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16.4: Loci de raíces para sistemas de segundo orden

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    Busquemos tanto el tipo de respuesta como el grado de estabilidad, resolviendo directamente las raíces de la ecuación característica\(\operatorname{Den}(p)=0\) [es decir, los polos de\(TF(s)\) o\(CLTF(s)\), lo que sea apropiado]. Además, observaremos cómo varían estas raíces a medida que se cambia algún parámetro particular del sistema. La representación gráfica de esta variación en el\(p\) plano complejo se conoce comúnmente como\(locus of roots\); sin embargo, los sistemas de y superior órdenes siempre tienen múltiples raíces, por lo que es más correcto usar el plural latino: loci de raíces. El análisis de estabilidad usando loci de raíces es más general que los criterios básicos de Routh, y más informativo sobre el carácter de un sistema y la naturaleza de su estabilidad.

    Comenzamos por estudiar las raíces de cualquier sistema de segundo orden. Esto será instructivo y también establecerá las bases para la interpretación de gráficas loci-de-raíces para sistemas LTI de orden superior. La ecuación característica de cualquier sistema de segundo orden se puede expresar como:

    \[\operatorname{Den}(p)=p^{2}+2 \zeta \omega_{n} p+\omega_{n}^{2}=0\label{eqn:16.47} \]

    Algunos ejemplos de funciones de transferencia del sistema de segundo orden que conducen a la Ecuación\(\ref{eqn:16.47}\) son las Ecuaciones 10.2.3, 10.4.4, 13.2.3, 14.5.4, 15.2.19 y 15.4.3. Estamos acostumbrados a estudiar sistemas estables para los cuales\(\zeta\) y\(\omega_{n}^{2}\) son valores positivos. Sin embargo, estos parámetros no son necesariamente siempre positivos en los sistemas; pueden ser negativos, especialmente para sistemas de control de retroalimentación y para sistemas autoexcitados. Un ejemplo de un sistema autoexcitado es un ala flexible en una corriente de aire, como se discute en los Ejemplos 11.3.2 y 11.3.3 de la Sección 11.3.

    Primero, estudiemos las raíces de la Ecuación\(\ref{eqn:16.47}\) cuando\(\zeta\) varía, tanto en magnitud como en signo, mientras que\(\omega_{n}\) es fija y positiva,\(\omega_{n}>0\). Resolver primero para\(|\zeta| \geq 1\), usando la fórmula cuadrática, da los dos polos de valor real:

    \[p_{1,2}=-\zeta \omega_{n} \pm \omega_{n} \sqrt{\zeta^{2}-1}\label{eqn:16.48a} \]

    Para\(|\zeta| \leq 1\), los polos son el par conjugado complejo:

    \[p_{1,2}=-\zeta \omega_{n} \pm j \omega_{n} \sqrt{1-\zeta^{2}} \equiv-\zeta \omega_{n} \pm j \omega_{d}\label{eqn:16.48b} \]

    La figura\(\PageIndex{1}\) muestra los loci de raíces Ecuaciones\(\ref{eqn:16.48a}\) y\(\ref{eqn:16.48b}\) como\(\zeta\) varía de más negativo que −1 a más positivo que +1. Tenga en cuenta que el\(x\) eje -es la parte real de las raíces\(\operatorname{Re}(p)\), y el\(y\) -eje es la parte imaginaria,\(\operatorname{Im}(p)\); estos dos ejes abarcan el\(p\) plano complejo. Para los valores seleccionados de\(\zeta\), las raíces se indican por\(\times\)'s y los\(\zeta\) valores se etiquetan. Las direcciones de los loci a medida que\(\zeta\) aumentan se indican mediante puntas de flecha.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Loci de raíces de\(p^{2}+2 \zeta \omega_{n} p+\omega_{n}^{2}=0\) como\(\zeta\) varía de menos de −1 a mayor de +1,\(\omega_{n}>0\) manteniéndose constante. (Copyright; autor vía fuente)

    Porque\(-1>\zeta\), las dos raíces reales, Ecuación\(\ref{eqn:16.48a}\), están en la mitad derecha (“este”) del\(p\) plano, en el\(\operatorname{Re}(p)\) eje; el tipo de respuesta temporal asociada a estas raíces es exponencial monótonamente creciente, una inestabilidad. En\(\zeta=-1\), estas dos raíces reales se unen con valor\(+\omega_{n}\); esto se llama un punto de “ruptura” porque, para el menor aumento por\(\zeta\) encima de −1, las raíces se separan en conjugados complejos, Ecuación\(\ref{eqn:16.48b}\), una raíz encabezada directamente “hacia el norte” y la otra directamente “hacia el sur”. El tipo de respuesta asociada con raíces conjugadas complejas que se encuentran en el semiplano derecho fuera del\(\operatorname{Re}(p)\) eje es la oscilación modulada por una envolvente exponencial creciente, una inestabilidad. Para\(+1>\zeta>-1\), los loci de raíces forman un círculo perfecto de radio\(\omega_{n}\) y centrados en el origen:\(x^{2}+y^{2}=\left(-\zeta \omega_{n}\right)^{2}+\left(\pm \omega_{d}\right)^{2}=\omega_{n}^{2}\). Las raíces para\(\zeta=0\) son imaginarias\(p_{1,2}=\pm j \omega_{n}\), para las cuales la respuesta de tiempo tiene forma sinusoidal pura y sin amortiguar. Porque\(+1>\zeta>0\), las raíces conjugadas complejas están en el semiplano izquierdo (“oeste”) fuera del\(\operatorname{Re}(p)\) eje; el tipo de respuesta temporal asociada a estas raíces conjugadas complejas es la oscilación modulada por una envolvente exponencial en descomposición, que es una respuesta estable. A medida que el aumento\(\zeta\) se acerca al valor +1, las dos raíces complejas se unen y se vuelven reales, con valor\(-\omega_{n}\), en el punto de “ruptura”. Finalmente, a medida que\(\zeta\) aumenta por encima de +1, una raíz real se dirige más hacia el oeste sobre el\(\operatorname{Re}(p)\) eje, y la otra se arrastra hacia el este hacia el origen; el tipo de respuesta temporal asociada a estas raíces reales en el semiplano izquierdo es exponencial monótonamente en descomposición, lo que es una respuesta estable.

    Tenga en cuenta que tanto la respuesta monótona-exponencial como la respuesta oscilatoria están delimitadas por la envolvente exponencial\(e^{\operatorname{Re}(p) t}\). Si\(\operatorname{Re}(p)<0\), en el semiplano izquierdo, entonces definimos, como en la Ecuación 9.4.3, la constante de tiempo de segundo orden,\(\tau_{2} \equiv-1 / \operatorname{Re}(p)>0\), de manera que la envolvente exponencial en descomposición es\(e^{-t / \tau_{2}}\);\(\tau_{2}\) es el tiempo para que la envolvente exponencial estable disminuya en el factor\(e^{-1}\). El grado de estabilidad positiva asociado a una raíz estable particular aumenta a medida que\(\operatorname{Re}(p)\) se vuelve progresivamente más negativo y\(\tau_{2}\) se vuelve progresivamente más pequeño. En otras palabras, cuanto más hacia el oeste del origen que se ubica un polo, mayor es el grado de estabilidad positiva asociado a ese polo. Por otro lado, si\(\operatorname{Re}(p)>0\), en el medio plano derecho, entonces\(+1 / \operatorname{Re}(p)\) es el momento para que la envolvente exponencial inestable aumente por el factor\(e^{+1}\). El grado de inestabilidad asociado a una raíz inestable particular aumenta progresivamente a medida que\(\operatorname{Re}(p)\) se vuelve progresivamente más positiva; en otras palabras, la inestabilidad empeora a medida que el polo inestable se mueve más hacia el este desde el origen. Si bien estas observaciones se realizan en el contexto de la Figura\(\PageIndex{1}\), son igualmente aplicables a los loci de raíces de cualquier sistema LTI que tenga cualquier orden.

    Observe en\(\PageIndex{1}\) la Figura la construcción de un triángulo rectángulo consistente en pata horizontal\(\zeta \omega_{n}\)\(\omega_{d}\), pata vertical e hipotenusa\(\omega_{n}\), que se extiende desde el origen hasta un polo complejo\(p\). Este triángulo rectángulo se basa en la definición\(\omega_{d}^{2}=\omega_{n}^{2}\left(1-\zeta^{2}\right)=\omega_{n}^{2}-\left(\zeta \omega_{n}\right)^{2}\), que es válida para\(|\zeta|<1\). Así, la frecuencia de vibración (en rad/s) asociada a este polo complejo particular es la pata vertical\(\omega_{d}\) a lo largo del\(\operatorname{Im}(p)\) eje. Además, el tramo horizontal\(\zeta \omega_{n}\) (si está en el semiplano izquierdo) determina la constante de tiempo,\(\tau_{2}=1 / \zeta \omega_{n}\) (en s). Finalmente, el valor de la relación de amortiguación\(\zeta\) es el seno del ángulo etiquetado en la Figura\(\PageIndex{1}\) entre el\(\operatorname{Im}(p)\) eje y la hipotenusa\(\omega_{n}\); para un polo estable\(p\) en el semiplano izquierdo, como se dibuja en la Figura\(\PageIndex{1}\),\(\zeta\) es positivo; para un polo inestable\(p\) en el medio plano derecho,\(\zeta\) sería negativo. Aunque esta derivación se basa en\(\PageIndex{1}\), estos métodos derivados para determinar la frecuencia\(\omega_{d}\), la constante\(\tau_{2}\) de tiempo y la relación de amortiguación\(\zeta\) asociados a un polo complejo particular son aplicables a los loci de raíces de cualquier sistema LTI.

    La figura\(\PageIndex{1}\) muestra los loci de raíces de un sistema de segundo orden como amortiguamiento generalizado, representado por\(\zeta\), varía. A continuación, consideremos los loci de raíces para un sistema de segundo orden, ya que la rigidez generalizada varía. En lugar de usar los símbolos\(\zeta\) y\(\omega_{n}\), es mejor que esta tarea vuelva a la notación de la Sección 9.1 que representa un sistema generalizado de amortiguación masiva. En consecuencia, tenemos la Ecuación 7.1.3,\(\omega_{n}^{2}=k / m\), y de la Ecuación 9.1.6,\(\omega_{n}^{2}=k / m\). En estas definiciones, especificamos que\(k\) representa una rigidez generalizada, que variará, y que\(c\) y que\(m\) representan, respectivamente, amortiguación generalizada e inercia generalizada, las cuales se consideran constantes positivas y permanecerán fijas mientras\(k\) varía. Para mayor comodidad, utilicemos la siguiente notación simplificada:

    \[\omega_{n}^{2}=k / m \equiv K \quad \text { and } \quad \zeta \omega_{n}=c /(2 m) \equiv C\label{eqn:16.49} \]

    Por lo tanto, para el caso\(c / 2 m \geq k / m\), reescribimos la ecuación de raíces reales\(\ref{eqn:16.48a}\) como

    \[p_{1,2}=-\zeta \omega_{n} \pm \sqrt{\left(\zeta \omega_{n}\right)^{2}-\omega_{n}^{2}}=-C \pm \sqrt{C^{2}-K}\label{eqn:16.50a} \]

    Para\(k / m \geq c / 2 m\), las raíces conjugadas complejas Ecuación\(\ref{eqn:16.48b}\) son

    \[p_{1,2}=-\zeta \omega_{n} \pm j \sqrt{\omega_{n}^{2}-\left(\zeta \omega_{n}\right)^{2}}=-C \pm j \sqrt{K-C^{2}}\label{eqn: 16.50b} \]

    La figura\(\PageIndex{2}\) es una gráfica incompleta de loci de raíces Ecuaciones\(\ref{eqn:16.50a}\) y\(\ref{eqn:16.50b}\) como\(K\) varía con\(C > 0\) fijo. (Tarea Problema 16.3 es un ejercicio para completar la tarea.) La anotación parcial muestra las ubicaciones de los dos polos reales para\(K=0\). Obsérvese, en particular, que para\(K < 0\) un locus real está enteramente en el semiplano derecho. El tipo de respuesta temporal asociada a este locus es exponencial monótonamente creciente, una inestabilidad. (Por supuesto, Routh también muestra que el sistema es inestable para\(K < 0\) y\(C > 0\), desde entonces los coeficientes de la ecuación característica tienen signos diferentes.) Los resortes mecánicos pasivos con los que estamos familiarizados siempre tienen rigidez positiva, por lo que podría parecer que este tipo de inestabilidad es puramente académica, sin ningún significado práctico. Tal no es el caso. Recordemos que, en la presente discusión,\(k\) (y por lo tanto\(K\) también) representa rigidez generalizada o total, no solo rigidez mecánica. Un perfil aerodinámico retenido elásticamente dentro de una corriente de aire es un sistema de ingeniería práctico para el cual la rigidez total no es necesariamente positiva. Como se muestra en la discusión que acompaña a la Ecuación 11.3.8, la rigidez mecánica total más aerodinámica de este sistema puede llegar a ser cero o incluso negativa a altas velocidades aerodinámicas; el cabeceo no acotado resultante del plano aerodinámico, llamado divergencia aeroelástica, es un ejemplo importante del tipo de inestabilidad representada en la Figura\(\PageIndex{2}\) para\(K < 0\).

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Loci raíces de\(p^{2}+2 C p+K=0\) como\(K\) varía de\(-\infty\) a mayor que\(C^2\), con constantes\(C > 0\) mantenidas. (Copyright; autor vía fuente)

    Desarrollo de gráficas loci-de-raíces La figura\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) para los sistemas de segundo orden es relativamente simple, pero útil como introducción instructiva a este tipo de análisis de estabilidad. En la siguiente sección, consideraremos la tarea más exigente de determinar loci de raíces para sistemas de orden superior.


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