14.6: Comentarios respecto a la teoría de control

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En palabras de Brogan, 1974, página 1, “La teoría del control puede dividirse en dos categorías principales, clásica y moderna”. Los capítulos 14, 15, 16 y 17 de este libro constituyen una introducción a la primera, a saber, la teoría clásica de control para sistemas lineales invariantes en el tiempo (LTI). Mientras que la teoría de control clásica se centra en sistemas relativamente simples de entrada única salida (SISO), la teoría de control moderna, que se basa en la representación matemática estado-espacio de los sistemas, es muy adecuada para el diseño y análisis de control tanto para sistemas simples como para mucho más sistemas complicados de múltiples entradas-múltiples salidas (MIMO). ¹

La representación estado-espacio de los sistemas es una generalización de la ecuación ^estándar 1.2.1 de ODE de primer orden\(\dot{x}-a x=b u(t)\), que tiene solo la entrada única\(u(t)\) y la variable dependiente única\(x(t)\). En la generalización a un sistema LTI-MIMO de, digamos,\(r\) entradas y variables\(n\) dependientes, escalar\(x(t)\) se convierte en el vector de\(n \times 1\) estado (matriz de columna)\(\mathbf{x}(t)\) de variables dependientes, escalar\(u(t)\) se convierte en el\(r \times 1\) vector de entradas\(\mathbf{u}(t)\), constante única \(a\)se convierte en la\(n \times n\) matriz\(\mathbf{A}\) de las constantes del sistema, la constante única\(b\) se convierte en la\(n \times r\) matriz\(\mathbf{B}\) de las constantes de entrada y la ODE única\(\dot{x}-a x=b u(t)\) se convierte en el sistema de ^ODEs\(n\) acopladas de primer orden escritas en forma de matriz, \(\dot{\mathbf{x}}-\mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{B u}(t)\). Todos los sistemas de ^segundo orden analizados en este libro se pueden expresar en forma estado-espacio\(\mathbf{x}(t)\) siendo\ (2\ veces 1) vectores de estado; por ejemplo, las dos ecuaciones escalares 1.9.3 y 1.9.4 pueden escribirse claramente como la siguiente ODE de matriz única:

\ [\ left [\ begin {array} {c}
\ dot {x}\
\ dot {v}
\ end {array}\ right] -\ left [\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
-k/m & -c/m
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {c}
x\
v
\ end {array} \ right] =\ left [\ begin {array} {c}
0\\
1/m
\ end {array}\ right] f_ {x} (t)\ nonumber\]

Además, los sistemas 2-DOF de los Capítulos 11 y 12 pueden expresarse en forma de espacio de\(4 \times 1\) estado\(\mathbf{x}(t)\) siendo vectores de estado.

Los capítulos 14, 15, 16 y 17 de este libro deben proporcionar una preparación adecuada para el estudio de los aspectos fundamentales de la teoría moderna del control. Tres libros de texto apropiados, entre los muchos disponibles, son Brogan, 1974, Franklin, et al. , 1991, y Ogata, 2001.

¹ Franklin, et al., 1991, página 361, escribieron que el adjetivo “moderno” es engañoso “... ya que el método estado-espacio de descripción para ecuaciones diferenciales tiene más de 100 años y se introdujo para controlar el diseño a fines de la década de 1950,...”. Esos autores prefieren las denominaciones “métodos de transformación” en lugar de “control clásico” y “métodos estado-espacio” en lugar de “control moderno”