18.2: A.2- Transformación de Laplace de una Relación de Dos Polinomios

Supongamos que tenemos una transformada de Laplace como la relación de dos polinomios, a partir de la Ecuación 2.2.2:

\[F_{n}(s) \equiv \frac{\operatorname{Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}=\frac{b_{1} s^{m}+b_{2} s^{m-1}+\ldots+b_{m+1}}{a_{1} s^{n}+a_{2} s^{n-1}+\ldots+a_{n+1}}=\frac{b_{1}\left(s-z_{1}\right)\left(s-z_{2}\right) \cdots\left(s-z_{m}\right)}{a_{1}\left(s-p_{1}\right)\left(s-p_{2}\right) \cdots\left(s-p_{n}\right)}\label{eqn:A.1} \]

Los resultados derivados en esta sección se basan en tres supuestos:

1. las raíces\(p_{k}\) de\(\operatorname{Den}(s)\), que son los polos de\(F_{n}(s)\), no se repiten (tales raíces se llaman polos simples);
2. el grado de\(\operatorname{Den}(s)\) excede al de\(\text { Num(s) }\),\(0 \leq m<n\) y
3. ninguno de los ceros de la Ecuación\(\ref{eqn:A.1}\) equivale a ninguno de los polos. En estas circunstancias, podemos expandir la ecuación\(\ref{eqn:A.1}\) transformada en fracciones parciales, a partir de la Ecuación 2.3.3:

\[F_{n}(s)=\sum_{k=1}^{n} \frac{C_{k}}{s-p_{k}}\label{eqn:A.2} \]

En\(\ref{eqn:A.2}\) la Ecuación los residuos están dados por la Ecuación 2.3.6 como

\[C_{k}=\left[\left(s-p_{k}\right) F_{n}(s)\right]_{s=p_{k}}=\left[\left(s-p_{k}\right) \frac{\operatorname{Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}\right]_{s=p_{k}}, k=1,2, \ldots, n\label{eqn:A.3} \]

Examinemos lo que podría considerarse el “denominador total” de la Ecuación\(\ref{eqn:A.3}\):

\[D_{k}=\lim _{s \rightarrow p_{k}}\left[\frac{\operatorname{Den}(s)}{\left(s-p_{k}\right)}\right]\label{eqn:A.4} \]

Observe desde\(\operatorname{Den}(s)\) en Ecuación\(\ref{eqn:A.1}\) que en\(D_{k}\) Ecuación\(\ref{eqn:A.4}\) tiene la forma indeterminada 0/0. Ya que asumimos que todos los ceros de\(F_{n}(s)\) son diferentes de los polos,\(\operatorname{Num}\left(p_{k}\right)\) en Ecuación\(\ref{eqn:A.3}\) es distinto de cero y finito. Por lo tanto, también\(D_{k}\) debe ser distinto de cero y finito, y podemos usar la regla de L'hopital para lanzar Ecuación\(\ref{eqn:A.4}\) en una forma diferente:

\[D_{k}=\lim _{s \rightarrow p_{k}}\left[\frac{\operatorname{Den}(s)}{\left(s-p_{k}\right)}\right]=\lim _{s \rightarrow p_{k}}\left[\frac{\frac{d}{d s} \operatorname{Den}(s)}{\frac{d}{d s}\left(s-p_{k}\right)}\right] \equiv\left[\frac{d}{d s} \operatorname{Den}(s)\right]_{s=p_{k}}\label{eqn:A.5} \]

Así (Hildebrand, 1962, p. 548), la ecuación de residuo se\(\ref{eqn:A.3}\) puede expresar alternativamente como

\[C_{k}=\left[\left(s-p_{k}\right) \frac{\operatorname{Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}\right]_{s=p_{k}}=\left[\frac{\operatorname{Num}(s)}{\frac{d}{d s} \operatorname{Den}(s)}\right]_{s=p_{k}} \equiv \frac{\operatorname{Num}\left(p_{k}\right)}{\operatorname{Den}^{\prime}\left(p_{k}\right)}\label{eqn:A.6} \]

Finalmente (Meirovitch, 1967, p. 532), sustituyendo Ecuación de\(\ref{eqn:A.6}\) nuevo en Ecuación\(\ref{eqn:A.2}\) y luego tomando la transformada inversa de Laplace de cada término en la suma, encontramos

\[f(t)=L^{-1}\left[F_{n}(s)\right]=L^{-1}\left[\frac{\operatorname{Num}(s)}{\operatorname{Den}(s)}\right]=\sum_{k=1}^{n} \frac{\operatorname{Num}\left(p_{k}\right)}{\operatorname{Den}^{\prime}\left(p_{k}\right)} e^{p_{k} t}, t \geq 0\label{eqn:A.7} \]