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16.1: Criterio general de estabilidad de tiempo-respuesta para sistemas LTI

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Para cualquier sistema físico lineal, invariable en el tiempo (LTI), de entrada única y salida única (SISO), denotamos la entrada como\(u(t)\) [o\(r(t)\), la configuración del operador de referencia para sistemas controlados] y la salida como\(x(t)\). Para un sistema de orden\(n\) th, en general, la entrada y salida están relacionadas por una ODE de la forma

    \[a_{1} \frac{d^{n} x}{d t^{n}}+a_{2} \frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}}+\ldots+a_{n} \frac{d x}{d t}+a_{n+1} x=b_{1} \frac{d^{m} u}{d t^{m}}+b_{2} \frac{d^{m-1} u}{d t^{m-1}}+\ldots+b_{m} \frac{d u}{d t}+b_{m+1} u\label{eqn:16.1} \]

    Símbolos\(a_{1}, \ldots, a_{n+1}\) y\(b_{1}, \ldots, b_{m+1}\) son constantes (con el sistema de numeración clave a la notación MATLAB), y\(m \leq n\). Con el uso de la Ecuación 2.2.10, especialmente para términos de condición inicial, la transformada de Laplace de Ecuación\(\ref{eqn:16.1}\) es

    \[\left(a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}\right) L[x(t)]-a_{1}\left[s^{n-1} x(0)+s^{n-2} \frac{d x}{d t}(0)+\ldots+\frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}}(0)\right]-a_{2}\left[s^{n-2} x(0)+s^{n-3} \frac{d x}{d t}(0)+\ldots+\frac{d^{n-2} x}{d t^{n-2}}(0)\right]-\ldots-a_{n} x(0)=\left(b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m} s+b_{m+1}\right) L[u(t)]\label{eqn:16.2} \]

    Los términos de condición inicial en el lado izquierdo son algebraicamente desordenados; se adaptará a nuestros propósitos combinar\(a_{k}\) constantes conocidas y condiciones iniciales conocidas en coeficientes constantes denotados como\(I C_{k}\), y expresar los términos de condición inicial en la siguiente forma algebraica más simple, dispuestos en orden de potencias descendentes de\(s\):

    \[-\overbrace{a_{1} x(0)}^{=I C_{1}} s^{n-1}-\overbrace{\left[a_{1} \frac{d x}{d t}(0)+a_{2} x(0)\right]}^{\equiv I C_{2}}S^{n-2}-\ldots-\overbrace{\left[a_{1} \frac{d^{n-1} x}{d t^{n-1}}(0)+a_{2} \frac{d^{n-2} x}{d t^{n-2}}(0)+\ldots+a_{n} x(0)\right]}^{\equiv I C_{n}}\equiv-I C_{1} s^{n-1}-I C_{2} s^{n-2}-\ldots-I C_{n-1} s-I C_{n} \nonumber \]

    Por lo tanto, podemos expresar la Ecuación\(\ref{eqn:16.2}\) en la forma algebraicamente más simple,

    \[\left(a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}\right) L[x(t)]-I C_{1} s^{n-1}-I C_{2} s^{n-2}-\ldots-I C_{n-1} s-I C_{n}=\left(b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m} s+b_{m+1}\right) L[u(t)]\label{eqn:16.3} \]

    La solución algebraica de la ecuación\(\ref{eqn:16.3}\) para la transformada de Laplace de la salida es:

    \[L[x(t)]=\frac{I C_{1} s^{n-1}+I C_{2} s^{n-2}+\ldots+I C_{n-1} s+I C_{n}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}}+\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m} s+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}} L[u(t)]\label{eqn:16.4} \]

    Ahora es apropiado examinar la naturaleza de la solución de transformación Ecuación\(\ref{eqn:16.4}\). Vamos a referirnos al primer término en el lado derecho como la “transformada de respuesta IC”, y al segundo término como la “transformada de respuesta forzada”. Observe primero que el coeficiente de transformada de entrada\(L[u(t)]\) en la transformada de respuesta forzada es la función de transferencia del sistema, de la Ecuación 4.6.3,

    \[T F(s) \equiv \frac{L[x(t)]_{I C s=0}}{L[u(t)]}=\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m} s+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}}\label{eqn:16.5} \]

    Si el sistema se controla con el uso de retroalimentación, entonces Ecuación\(\ref{eqn:16.5}\) representa la función de transferencia de bucle cerrado, que generalmente denotamos como\(\operatorname{CLTF}(s)\). Es convencional expresar\(T F(s)\) en la siguiente forma, con polinomios numeradores y denominador factorizados:

    \[T F(s)=\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m} s+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}} \equiv \frac{\operatorname{Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}=\frac{b_{1}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)}\label{eqn:16.6} \]

    Las\(m\) raíces\(z_k\) de la ecuación polinómica\(\operatorname{Num}(z)=0\) se denominan los ceros de la función de transferencia, ya que\(T F(s)=0\) si s es igual a cualquiera\(z_k\). Las\(n\) raíces\(p_k\) de la ecuación polinómica\(\operatorname{Den}(p)=0\) se llaman los polos de la función de transferencia, porque\(T F(s) \rightarrow \infty\) si\(s\) es igual a cualquiera\(p_k\). [Imagínese la compleja superficie espacial\(T F(s)\) graficada en función de las coordenadas\(\operatorname{Re}(s)\) y\(\operatorname{Im}(s)\): porque\(s\) en las inmediaciones de cualquiera\(p_k\), la superficie se verá algo así como la de una carpa de circo cerca de donde es sostenida por un poste estructural; sin embargo, mientras que el polo circustente tiene longitud finita, el polo matemático es infinitamente largo.]

    Observe a continuación que ambos términos del lado derecho de la Ecuación\(\ref{eqn:16.4}\) tienen en sus denominadores el término\(\operatorname{Den}(s)\) definido en Ecuación\(\ref{eqn:16.6}\). Este término es la clave para la estabilidad del sistema. La ecuación polinómica de grado\(n\) th\(\operatorname{Den}(p)=0\) es la ecuación característica general 1 del sistema, y sus\(n\) raíces son los polos\(p_{k}\),\(k=1,2, \ldots, n\). La estabilidad del sistema está determinada por los signos de las partes reales de los polos. El resultado general es:

    Si es\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)<0\) por todos\(k=1,2, \ldots, n\), entonces el sistema es estable. Si, por otro lado, hay al menos un polo para el cual\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)>0\), entonces el sistema es inestable.

    Para justificar este criterio general de estabilidad, continuaremos el análisis de Ecuación\(\ref{eqn:16.4}\) derivando conceptualmente la transformación inversa; sin embargo, es apropiado primero exponer el criterio anterior, sin pruebas, para que se pueda ver el resultado simple pero muy importante del análisis sin ser agobiados por todos los detalles de la derivación.

    En primer lugar, revisemos sin pruebas algunos resultados básicos de la teoría de ecuaciones polinómicas con coeficientes reales, una asignatura cubierta en la mayoría de los libros de texto de álgebra. Las raíces de tales ecuaciones son reales o complejas. Además, las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados. Por ejemplo, si una de las raíces de\(\operatorname{Den}(p)=0\) es compleja,\(p_{k}=\sigma_{k}+j \omega_{k}\), donde\(\sigma_{k}\) y\(\omega_{k}\) son reales, entonces una de las otras raíces es el complejo conjugado,\(p_{k+1}=\bar{p}_{k}=\sigma_{k}-j \omega_{k}\).

    Volviendo a la ecuación\(\ref{eqn:16.4}\), evaluemos primero la transformada de respuesta IC. El polinomio numerador es de grado menor que\(n\), el del polinomio denominador, por lo que generalmente podemos expandir todo el término en forma simple de fracción parcial [ver la discusión que rodea a las Ecuaciones 2.3.5 y 2.3.6]:

    \[\frac{I C_{1} s^{n-1}+I C_{2} s^{n-2}+\ldots+I C_{n-1} s+I C_{n}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}}=\frac{I C_{1} s^{n-1}+I C_{2} s^{n-2}+\ldots+I C_{n-1} s+I C_{n}}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)}=\sum_{k=1}^{n} \frac{C_{k}}{s-p_{k}}\label{eqn:16.7} \]

    Las constantes del lado derecho\(C_{k}\) en la ecuación\(\ref{eqn:16.7}\) se llaman residuos. Algunos resultados relevantes de la teoría de fracciones de polinomios con coeficientes reales son: si el polo\(p_{k}\) es real, entonces el residuo asociado\(C_{k}\) también es real; si el polo\(p_{k}\) es complejo, entonces el residuo asociado\(C_{k}\) también es complejo, y el residuo asociado con el polo conjugado complejo\(p_{k+1}\) es el conjugado de\(C_{k}\),\(C_{k+1}=\bar{C}_{k}\). Será útil en derivaciones que siguen para expresar un residuo complejo en forma polar,\(C_{k} \equiv\left|C_{k}\right| e^{j \angle C_{k}}\), en la que\(\left|C_{k}\right|\) se encuentra el valor absoluto (como en la función MATLAB abs), y\(\angle C_{k}\) es el ángulo (como en el ángulo de la función MATLAB). Ver Sección 2.1 para una revisión de números complejos y aritmética compleja.

    Tomando la transformada inversa de Ecuación\(\ref{eqn:16.7}\) para encontrar la respuesta de condición inicial, tratamos, en general, con dos “Tipos” de términos:

    1. términos que tengan polos reales y residuos reales; y
    2. pares de términos que tienen polos conjugados complejos y residuos conjugados complejos.

    La inversa de cualquier término Tipo 1 es un exponencial real simple, a partir de la Ecuación 2.2.6:

    \[L^{-1}\left[\frac{C_{k}}{s-p_{k}}\right]=C_{k} e^{p_{k} t}, C_{k} \text { real, and } p_{k} \text { real }\label{eqn:16.8} \]

    En Ecuación\(\ref{eqn:16.8}\), si\(p_{k}<0\), entonces el término decae exponencialmente a medida que aumenta el tiempo, lo cual es respuesta estable. Tal término decae eventualmente a un estado de equilibrio estático de cero; llamémoslo estabilidad exponencial. Sin embargo, si\(p_{k}>0\), entonces el término es un exponencial que crece permanentemente a medida que aumenta el tiempo, lo cual es una respuesta inestable. Por último, si\(p_{k}=0\), entonces el término es constante en el tiempo; tal respuesta es acotada y por lo tanto no inestable, lo cual es bueno para fines prácticos; pero tampoco es tan estable que finalmente decae a cero.

    A continuación, consideremos términos de Tipo 2, como se definió anteriormente Ecuación\(\ref{eqn:16.8}\), y derivemos la transformación inversa de un par de términos que tienen polos conjugados complejos y residuos conjugados complejos. En la siguiente secuencia de operaciones, aplicamos: primero, Ecuación 2.2.6; siguiente, identidades derivadas en la tarea Problemas 2.3.1 y 2.4; y, finalmente, la ecuación de Euler, Ecuación 2.1.12:

    \[L^{-1}\left[\frac{C_{k}}{s-p_{k}}+\frac{\bar{C}_{k}}{s-\bar{p}_{k}}\right]=C_{k} e^{p_{k} t}+\bar{C}_{k} e^{\bar{p}_{k} t}=C_{k} e^{p_{k} t}+\overline{C_{k} e^{p_{k} t}}=2 \times \operatorname{Re}\left[C_{k} e^{p_{k} t}\right] \nonumber \]

    \[=2 \times \operatorname{Re}\left[\left(\left|C_{k}\right| e^{j \angle C_{k}}\right) e^{\left(\sigma_{k}+j \omega_{k}\right) t}\right]=2\left|C_{k}\right| e^{\sigma_{k} t} \times \operatorname{Re}\left[e^{j\left(\omega_{k} t+\angle C_{k}\right)}\right] \nonumber \]

    \[=2\left|C_{k}\right| e^{\sigma_{k} t} \cos \left(\omega_{k} t+\angle C_{k}\right)\label{eqn:16.9} \]

    La ecuación\(\ref{eqn:16.9}\) 2 varía con el tiempo como sinusoide modulada por una envolvente exponencial. Con respecto a la estabilidad, el término crítico es la envolvente exponencial\(e^{\sigma_{k} t}\), y su carácter está determinado por el signo de\(\sigma_{k} \equiv \operatorname{Re}\left(p_{k}\right)\). Si\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)<0\), entonces\(e^{\operatorname{Re}\left(p_{k}\right) t}\) es un exponencial en decadencia, y la respuesta total es una oscilación estable amortiguada positivamente. Sin embargo, si\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)>0\), entonces\(e^{\operatorname{Re}\left(p_{k}\right) t}\) es un exponencial de crecimiento permanente, y la respuesta total es una oscilación inestable en constante expansión. Finalmente, si\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)=0\), entonces\(e^{\operatorname{Re}\left(p_{k}\right) t}\) es constante en el tiempo, y la respuesta total es una sinusoide de magnitud constante; tal respuesta está acotada y por lo tanto no es inestable; pero tampoco es tan estable que eventualmente decae a un estado de equilibrio estático, es decir, no lo es exponencialmente estable.

    Ahora que hemos derivado el criterio de estabilidad para los términos de respuesta CI de Ecuación\(\ref{eqn:16.4}\), volvamos nuestra atención a la transformación de respuesta forzada,

    \[L\left[x_{f}(t)\right] \equiv \frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m} s+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n} s+a_{n+1}} L[u(t)]=\frac{b_{1}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)} L[u(t)]\label{eqn:16.10} \]

    Consideraremos explícitamente en esta derivación solo funciones de transferencia para las cuales se aplican las siguientes condiciones prácticamente comunes:\(m<n\); no se repite ningún polo; ningún cero equivale a cualquier polo. Con estas restricciones y con otra restricción descrita en el párrafo siguiente, esta derivación particular no se aplica a todos los sistemas LTI concebibles. Sin embargo, la derivación general está más involucrada de lo necesario para nuestros fines. El criterio de estabilidad que derivaremos se aplica a cualquier sistema LTI, aunque no lo probaremos en general. En la Sección 16.2 se analiza en detalle un sistema específico, no trivial, con el fin de ilustrar toda la teoría que se desarrolla en esta sección.

    Para encontrar el inverso conceptual de Ecuación\(\ref{eqn:16.10}\), consideremos la naturaleza de la transformación\(L[u(t)]\) para las funciones de entrada físicamente comunes\(u(t)\). En esta derivación, consideraremos explícitamente solo el tipo de función de entrada cuya transformada de Laplace es una fracción de polinomios en la variable Laplace\(s\), siendo el polinomio numerador de menor grado que el polinomio denominador. (Sin embargo, el mismo criterio de estabilidad que derivamos para este tipo especial de función de entrada se puede derivar para cualquier función de entrada físicamente realizable). Los siguientes son ejemplos simples de este tipo de función de entrada, las cuales se definen como distintas de cero solo para\(t \geq 0\): paso ideal\(H(t)\), para el cual\(L[H(t)]=1 / s\); impulso-unidad-exponencial\(e^{-t / \tau} / \tau\), para el cual\(L\left[e^{-t / \tau} / \tau\right]=1 /(\tau s+1)\); escalón-unidad-exponencial\(1-e^{-t / 7}\), para lo cual\(L\left[1-e^{-t / \tau}\right]=1 /[s(\tau s+1)]\) (ver tarea Problema 8.6 para una discusión de las funciones exponencial-unidad-paso y exponencial-unidad-impulso); impulso exponencial inclinado\(t e^{-t / \tau}\), para el cual\(L\left[t e^{-t / \tau}\right]=1 /(s+1 / \tau)^{2}\); y sinusoide\(\cos \omega t\), para el cual\(L\left[t e^{-t / \tau}\right]=1 /(s+1 / \tau)^{2}\). Denotemos la transformación de Laplace de tales funciones de entrada en una forma general:

    \[L[u(t)] \equiv \frac{N_{u}(s)}{D_{u}(s)}=\frac{d_{1} s^{m u}+d_{2} s^{m u-1}+\ldots+d_{m u} s+d_{m u+1}}{c_{1} s^{n u}+c_{2} s^{n u-1}+\ldots+c_{n u} s+c_{n u+1}}=\frac{d_{1}\left(s-w_{1}\right)\left(s-w_{2}\right) \ldots\left(s-w_{m u}\right)}{c_{1}\left(s-q_{1}\right)\left(s-q_{2}\right) \ldots\left(s-q_{n u}\right)}\label{eqn:16.11} \]

    Constantes\(c_{i}\) y\(d_{i}\) son coeficientes conocidos de potencias de\(s\), y constantes\(q_{i}\) y\(w_{i}\) son, respectivamente, polos y ceros de la transformada de entrada. Hay que tener en cuenta que asumimos\(N_{u}(s)\) en Ecuación\(\ref{eqn:16.11}\) tener menor grado que\(D_{u}(s)\),\(m u<n u\).

    Procediendo con la solución conceptual de respuesta forzada, sustituimos Ecuación\(\ref{eqn:16.11}\) por Ecuación\(\ref{eqn:16.10}\):

    \[L\left[x_{f}(t)\right]=\frac{b_{1}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \ldots\left(s-z_{m}\right)}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \ldots\left(s-p_{n}\right)} \times \frac{d_{1}\left(s-w_{1}\right)\left(s-w_{2}\right) \ldots\left(s-w_{m u}\right)}{c_{1}\left(s-q_{1}\right)\left(s-q_{2}\right) \ldots\left(s-q_{n u}\right)}\label{eqn:16.12} \]

    Transformación de respuesta forzada\(\ref{eqn:16.12}\) La ecuación es una fracción de polinomios en\(s\),\(m+m u\) siendo el grado polinómico del numerador menor que el grado polinomio denominador\(n+n u\). Por lo tanto, podemos, en principio, generalmente expandir Ecuación\(\ref{eqn:16.12}\) en la siguiente forma, en la que los términos que están asociados explícitamente con los polos de función de transferencia tienen forma simple de fracción parcial, incluyendo residuos\(C U_{k}\):

    \[L\left[x_{f}(t)\right]=\sum_{k=1}^{n} \frac{C U_{k}}{s-p_{k}}+F\left(s ; q_{i}\right)\label{eqn:16.13} \]

    El símbolo\(F\left(s ; q_{i}\right)\) denota términos asociados explícitamente con los polos\(q_{i}\) de la transformada de entrada. Dependiendo de la naturaleza específica de\(L[u(t)]\), estos términos podrían o no tener una forma simple de fracción parcial. En cualquier caso, los términos en\(F\left(s ; q_{i}\right)\) tienen los\(q_{i}\) mismos polos que la transformada de entrada, que siempre son polos estables, por lo que estos términos no pueden producir inestabilidad. Por lo tanto, la inestabilidad de la respuesta forzada solo puede existir en los términos\(\sum_{k=1}^{n} C U_{k} /\left(s-p_{k}\right)\), es decir, los términos que contienen los polos de la función de transferencia del sistema.

    Los términos de respuesta forzada\(\sum_{k=1}^{n} C U_{k} /\left(s-p_{k}\right)\) son idénticos en forma a los términos\(\sum_{k=1}^{n} C_{k} /\left(s-p_{k}\right)\) de respuesta IC de la ecuación\(\ref{eqn:16.7}\). Recordemos que el análisis de estabilidad para ICResponse [Ecuaciones\(\ref{eqn:16.8}\)\(\ref{eqn:16.9}\) y discusión asociada] se basó en esa forma. Por lo tanto, el análisis de estabilidad para respuesta forzada es idéntico al de ICResponse, por lo que no es necesario repetirlo. Sin embargo, vale la pena repetir, para enfatizar, el criterio general de estabilidad para los sistemas LTI que se ha derivado (aunque no de manera general) aquí:

    Para un sistema LTI de orden n, los polos de la función de transferencia se denotan como\(p_{k}\),\(k=1,2, \ldots, n\). Si es\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)<0\) por todos\(k=1,2, \ldots, n\), entonces el sistema es estable. Si, por otro lado, hay al menos un polo para el cual\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)>0\), entonces el sistema es inestable.

    Observe a partir de la derivación que la estabilidad o inestabilidad de un sistema LTI no depende de CI o forzamiento, es una propiedad intrínseca del sistema. Sin embargo, al referirse a la ecuación general de la solución de transformación\(\ref{eqn:16.4}\), se podría hacer el argumento matemático de que si todas las condiciones iniciales fueran cero, y si forzar entrada\(u(t)\) también fueran cero, entonces la solución sería\(x(t)=0\), y por lo tanto incluso un sistema que tenga un polo inestable,\(\operatorname{Re}\left(p_{k}\right)>0\), sería estable si no hubiera estímulo. En la realidad física, sin embargo, siempre hay alguna perturbación o excitación, por pequeña que sea, actuando sobre un sistema; e incluso el CI más pequeño o la entrada forzosa, que sería insignificante para un sistema estable, siempre será suficiente para provocar la inestabilidad de un sistema LTI inestable.

    1 La ecuación característica del problema de vibración libre descrita en el Capítulo 12 es una forma específica, aplicable únicamente a la vibración libre no amortiguada, de esta ecuación característica general.

    2 Al aplicar Ecuación\(\ref{eqn:16.9}\), se debe asignar el título de\(p_{k}\) a la raíz única (del par complejo conjugado de raíces) para la cual\(\operatorname{Im}\left(p_{k}\right) \equiv \omega_{k}>0\), con el fin de definir la frecuencia oscilatoria como positiva. Entonces debes asignar el título de\(C_{k}\) al residuo que está asociado con la raíz para la cual\(\operatorname{Im}\left(p_{k}\right)>0\).


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