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12.2: Sistema sin amortiguar de dos masas-dos muelles

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    84728
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    A continuación, analizamos el sistema masa-resorte no amortiguado de dos grados de libertad (2-DOF) de la Figura\(\PageIndex{1}\). Las traducciones dinámicas\(y_{1}(t)\) y\(y_{2}(t)\) mostradas son relativas a las posiciones de equilibrio estático. Como es habitual con el propósito de dibujar fuerzas sobre diagramas dinámicos de cuerpo libre (DFBD, como se define en la Sección 7.5), permitimos que los resortes de traslación se estiren en el instante representado, de manera que, en particular, la tensión dinámica en el resorte inferior\(k_{2}\left(y_{2}-y_{1}\right)\).

    clipboard_e18355122604f9ebb4e4ba9a71e6b928f.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema mecánico de dos masas-TwoSpring

    De los DFBD, la ley de Newton da a las ODEs de movimiento:

    \ [\ begin {array} {c}
    m_ {1}\ ddot {y} _ {1} =f_ {1} (t) +k_ {2}\ left (y_ {2} -y_ {1}\ derecha) -k_ {1} y_ {1}\\
    m_ {2}\ ddot {y} _ {2} =f_ {2} (t) -k_ {2}\ izquierda (y_ {2} -y_ {1}\ derecha)
    \ end {array}\ label {eqn:12.3}\]

    La transposición de términos de variables dependientes a los lados izquierdos, y la recolección de términos da

    \ [\ begin {array} {c}
    m_ {1}\ ddot {y} _ {1} +\ izquierda (k_ {1} +k_ {2}\ derecha) y_ {1} -k_ {2} y_ {2} =f_ {1} (t)\\
    m_ {2}\ ddot {y} _ {2} -k_ {2} y_ {1} +k_ {2} y_ {2} =f_ {2} (t)
    \ end {array}\ label {eqn:12.4}\]

    Ahora, expresar Ecuaciones\(\ref{eqn:12.4}\) en la misma forma de matriz que la Ecuación 11.3.16 da

    \ [\ overbrackets {\ left [\ begin {array} {cc}
    m_ {1} & 0\\
    0 & m_ {2}
    \ end {array}\ right]} ^\ text {matriz de inercia}\ left [\ begin {array} {c}
    \ ddot {y} _ {1}\\ ddot {y}
    \ ddot {y} _ {2}
    \ end {array}\ derecha] +\ overoverbrace {\ left [\ begin {array} {cc}
    k_ {1} +k_ {2} & -k_ {2}\\
    -k_ {2} & k_ {2}
    \ end {array}\ derecha]} ^\ text {matriz de rigidez estructural}\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1}\\
    y_ {2}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} c}
    f_ {1} (t)\\
    f_ {2} (t)
    \ end {array}\ derecha]\ label {eqn:12.5}\]

    Se puede verificar fácilmente que, al igual que en la Ecuación 11.3.16, las matrices de inercia y rigidez estructural de la Ecuación\(\ref{eqn:12.5}\) son definitivas positivas, y todos los elementos diagonales de ambas matrices también son definitivos positivos.

    A continuación, queremos resolver la ecuación matricial\(\ref{eqn:12.5}\) para vibraciones libres, por lo que establecemos a cero las fuerzas aplicadas,\(f_{1}(t)=f_{2}(t)=0\). Siguiendo el procedimiento de la Sección 12.1 para el sistema 1-DOF, busquemos respuesta a traducciones iniciales distintas de cero, con velocidades iniciales cero. En consecuencia, asumimos soluciones de movimiento del sistema 2-DOF no forzado en la forma\(y_{1}(t)=Y_{1} \cos \omega t\) y\(y_{2}(t)=Y_{2} \cos \omega t\), en la que\(\omega\)\(Y_{1}\), y\(Y_{2}\) son las cantidades desconocidas. Es eficiente y apropiado expresar la solución supuesta en forma de matriz:

    \ [\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (t)\\
    y_ {2} (t)
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {1}\\
    Y_ {2}
    \ end {array}\ right]\ cos\ omega t\ label {eqn:12.6}\]

    Sustituir la ecuación\(\ref{eqn:12.6}\) en ecuación\(\ref{eqn:12.5}\) con forzamiento cero da

    \ [\ left [\ begin {array} {cc}
    m_ {1} & 0\\
    0 & m_ {2}
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
    Y_ {1}\\
    Y_ {2}
    \ end {array}\ right]\ left (-\ omega^ {2}\ right)\ cos\ omega t+\ left [\ begin matriz} {cc}
    k _ {1} +k_ {2} & -k_ {2}\\
    -k_ {2} & k_ {2}
    \ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {c}
    Y_ {1}\\
    Y_ {2}
    \ end {array}\ right]\ cos\ omega t=\ left [\ begin {array} {c}
    0\
    0
    \ end {array}\ derecho]\ etiqueta {eqn:12.7}\]

    El múltiplo común\(\cos \omega t\) en la Ecuación\(\ref{eqn:12.7}\) no puede ser cero en general, así que lo cancelamos fuera de la ecuación. Además, consolidamos todos los coeficientes de\(Y_{1}\) y\(Y_{2}\) en una sola matriz, dando

    \ [\ left [\ begin {array} {cc}
    k_ {1} +k_ {2} -\ omega^ {2} m_ {1} & -k_ {2}\\
    -k_ {2} & k_ {2} -\ omega^ {2} m_ {2}
    \ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {}\\
    Y_ {2}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
    0\\
    0
    \ end {array}\ derecha]\ label {eqn:12.8}\]

    Antes de tratar con Ecuación\(\ref{eqn:12.8}\), revisemos un poco de su experiencia matemática sobre cómo resolver dos ecuaciones algebraicas lineales en dos incógnitas. En general, las ecuaciones se expresan en notación matricial como

    \ [\ left [\ begin {array} {ll}
    a_ {11} & a_ {12}\\
    a_ {21} & a_ {22}
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
    x_ {1}\\
    x_ {2}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
    b_ {1}\\
    b_ {2 }
    \ end {array}\ derecha],\ text {con}\ left [\ begin {array} {ll}
    a_ {11} & a_ {12}\\
    a_ {21} & a_ {22}
    \ end {array}\ derecha]\ equiv [\ mathbf {a}],\ text {y}\ left [\ begin {array} {l}
    x_ {1}\\
    _ {2}
    \ fin { array}\ derecha]\ equiv\ {\ mathbf {x}\},\ text {y}\ izquierda [\ begin {array} {l}
    b_ {1}\\
    b_ {2}
    \ end {array}\ derecha]\ equiv\ {\ mathbf {b}\}\ label {eqn:12.9}\]

    en el que los\(a_{i j}\)'s son coeficientes constantes conocidos, los\(x_{i}\) s son las incógnitas y los\(b_{i}\)'s son constantes conocidas del lado derecho. Es útil expresar simbólicamente la ecuación matricial mediante el uso de fuentes en negrita, corchetes y paréntesis:\([\mathbf{a}]\{\mathbf{x}\}=\{\mathbf{b}\}\). Entonces el determinante y la matriz contigua de la matriz de coeficientes son, respectivamente,

    \[\operatorname{det}[\mathbf{a}]=a_{11} a_{22}-a_{21} a_{12}\label{eqn:12.10} \]

    \ [\ nombreoperador {adj} [\ mathbf {a}] =\ left [\ begin {array} {cc}
    a_ {22} & -a_ {12}\\
    -a_ {21} & a_ {11}
    \ end {array}\ derecha]\ label {eqn:12.11}\]

    La solución de Ecuación\(\ref{eqn:12.9}\) para las incógnitas implica la inversa\([\mathbf{a}]^{-1}\) de la matriz de coeficientes, la cual se define en términos del determinante y la matriz anexa:

    \[\{\mathbf{x}\}=[\mathbf{a}]^{-1}\{\mathbf{b}\}=\frac{\operatorname{adj}[\mathbf{a}]}{\operatorname{det}[\mathbf{a}]}\{\mathbf{b}\}\label{eqn:12.12} \]

    Si\(\{\mathbf{b}\}=0\), que es el caso de Ecuación\(\ref{eqn:12.8}\), entonces hay dos tipos posibles de soluciones:

    1. si\(\{\mathbf{b}\}=0\) y\(\operatorname{det}[\mathbf{a}] \neq 0\), entonces la solución debe ser el resultado trivial\(\{x\}=0\);
    2. sin embargo, si\(\{\mathbf{b}\}=0\) y\(\operatorname{det}[\mathbf{a}] = 0\), entonces el lado derecho de la Ecuación\(\ref{eqn:12.12}\) tiene la forma indeterminada\(0/0\), de manera que existe, y podemos resolver por un no trivial\(\{\mathbf{x}\} \neq \mathbf{0}\), pero cualquier múltiplo constante de también\(\{\mathbf{x}\}\) es una solución ya que\(\{\mathbf{b}\}=0\) en Ecuación \(\ref{eqn:12.9}\).

    Por lo tanto, para nuestra aplicación actual\(\ref{eqn:12.8}\), Ecuación, debemos buscar una solución tipo 2.

    Para encontrar el mismo resultado tipo 2 que en el último párrafo, pero sin usar matrices o teoría del álgebra lineal, escribamos la ecuación\(\ref{eqn:12.8}\) como dos ecuaciones escalares separadas, y luego intentemos resolverlas algebraicamente para\(Y_{1}\) y\(Y_{2}\):

    \[\left(k_{1}+k_{2}-\omega^{2} m_{1}\right) Y_{1}-k_{2} Y_{2}=0 \Rightarrow Y_{2}=\frac{1}{k_{2}}\left(k_{1}+k_{2}-\omega^{2} m_{1}\right) Y_{1}\label{eqn:12.13a} \]

    \[-k_{2} Y_{1}+\left(k_{2}-\omega^{2} m_{2}\right) Y_{2}=0=-k_{2} Y_{1}+\left(k_{2}-\omega^{2} m_{2}\right) \frac{1}{k_{2}}\left(k_{1}+k_{2}-\omega^{2} m_{1}\right) Y_{1}\label{eqn:12.13b} \]

    Reorganizar la última parte de la ecuación\(\ref{eqn:12.13b}\) un poco diferente da

    \[\left[\left(k_{1}+k_{2}-\omega^{2} m_{1}\right)\left(k_{2}-\omega^{2} m_{2}\right)-k_{2}^{2}\right] \frac{Y_{1}}{k_{2}}=0\label{eqn:12.14} \]

    Queremos resolver Ecuación\(\ref{eqn:12.14}\) para un distinto de cero, lo que nos lleva a concluir que:

    1. el término multiplicación entre corchetes\(Y_{1} / k_{2}\) debe ser cero [Tenga en cuenta que el término entre corchetes es el determinante de la matriz de coeficientes en la Ecuación\(\ref{eqn:12.8}\).]; y
    2. aún no podemos asignar ningún valor específico a\(Y_{1}\) (pero podremos hacerlo más adelante si elegimos considerar este problema como respuesta temporal a traducciones iniciales específicas).

    El término entre corchetes en Ecuación\(\ref{eqn:12.14}\) debe ser cero; al realizar las multiplicaciones, vemos que conduce a una ecuación cuadrática en lo desconocido\(\omega^{2}\):

    \[m_{1} m_{2}\left(\omega^{2}\right)^{2}+\left[-m_{1} k_{2}-m_{2}\left(k_{1}+k_{2}\right)\right] \omega^{2}+k_{1} k_{2}=0\label{eqn:12.15} \]

    Este tipo de ecuación polinómica se denomina generalmente la ecuación característica del problema de la vibración libre. Para cualquier valor realista de las constantes de masa y rigidez, Ecuación\(\ref{eqn:12.15}\) tiene dos raíces reales, positivas, que denotamos como\(\omega_{1}^{2}\) y\(\omega_{2}^{2}\).

    Consideremos un caso simplificado numéricamente para el que las masas son iguales,\(m_{1}=m_{2} \equiv m\), y las constantes de rigidez también son iguales,\(k_{1}=k_{2} \equiv k\). En este caso, la ecuación cuadrática Ecuación\(\ref{eqn:12.15}\) se convierte en

    \[m^{2}\left(\omega^{2}\right)^{2}-3 m k \omega^{2}+k^{2}=0\label{eqn:12.16} \]

    Usando la solución estándar de ecuaciones cuadráticas, Ecuación 2.1.2, encontramos que las raíces de la Ecuación\(\ref{eqn:12.16}\) son

    \[\omega^{2}=\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2} \frac{k}{m}=(0.382,2.618) \frac{k}{m}\label{eqn:12.17} \]

    Para futuras referencias, tenga en cuenta que la parte inferior de los\(\pm\) signos da la más pequeña (la “primera”) de las dos\(\omega^{2}\) raíces, y que el signo superior da la mayor (la “segunda”) de las dos\(\omega^{2}\) raíces. Solo las frecuencias circulares positivas son físicamente significativas, y son:

    \[\omega=(0.618,1.618) \sqrt{k / m} \Rightarrow \omega_{1}=0.618 \sqrt{k / m} \text { and } \omega_{2}=1.618 \sqrt{k / m}\label{eqn:12.18} \]

    De las dos frecuencias circulares en Ecuaciones\(\ref{eqn:12.18}\), el valor menor\(\omega_{1}\) se llama la primera frecuencia natural o fundamental, y el valor mayor\(\omega_{2}\) se llama la segunda frecuencia natural. Por convención, las frecuencias naturales siempre se numeran en orden ascendente para todos los sistemas de orden superior que tienen dos o más frecuencias naturales. Es matemáticamente sistemático definir un subíndice entero\(n\) que sea 1 o 2, e identificar las frecuencias naturales de manera más general como\(\omega_n\),\(n\) = 1, 2. (En este caso, el símbolo\(n\) realiza doble función, porque ambos implica frecuencia natural de vibración y toma los valores 1 o 2 para distinguir las dos frecuencias naturales entre sí).

    A continuación, busquemos valores de\(Y_1\) y\(Y_2\) asociados con cada una de las frecuencias naturales. Es apropiado y eficiente extender el uso del subíndice\(n\) a estos valores de magnitud de movimiento etiquetando como\(Y_{1n\) y\(Y_{2n}\) los valores asociados con frecuencia\(\omega_n\),\(n\) = 1, 2. Reescribamos ecuaciones\(\ref{eqn:12.13a}\) y\(\ref{eqn:12.13b}\) usando esta notación y el caso numéricamente simplificado de masas iguales y constantes de rigidez iguales:

    \[\left(2 k-\omega_{n}^{2} m\right) Y_{1 n}-k Y_{2 n}=0 \Rightarrow Y_{2 n}=\frac{1}{k}\left(2 k-\omega_{n}^{2} m\right) Y_{1 n}\label{eqn:12.19a} \]

    \[-k Y_{1 n}+\left(k-\omega_{n}^{2} m\right) Y_{2 n}=0 \Rightarrow Y_{2 n}=\frac{k}{k-\omega_{n}^{2} m} Y_{1 n}\label{eqn:12.19b} \]

    Como se afirma en la discusión de Ecuación\(\ref{eqn:12.14}\), aún no podemos asignar ningún valor específico a\(Y_{1n}\). Si dejamos\(Y_{1n}\) arbitrarios (pero no cero) por ahora, entonces Ecuaciones\(\ref{eqn:12.19a}\) y\(\ref{eqn:12.19b}\) parecen dar dos formas diferentes de resolver para\(Y_{2n}\) en término de\(Y_{1n}\). Usemos la ecuación de frecuencia natural\(\ref{eqn:12.17}\) para evaluar ambas ecuaciones:

    \[Y_{2 n}=\frac{1}{k}\left(2 k-\omega_{n}^{2} m\right) Y_{1 n}=\left(2-\omega_{n}^{2} \frac{m}{k}\right) Y_{1 n}=\left(2-\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right) Y_{1 n}=\frac{1 \mp \sqrt{5}}{2} Y_{1 n}\label{eqn:12.20a} \]

    \[Y_{2 n}=\frac{k}{k-\omega_{n}^{2} m} Y_{1 n}=\frac{1}{1-\omega_{n}^{2} \frac{m}{k}} Y_{1 n}=\frac{1}{1-\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}} Y_{1 n}=\frac{2}{-1 \mp \sqrt{5}} Y_{1 n} \nonumber \]

    \[Y_{2 n}=\frac{2}{-1 \mp \sqrt{5}} \times \frac{1 \mp \sqrt{5}}{1 \mp \sqrt{5}} Y_{1 n}=\frac{1 \mp \sqrt{5}}{2} Y_{1 n}\label{eqn:12.20b} \]

    Ambas ecuaciones ¡Ecuaciones\(\ref{eqn:12.20a}\) y\(\ref{eqn:12.20b}\) dan la misma respuesta! Matemáticamente, este resultado está relacionado con el cero del determinante de la matriz de coeficientes en la Ecuación\(\ref{eqn:12.8}\), pero lo mejor es dejar la teoría detallada a un libro más avanzado (por ejemplo, Craig, 1981, Sección 13.1). Para nuestros propósitos, basta con reconocer a partir de este ejemplo que, en este tipo de problemas, ambas ecuaciones tienen la misma solución, por lo que es necesario resolver sólo una de ellas.

    A continuación, recopilemos juntos de Ecuaciones\(\ref{eqn:12.8}\)\(\ref{eqn:12.20a}\),, y\(\ref{eqn:12.20b}\) todos los resultados numéricos para cada valor del índice\(n\) en modos de vibración, cuya significación física se aclarará más adelante. Ya hemos observado que\(Y_{1n}\) es algún valor arbitrario distinto de cero, así que no se pierde nada si establecemos\(Y_{1n}=9\) (con dimensión de traslación, es decir, longitud) para ambos modos de vibración.

    \(n\)= 1, primer modo (fundamental) de vibración: [el signo inferior en Ecuaciones\(\ref{eqn:12.20a}\) y\(\ref{eqn:12.20b}\)]

    \ [\ omega_ {1} =0.618\ sqrt {\ frac {k} {m}},\ quad Y_ {21} =\ frac {1+\ sqrt {5}} {2} Y_ {11} =1.618\ Rightarrow\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {11}\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
    1\\
    1.618
    \ end {array}\ derecha]\ etiqueta {eqn:12.21a}\]

    \(n\)= 2, segundo modo de vibración: [el signo superior\(\ref{eqn:12.20a}\) y\(\ref{eqn:12.20b}\)]

    \ [\ omega_ {2} =1.618\ sqrt {\ frac {k} {m}},\ quad Y_ {22} =\ frac {1-\ sqrt {5}} {2} Y_ {12} =-0.618\ Rightarrow\ left [\ begin {array} {c}
    Y_ {12}\
    Y_ {22}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
    1\\
    -0.618
    \ end {array}\ right] \ label {eqn:12.21b}\]

    Por razones que quedarán claras más adelante, las matrices de columna\(\left[\begin{array}{l} Y_{11} \\ Y_{21} \end{array}\right]\) y se\(\left[\begin{array}{l} Y_{12} \\ Y_{22} \end{array}\right]\) denominan las formas de modo de, respectivamente, el primer y segundo modos de vibración. NOTA: En Ecuaciones\(\ref{eqn:12.21a}\) y\(\ref{eqn:12.21b}\) establecemos\(Y_{11}=Y_{12}=1\) con dimensión de longitud, pero eso no implica necesariamente que las magnitudes de las respuestas físicas\(y_1(t)\) y\(y_2(t)\) sean de un metro o un pie o una pulgada (dependiendo del sistema unitario en uso). Las magnitudes reales de respuesta física están determinadas por las condiciones iniciales, como se discute en el párrafo siguiente.

    Recordemos que estamos buscando respuesta a la deformación inicial distinta de cero, con velocidad inicial cero, y así elegimos la solución en la forma\ (\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (t)\\
    y_ {2} (t)
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {1}\\
    Y_ {2 }
    \ end {array}\ right]\ cos\ omega t\), Ecuación\(\ref{eqn:12.6}\). En vista de los resultados de vibración libre Ecuaciones\(\ref{eqn:12.21a}\) y\(\ref{eqn:12.21b}\), es bastante plausible físicamente (y se puede probar rigurosamente) que la respuesta general de traducción inicial pueda escribirse como la suma lineal de dos términos como Ecuación\(\ref{eqn:12.6}\), uno para cada uno de los modos de vibración :

    \ [\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (t)\\
    y_ {2} (t)
    \ end {array}\ right] =C_ {1}\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {11}\\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ derecha]\ cos\ omega_ {1} t+C_ {2} izquierda\ [\ begin {array} {l}
    Y_ {12}\\
    Y_ {22}
    \ end {array}\ derecho]\ cos\ omega_ {2} t\ label {eqn:12.22}\]

    En Ecuación\(\ref{eqn:12.22}\), las constantes multiplicadoras adimensionales\(C_1\) y\(C_2\) muestran la contribución a la respuesta total debido a cada modo de vibración; se encuentran a partir de traducciones iniciales dadas\(y_1(0)\) y\(y_2(0)\) escribiendo Ecuación\(\ref{eqn:12.22}\) para\(t\) = 0:

    \ [\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (0)\\
    y_ {2} (0)
    \ end {array}\ right] =C_ {1}\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {11}\\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ right] +C_ {2}\ left [\ begin {array} {l}
    Y{ 12}\\
    Y_ {22}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {ll}
    Y_ {11} & Y_ {12}\\
    Y_ {21} & Y_ {22}
    \ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
    C_ {1}\
    C_ {2}
    \ end {array}\ right]\ label {eqn:12.23}\]

    El determinante de la matriz\(2\times 2\) modeo-forma [\(\mathbf{Y}\)] en Ecuación\(\ref{eqn:12.23}\) es distinto de cero, de manera que la matriz puede invertirse y la ecuación se puede resolver mediante la aplicación de la Ecuación\(\ref{eqn:12.12}\), para las constantes arbitrarias conocidas\(y_1(0)\) y\(y_2(0)\), para dar las constantes de contribución de modo \(C_1\)y\(C_2\):

    \ [\ left [\ begin {array} {c}
    C_ {1}\
    C_ {2}
    \ end {array}\ right] =\ frac {1} {\ operatorname {det} [\ mathbf {Y}]}\ left [\ begin {array} {cc}
    Y_ {22} & -Y_ {12}\\
    -Y_ {21} & Y_ {11}
    \ end {array}\ derecha]\ izquierda [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (0)\\
    y_ {2} (0)
    \ end {array}\ derecha]\ label {eqn:12.24}\]

    Ahora, supongamos que la traducción inicial se elige para tener la forma del primer modo, es decir, que sea proporcional a\ (\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {11}\\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ right]\) con constante adimensional de proporcionalidad\(D_1\):\ (\ left [\ begin { array} {l}
    y_ {1} (0)\\
    y_ {2} (0)
    \ end {array}\ right] =D_ {1}\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {11}\\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ right]\). Sustituyendo esta traducción inicial en Ecuación\(\ref{eqn:12.24}\) da

    \ [\ left [\ begin {array} {c}
    C_ {1}\
    C_ {2}
    \ end {array}\ right] =\ frac {1} {\ operatorname {det} [\ mathbf {Y}]}\ left [\ begin {array} {cc}
    Y_ {22} & -Y_ {12}\\
    -Y_ {21} & Y_ {11}
    \ end {array}\ derecha] D_ {1}\ left [\ begin {array} {c}
    Y_ {11}\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ derecha] =\ frac {D_ {1}} {\ nombre del operador {det} [\ mathbf {Y}]}\ left [\ begin {array} {c}
    Y_ {22} Y_ {11} -Y_ {12} Y_ {21}\
    -Y_ {21} Y_ {11} +Y_ {11} Y_ {21}
    \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
    D_ {1}\\
    0
    \ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

    Por lo tanto, la ecuación de respuesta total\(\ref{eqn:12.22}\) es\ (\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (t)\\
    y_ {2} (t)
    \ end {array}\ right] =D_ {1}\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {11}\\
    Y_ {21}
    \ end {array}\ right]\ cos\ omega_ {1} t\) para\(t \geq 0\). Expresemos este resultado matemático en palabras: si imponemos la traslación inicial en la forma del primer modo de vibración, entonces la vibración libre posterior del sistema será el movimiento sinusoidal puro a la primera frecuencia natural, y las posiciones relativas de las dos masas en cada instante del tiempo permanecerá en la forma del primer modo. En otras palabras, ambas masas vibrarán con frecuencia\(\omega_1\), y en cada instante\(t \geq 0\) la relación\(y_{2}(t) / y_{1}(t)\) tendrá el mismo valor\(Y_{21} / Y_{11}\), que es 1.618 para el ejemplo numérico de Ecuaciones\(\ref{eqn:12.16}\),\(\ref{eqn:12.17}\),\(\ref{eqn:12.18}\) y Ecuación\(\ref{eqn:12.20a}\),\(\ref{eqn:12.20b}\), \(\ref{eqn:12.21a}\), y\(\ref{eqn:12.21b}\). En este caso, las dos masas se mueven en la misma dirección en cada instante, por lo que se dice que se mueven en fase entre sí.

    Supongamos a continuación que la traducción inicial se elige para tener la forma del segundo modo, para que sea proporcional a\ (\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {12}\\
    Y_ {22}
    \ end {array}\ right]\) con constante adimensional de proporcionalidad\(D_2\). Siguiendo el procedimiento del último párrafo, podemos encontrar que la ecuación de respuesta total\(\ref{eqn:12.22}\) es\ (\ left [\ begin {array} {l}
    y_ {1} (t)\\
    y_ {2} (t)
    \ end {array}\ right] =D_ {2}\ left [\ begin {array} {l}
    Y_ {12}\\
    Y_ {22}
    \ end {array}\ right]\ cos\ omega_ {2} t\) para\(t \geq 0\). En palabras, la posterior vibración libre del sistema será el movimiento sinusoidal puro a la segunda frecuencia natural, y las posiciones relativas de las dos masas en cada instante del tiempo permanecerán en la forma del segundo modo: ambas masas vibrarán con frecuencia\(\omega_2\), y en cada instante\(t \geq 0\) la relación\(y_{2}(t) / y_{1}(t)\) tendrá el mismo valor,\(Y_{22} / Y_{12}\), que es −0.618 para el ejemplo numérico de Ecuaciones\(\ref{eqn:12.16}\)\(\ref{eqn:12.17}\),,\(\ref{eqn:12.18}\) y Ecuación\(\ref{eqn:12.20a}\)\(\ref{eqn:12.20b}\),\(\ref{eqn:12.21a}\), y\(\ref{eqn:12.21b}\). En este caso, las dos masas se mueven en direcciones opuestas en cada instante, por lo que se dice que se mueven fuera de fase.

    Los modos de vibración de este sistema de masa-resorte 2-DOF, el ejemplo numérico de Ecuaciones\(\ref{eqn:12.16}\)\(\ref{eqn:12.17}\), y\(\ref{eqn:12.18}\) y Ecuación\(\ref{eqn:12.20a}\)\(\ref{eqn:12.20b}\),\(\ref{eqn:12.21a}\), y\(\ref{eqn:12.21b}\), se representan gráficamente en la Figura\(\PageIndex{2}\). El sistema se muestra en su posición de equilibrio estático para referencia, y en posiciones deformadas correspondientes a cada uno de los modos de vibración. No podemos animar en la página impresa el movimiento dinámico de un modo de vibración, por lo que imaginamos que estamos viendo una instantánea de las masas tomadas en un instante de tiempo cuando las deformaciones son distintas de cero durante cualquier ciclo de vibración.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Modos de vibración del sistema masa-resorte de 2 DOF que tiene masas iguales y resortes iguales

    El objeto de este capítulo es derivar e ilustrar el carácter físico de los modos de vibración de los sistemas 2-DOF no amortiguados. La forma más clara y directa de hacerlo es restringir la atención a la respuesta resultante de una deformación inicial simple, con velocidad inicial cero y acción de entrada cero. No vamos a ir más allá en este libro, pero hay que informarle que la teoría iniciada aquí se puede extender para dar cuenta de condiciones iniciales arbitrarias distintas de cero (tanto de deformación como de velocidad) y acciones de entrada arbitrarias distintas de cero impuestas a sistemas de 2-DOF amortiguados. De hecho, la teoría puede extenderse a sistemas amortiguados de orden superior que tienen cualquier número de grados de libertad, que a menudo se llaman sistemas N-DOF, con\(N\geq 2\). El método general de análisis se llama análisis modal, y se utiliza ampliamente en la práctica de ingeniería y la investigación tanto para estudios matemáticos como experimentales. Este libro apenas rasca la superficie del análisis modal; la teoría se extiende a la respuesta general de los sistemas mecánicos LTI mediante libros más avanzados sobre análisis de sistemas lineales y dinámicas estructurales, siendo dos ejemplos Meirovitch, 2001, Capítulo 7 y Craig, 1981, Capítulos 13-15.


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