyz\) origen\(O\) en el punto\(A\). Para enfatizar el carácter de este punto de bisagra, lo volvemos a etiquetar como\(H\); en otras palabras, ambos puntos\(A\) y\(O\) en la Figura 11.1.1 ahora se convierten\(H\) en punto bisagra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Podemos usar las ecuaciones anteriores simplemente estableciendo el vector de posición\(\mathbf{r}_{\mathrm{OA}}\) en la Figura 11.1.1 igual a cero:\(\mathbf{r}_{\mathrm{OA}} =\mathbf{0}=\mathbf{r}_{\mathrm{oc}}+\mathbf{r}_{\mathrm{CA}} \Rightarrow \mathbf{r}_{\mathrm{CA}}=-\mathbf{r}_{\mathrm{OC}} \equiv-\mathbf{r}_{\mathrm{HC}}\). También es útil expresar\(\mathbf{r}_{\mathrm{CB}}\) en la Figura 11.1.1 en términos de\(\mathbf{r}_{\mathrm{o} \mathbf{C}}\):\(\mathbf{r}_{\mathrm{CB}}=\mathbf{r}_{\mathrm{OB}}-\mathbf{r}_{\mathrm{OC}}\). El uso de estas sustituciones en la Ecuación 11.1.4 da

\[J_{C} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}=-\mathbf{r}_{\mathbf{O C}} \times \mathbf{F}_{\mathbf{A}}+\left(\mathbf{r}_{\mathrm{OB}}-\mathbf{r}_{\mathbf{O C}}\right) \times \mathbf{F}_{\mathbf{B}}+\left(M_{A}+M_{D}\right) \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\label{eqn:11.4a} \]

Después de reemplazar los subíndices\(O\) y\(A\) con\(H\) y reorganizar los términos, la ecuación\(\ref{eqn:11.4a}\) se convierte

\[J_{C} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}+\mathbf{r}_{\mathbf{H C}} \times\left(\mathbf{F}_{\mathbf{H}}+\mathbf{F}_{\mathbf{B}}\right)=\mathbf{r}_{\mathbf{H B}} \times \mathbf{F}_{\mathbf{B}}+\left(M_{H}+M_{D}\right) \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\label{eqn:11.4b} \]

A continuación, sustituyendo la Ecuación 11.1.1 por la Ecuación\(\ref{eqn:11.4b}\) da

\[J_{C} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}+\mathbf{r}_{\mathbf{H C}} \times m \mathbf{a}_{\mathbf{C}}=\mathbf{r}_{\mathbf{H B}} \times \mathbf{F}_{\mathbf{B}}+\left(M_{H}+M_{D}\right) \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\label{eqn:11.5a} \]

Dado que el punto de bisagra\(H\) es fijo, simplifiquemos la notación escribiendo\(\mathbf{r}_{\mathbf{H C}} \equiv \mathbf{r}_{\mathbf{C}}\) y\(\mathbf{r}_{\mathrm{HB}} \equiv \mathbf{r}_{\mathrm{B}}\). También, podemos expresar la aceleración como\(\mathbf{a}_{\mathrm{C}} \equiv \ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}\), por lo que Ecuación\(\ref{eqn:11.5a}\) se convierte

\[J_{C} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathrm{z}}+\mathbf{r}_{\mathrm{C}} \times m \ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}=\mathbf{r}_{\mathrm{B}} \times \mathbf{F}_{\mathrm{B}}+\left(M_{H}+M_{D}\right) \mathbf{1}_{\mathrm{z}}\label{eqn:11.5b} \]

Podemos simplificar el\(\ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}\) término en el lado izquierdo de Ecuación\(\ref{eqn:11.5b}\) mediante el uso de la cinemática de cuerpo rígido, plano, rotación pura alrededor del punto\(H\). Para esta tarea, es conveniente trabajar en coordenadas polares en lugar de cartesianas, así definimos en Figura\(\PageIndex{1}\) los vectores unitarios rotativos ortogonales\(\mathbf{1}_{\mathrm{r}}\) y\(\mathbf{1}_{\theta}\); así, podemos expresar el vector de posición al centro de masa\(C\) como\(\mathbf{r}_{\mathrm{C}}=r_{C} \mathbf{1}_{\mathrm{r}}\), donde\(r_C\) está el radio constante desde punto de bisagra\(H\) al centro de masa\(C\). Expresamos el vector de velocidad rotacional como\(\boldsymbol{\omega}=\dot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\). (En este contexto, el símbolo vectorial\(\mathbf{\omega}\) denota velocidad de rotación, que es estándar en los libros de texto de dinámica, mientras que en todas partes de este libro el símbolo escalar\(\omega\) denota frecuencia de vibración). Por lo tanto, la primera derivada del vector de posición de centro de masa es

\[\dot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_{\mathrm{C}}=\dot{\theta} \mathbf{1}_{\mathrm{z}} \times r_{C} \mathbf{1}_{\mathrm{r}}=r_{C} \dot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{\theta}}\label{eqn:11.6} \]

Para obtener la segunda derivada, diferenciamos la Ecuación del producto\(\ref{eqn:11.6}\), reconociendo que\(r_C\) es constante, pero que\(\mathbf{1}_{\boldsymbol{\theta}}\) está rotando:

\[\ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}=r_{C}\left[\ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathrm{e}}+\dot{\theta} \mathbf{i}_{\mathrm{\theta}}\right]=r_{C}\left[\ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathrm{\theta}}+\dot{\theta}\left(\dot{\theta} \mathbf{1}_{\mathrm{z}} \times \mathbf{1}_{\mathrm{\theta}}\right)\right]=r_{C}\left[\ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathrm{e}}-\dot{\theta}^{2} \mathbf{1}_{\mathrm{r}}\right]\label{eqn:11.7} \]

Con Ecuación\(\ref{eqn:11.7}\), el producto cruzado vectorial en el lado izquierdo de la ecuación\(\ref{eqn:11.5b}\) se convierte en

\[\mathbf{r}_{\mathrm{C}} \times \ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}=r_{C} \mathbf{1}_{\mathrm{r}} \times r_{C}\left[\ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{\theta}}-\dot{\theta}^{2} \mathbf{1}_{\mathrm{r}}\right]=r_{C}^{2} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\label{eqn:11.8} \]

Con Ecuación\(\ref{eqn:11.8}\), el lado izquierdo de la Ecuación\(\ref{eqn:11.5b}\) se convierte

\[J_{C} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}+\mathbf{r}_{\mathbf{C}} \times m \ddot{\mathbf{r}}_{\mathrm{C}}=\left(J_{C}+m r_{C}^{2}\right) \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}} \equiv J_{H} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\label{eqn:11.9} \]

En Ecuación\(\ref{eqn:11.9}\), utilizamos el teorema de eje paralelo para definir la inercia rotacional del cuerpo rígido alrededor del centro de rotación\(H\),\(J_{H}=J_{C}+m r_{C}^{2}\). Así, la Ecuación\(\ref{eqn:11.5b}\) se convierte

\[J_{H} \ddot{\theta} \mathbf{1}_{\mathbf{z}}=\mathbf{r}_{\mathbf{B}} \times \mathbf{F}_{\mathbf{B}}+\left(M_{H}+M_{D}\right) \mathbf{1}_{\mathbf{z}} \equiv \Sigma(\text { all active and reactivemoments about } H) \mathbf{1}_{\mathbf{z}}\label{eqn:11.10} \]

En resumen, para un cuerpo rígido en rotación plana pura alrededor del punto\(H\), el único grado de libertad es la rotación\(\theta(t)\), y la única ODE de movimiento relativamente simple es

\[J_{H} \ddot{\theta}=\Sigma(\text { allactive and reactivemoments about } H)\label{eqn:11.11} \]

en el que\(J_H\) se encuentra la inercia rotacional del cuerpo rígido alrededor del centro de rotación\(H\).

Tenga en cuenta que la fuerza de reacción en la bisagra\(H\) no aparece en la Ecuación ODE\(\ref{eqn:11.11}\). De hecho, para encontrar esta fuerza de reacción, habría que resolver Ecuación\(\ref{eqn:11.11}\) para\(\theta(t)\), luego encontrar la aceleración de\(C\), luego sustituir los resultados de nuevo en las Ecuaciones 11.1.1 o 11.1.2 y 11.1.3.