15.3: Derivación del Teorema del Valor Final

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Considera una función física continua\(f(t)\), con derivada continua\(d f / d t\), y con transformada de Laplace\(L[f(t)]=F(s)\). El teorema del valor final expresa el valor final en estado estacionario de\(f(t)\) en términos de\(F(s)\) como:

\[\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0}[s F(s)]\label{eqn:15.15} \]

Este teorema es útil para encontrar el valor final porque casi siempre es más fácil derivar la transformada de Laplace y evaluar el límite en el lado derecho, que derivar la ecuación para\(f(t)\) y evaluar el límite en el lado izquierdo. Teorema del valor final\(\ref{eqn:15.15}\) La ecuación es válida siempre que\(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t)\) exista (es decir, es un valor finito, constante). Pero debemos aplicar la Ecuación\(\ref{eqn:15.15}\) con cuidado, porque el teorema mismo no logra distinguir entre funciones para las que existe el límite y funciones que no tienen límite. En efecto, el teorema puede predecir falsamente que un sistema inestable tiene un límite cuando, de hecho, no hay ninguno, es decir, eso\(\lim _{t \rightarrow \infty} f(t) \rightarrow \pm \infty\).

La derivación del teorema del valor final se basa en la definición Ecuación 2.2.5 de una transformada de Laplace y la transformada de Laplace Ecuación 2.2.9 de una derivada:

\[L\left[\frac{d}{d t} f(t)\right]=\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t}\left[\frac{d}{d t} f(t)\right] d t=s F(s)-f(0) \nonumber \]

Tomando el límite de todos los términos como\(s \rightarrow 0\) da

\[\lim _{s \rightarrow 0} L\left[\frac{d}{d t} f(t)\right]=\int_{t=0}^{t=\infty} 1 \times\left[\frac{d}{d t} f(t)\right] d t=\lim _{s \rightarrow 0}[s F(s)]-f(0) \nonumber \]

Ahora la integral se evalúa fácilmente:

\[\int_{t=0}^{t=\infty}\left[\frac{d}{d t} f(t)\right] d t \equiv f(\infty)-f(0)=\lim _{s \rightarrow 0}[s F(s)]-f(0) \nonumber \]

\[\Rightarrow \quad f(\infty) \equiv \lim _{t \rightarrow \infty} f(t)=\lim _{s \rightarrow 0}[s F(s)] \nonumber \]

Esto completa la derivación de la Ecuación del Teorema del Valor Final\(\ref{eqn:15.15}\), que se aplicó anteriormente para volver a derivar el resultado de la Ecuación 15.2.12 y en la Ecuación 15.2.18.