13.4: Capítulo 13 Tareas

1. Considere la ecuación estándar ODE 3.4.8 para un sistema estable ^de primer orden,\(\dot{x}+\left(1 / \tau_{1}\right) x=b u(t)\), en el que\(u(t)\) está la cantidad de entrada,\(x(t)\) es la cantidad de salida,\(\tau_{1}\) es la constante de tiempo positiva y\(b\) es una constante. Denote el Laplace se transforma como\(L[u(t)]=U(s)\) y\(L[x(t)]=X(s)\). Derivar y dibujar para este sistema un diagrama de bloques de Laplace con retroalimentación, un diagrama de bloques del mismo tipo que la Figura 13.2.3. La señal de entrada en el lado izquierdo de su diagrama de bloques es\(U(s)\), y la señal de salida en el lado derecho es\(X(s)\).
2. Con voltajes de entrada y salida\(e_{i}(t)\) y\(e_{o}(t)\), respectivamente, el ODE gobernante para el circuito eléctrico en\(LRC\) serie es\(L \ddot{e}_{o}+R \dot{e}_{o}+(1 / C) e_{o}=(1 / C) e_{i}(t)\), como se deriva en la Sección 9.2. Denote las transformadas de Laplace como\(L\left[e_{i}(t)\right]=E_{i}(s)\) y\(L\left[e_{o}(t)\right]=E_{o}(s)\), luego derivar y dibujar para este sistema un diagrama de bloques de Laplace con retroalimentación, un diagrama de bloques del mismo tipo que la Figura 13.2.3. La señal de entrada en el lado izquierdo de su diagrama de bloques es\(E_{i}(s)\), y la señal de salida en el lado derecho es\(E_{o}(s)\).
3. Un cierto sistema ^{de tercer} orden tiene excitación\(u(t)\) y respuesta\(x(t)\), y su ODE gobernante es\(a_{1} \ddot{x}+a_{2} \ddot{x}+a_{3} \dot{x}+a_{4} x=b u(t)\), en la que todos\(a_i\) y\(b\) son constantes. Denote el Laplace se transforma como\(L[u(t)]=U(s)\) y\(L[x(t)]=X(s)\). Derivar y dibujar para este sistema un diagrama de bloques de Laplace con retroalimentación, un diagrama de bloques del mismo tipo que la Figura 13.2.3, pero algo más complicado. La señal de entrada en el lado izquierdo de su diagrama de bloques es\(U(s)\), y la señal de salida en el lado derecho es\(X(s)\). Su diagrama de bloques debe tener tres ramas de retroalimentación.
4. Considere el orden superior (^4º orden en este caso), 2-DOF sistema mecánico de tarea Problemas 11.2 y 12.1, para lo cual la ecuación matricial acoplada de movimiento es\ [\ left [\ begin {array} {cc}
   m & 0\\
   0 & J_ {H}
   \ end {array}\ derecha]\ izquierda [\ begin {array} {c}
   \ ddot {y} _ {1}\\ ddot {
   \ theta} _ {2}
   \ end {array}\ derecha] +\ izquierda [\ begin {array} {cc} k_ {y} & -a
   k_ {y}\\ -a k_ {y}\
   -a k_ {y} & k_ {\ theta} +a^ {2} k_ y}
   \ end {array}\ derecha]\ left [\ begin {array} {c}
   y_ {1}\\
   \ theta_ {2}
   \ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
   0\\
   a F (t)
   \ end {array}\ right]\ nonumber\]
   1. A partir de la ecuación matricial, escriba las dos ODEs escalares separadas que están acopladas por el término\(-a k_{y} \theta_{2}\) en la “\(y_{1}(t)\)ODE” (es decir, la ODE que incluye aceleración\(\ddot{y}_{1}\)), y el término\(-a k_{y} y_{1}\) en la “\(\theta_{2}(t)\)ODE”. Este sistema tiene la entrada única, fuerza\(F(t)\), pero dos cantidades de salida, traslación\(y_{1}(t)\) de la masa y rotación\(\theta_{2}(t)\) de la barra rígida.
   2. Denotar el Laplace se transforma como\(L[F(t)]\),\(L\left[y_{1}(t)\right]=Y(s)\), y\(L\left[\theta_{2}(t)\right]=\Theta(s)\). Tome las transformadas de Laplace de ambas ODEs, con cero ICs. Ahora, derivar y dibujar para este sistema un diagrama de bloques de Laplace (en la forma de la Figura 13.2.3, pero con diferencias) que tenga retroalimentación y también “feed-across” entre la rama que fluye hacia adelante que se desarrolla a partir de la\(y_{1}(t)\) ODE y la rama que fluye hacia adelante que se desarrolla a partir de la\(\theta_{2}(t)\) ODE. La señal de entrada en el lado izquierdo de su diagrama de bloques es\(L[F(t)]\), y las dos señales de salida en el lado derecho son\(Y(s)\) y\(\Theta(s)\), una de cada una de las ramas que fluyen hacia adelante.