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11.4: Capítulo 4 Tarea

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    1. La pestaña de recorte de un avión pequeño está unida al elevador mediante una bisagra en el eje\(H\) y un resorte rotacional (el varillaje del actuador) con constante\(k_{\theta}\), como se muestra en el dibujo a continuación. Se requiere determinar experimentalmente tanto la inercia rotacional\(J_H\) del elevador alrededor de la bisagra como la rigidez rotacional\(k_{\theta}\). El experimento de campo consiste en dos pruebas de twang separadas. (Ver tarea Problema 9.4 para una descripción detallada de las pruebas de twang y las ecuaciones relevantes.) Primero, el resorte rotacional se desconecta de la lengüeta, y un resorte de soporte de traslación vertical de rigidez conocida\(k_y = 15.6\) lb/pulgada (y baja masa, produciendo una fuerza inercial insignificante) se une cerca del borde de salida, como se muestra. Luego la pestaña es twanged (desplazada estáticamente de la posición de equilibrio estático, luego liberada). Un sensor de desplazamiento sin contacto capta el movimiento dinámico en un punto cerca del resorte de soporte:\(y(t)=0.107 e^{-0.144 t} \cos (59.9 t)\) pulgadas (\(t\)en segundos). (Hay una ligera amortiguación debido a la fricción en la bisagra, amortiguación estructural interna en el resorte y arrastre del aire circundante). A partir de esta primera prueba de twang, calcule\(J_H\) (en lb-s 2 -inch). A continuación,\(k_y\) se retira el resorte de traslación, el resorte de rotación\(k_{\theta}\) se vuelve a conectar y la pestaña se ensancha nuevamente. El mismo sensor de desplazamiento que en la primera prueba de twang ahora mide\(y(t)=0.132 e^{-0.112 t} \cos (66.0 t)\) pulgadas de movimiento dinámico. A partir de los resultados anteriores y esta segunda prueba de twang, calcule\(k_{\theta}\) (en lb-pulgadas/radián).
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      Figura\(\PageIndex{1}\)
    2. El sistema representado en la página siguiente consiste en una barra rígida, una masa y resortes. La barra rígida se soporta en una bisagra sin fricción\(H\), donde se restringe elásticamente por el resorte de rotación\(k_{\theta}\), y la inercia de rotación de la barra alrededor del punto\(H\) es\(J_{H}\). La masa\(m\) se conecta a la barra mediante un resorte de traslación\(k_y\) en el punto\(B\), y la masa se restringe para que se mueva solo verticalmente por paredes sin fricción. Una fuerza vertical aplicada externamente\(F(t)\) actúa sobre la barra en el punto\(B\). Grados de libertad\(y(t)\) y\(\theta(t)\) son los pequeños movimientos relativos a la posición de equilibrio estático. Esboce y etiquete un DFBD para la barra y un DFBD para masa\(m\), luego use estos diagramas para derivar las dos ecuaciones diferenciales acopladas de movimiento para este sistema. (Consejos: Demuestre que para la rotación de barra pequeña, el tramo de resorte\(k_y\) es\(a \theta-y\). No incluya\(mg\) ni peso de barra entre las fuerzas aplicadas, porque nos interesan únicamente los movimientos dinámicos relativos a la posición de equilibrio estático; si no está seguro de por qué descuidamos pesos en estas ecuaciones de movimiento, entonces revise la Sección 7.5.)
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      Figura\(\PageIndex{2}\)
    3. El sistema de dos grados de libertad dibujado a continuación consiste en un péndulo soportado en una bisagra sin fricción\(H\), y un resorte de masa conectado por un amortiguador viscoso a la varilla del péndulo. El momento inercial de la varilla de péndulo ligero es insignificante, por lo que la inercia rotacional del péndulo alrededor\(H\) es\(J_{H}=m_{p} \ell^{2}\). Grados de libertad\(x(t)\) y\(\theta(t)\) son\(m\) pequeños movimientos relativos a la posición de equilibrio estático. Mostrar que la velocidad del cilindro del amortiguador con respecto al pistón del amortiguador es\(\dot{x}-a \dot{\theta}\). Tanto la gravedad como la fuerza horizontal aplicada externamente\(F(t)\) actúan sobre la masa\(m_{p}\) del bob del péndulo. Dibuje y etiquete un FBD para el péndulo y otro FBD para masa\(m\), luego use estos diagramas para derivar las dos ecuaciones diferenciales acopladas de movimiento para este sistema. Además de las variables de movimiento y fuerza y los parámetros constantes mostrados en el dibujo, se denota la aceleración de la gravedad que actúa verticalmente hacia abajo\(g\). Para este problema, a diferencia de los Problemas 11.1 y 11.2 y los ejemplos de la Sección 11.3, deberías bosquejar tu péndulo FBD con el péndulo girado en un ángulo pequeño, para que puedas indicar el efecto limitante del peso\(m_pg\) en la rotación del péndulo; ver el ejemplo del péndulo en la Sección 7.1.
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      Figura\(\PageIndex{3}\)
    4. La forma de las ODEs de sección típica de movimiento representadas por las Ecuaciones 11.3.14, 11.3.15 y 11.3.16 no es única. Supongamos, por ejemplo, que se quiere definir\(y_{E A}(t)\) como el grado de libertad de traducción vertical, en lugar de\(y_{c}(t)\). Con el uso de geometría, inercia y manipulación algebraica, puede convertir las ODE en una forma cosméticamente diferente, pero matemáticamente equivalente. Primero, sustituya la Ecuación 11.3.11 por las Ecuaciones 11.3.14 y 11.3.15 para reemplazarla\(y_{c}(t)\) con términos apropiados que incluyan\(y_{E A}(t)\) y pequeña rotación\(\theta(t)\); a continuación, use el teorema de eje paralelo para reemplazar\(J_{C}\) con la inercia rotacional alrededor del eje elástico\(J_{E A}\), y a término incluyendo masa\(m\); finalmente, realizar cualquier sustitución algebraica adicional requerida para escribir las ODEs de movimiento en la siguiente forma de matriz relativamente simple:\ [\ overbrackets {\ left [\ begin {array} {cc}
      m & m r\\
      m r & J_ {E A}
      \ end {array}\ derecha]} ^ {\ text {matriz de inercia}}\ left [\ begin {array} {c}
      \ ddot {y} _ {E A}\
      \ ddot {\ theta}
      \ end {array}\ derecha] +\ overbrackets {\ left [\ begin {array} {cc}
      k_ {y} & 0\\
      0 & k_ {\ theta}
      \ end {array}\ derecha]} ^ {\ text {matriz de rigidez estructural}}\ left [\ begin {array} {c}
      y_ {E A}\
      \\ theta
      \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
      F_ {L} (t)\\
      e F_ {L} (t) +M_ {A C} (t)
      \ end {array}\ no derecho]\ umber \] ¿Qué términos en esta ecuación matricial producen y muestran el acoplamiento entre la traslación vertical\(y_{E A}(t)\) y la rotación de cabeceo\(\theta(t)\)? ¿Seguirá existiendo este acoplamiento si las acciones aerodinámicas aplicadas\(F_{L}(t)\) y\(M_{A C}(t)\) son constantes o varían lo suficientemente lentamente como para que la respuesta sea pseudo-estática? Demostrar la definición positiva de estas matrices de inercia y rigidez estructural encontrando los valores y polaridades de sus determinantes.
    5. Considere el sistema de péndulo-resorte que se muestra a continuación. Los momentos inerciales de las varillas de péndulo ligeras son insignificantes, por lo que las inercias rotacionales del péndulo alrededor de sus bisagras son\(J_{i}=m_{i} \ell^{2}\),\(i = 1, 2\). Grados de libertad\(\theta_{1}(t)\) y\(\theta_{2}(t)\) son pequeñas rotaciones relativas a las posiciones de equilibrio estáticas colgantes verticales. Un resorte de traslación horizontal con constante de rigidez\(k\) conecta los dos péndulos, y no se deforma cuando los péndulos están en las posiciones de equilibrio estático colgantes verticales. Demostrar que el tramo de la primavera viene dado por\(a\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)\). El momento aplicado externamente\(M_{2}(t)\) actúa sobre el péndulo 2 en su bisagra (aplicado, por ejemplo, por un motor). Dibuje y etiquete un FBD para cada péndulo, luego use estos diagramas para derivar las dos ecuaciones diferenciales acopladas de movimiento para este sistema. Además de las variables de movimiento y acción aplicada y los parámetros constantes mostrados en el dibujo, se denota la aceleración de la gravedad que actúa verticalmente hacia abajo\(g\). En este problema, debes bosquejar tus FBD con los péndulos girados en pequeños ángulos, para que puedas indicar el efecto de restricción de los pesos\(m_{i} g, i=1,2\), en las rotaciones; ver el ejemplo del péndulo en la Sección 7.1.
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      Figura\(\PageIndex{4}\)
    6. El dibujo a continuación muestra un modelo muy simplificado para la dinámica de traslación de tono de un vehículo automotriz. El cuerpo y el bastidor se consideran rígidos, con el centro de masa\(C\) ubicado como se muestra, y teniendo masa\(m\) e inercia rotacional\(J_C\) alrededor\(C\). Se considera que los conjuntos rueda-eje tienen fuerzas inerciales insignificantes. Las flexibilidades de los neumáticos y los sistemas de suspensión se agrupan en un solo resorte de traslación del eje trasero\(k_1\) y un solo resorte de traslación del eje delantero\(k_2\). La amortiguación es proporcionada por puntales de choque y llantas de goma, y se agrupa en amortiguadores viscosos\(c_1\) y se\(c_2\) dispone en paralelo con los resortes respectivos. Dibuje y etiquete un DFBD para este modelo de vehículo, luego utilícelo para derivar las dos ecuaciones diferenciales acopladas de movimiento para este sistema, en términos de los parámetros dados. Utilizar como grados de libertad la pequeña traslación vertical\(y_{C}(t)\) y la pequeña rotación de cabeceo\(\theta(t)\), ambas relativas a la posición de equilibrio estático.
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      Figura\(\PageIndex{5}\)

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