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# 18.5: A.5- Derivación de la Transformación de Laplace de la Integral de Convolución

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Consideramos dos funciones físicamente realistas del tiempo,$$f_{1}(t)$$ y$$f_{2}(t)$$, que son cero para todos los tiempos$$t<0$$ y no cero solo para$$t \geq 0$$. La integral de convolución se define como una integral definida que involucra$$f_{1}(t)$$ y$$f_{2}(t)$$ en cualquiera de las siguientes formas:

$C I(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d \tau\label{eqn:6.1}$

En estas integrales definidas,$$\tau$$ se encuentra la variable ficticio de integración, y el tiempo$$t$$ aparece tanto en el límite superior de la integral como en el argumento ($$t-\tau$$) del integrando.

La transformación de Laplace$$L[C I(t)]$$ se llama la transformación de convolución. Supongamos que la Laplace transforma de funciones$$f_{1}(t)$$ y$$f_{2}(t)$$ existe:$$F_{1}(s)=L\left[f_{1}(t)\right]$$ y$$F_{2}(s)= L\left[f_{2}(t)\right]$$. La derivación a seguir mostrará que el producto de estas dos transformaciones es igual a la transformada de convolución:

$F_{1}(s) \times F_{2}(s)=L[C I(t)]=L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right]\label{eqn:6.2}$

La ecuación ciertamente no$$\ref{eqn:6.2}$$ es un resultado intuitivamente obvio. La derivación breve y formal (Meirovitch, 1967, p. 534 y Ogata, 1998, pp. 43-44) implica el intercambio de órdenes de integración. El primer paso es revisar el límite superior en la integral de convolución ya que, por definición,$$f_{2}(t-\tau)=0$$ para$$t-\tau<0$$, es decir, para$$\tau>t$$:

$C I(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \nonumber$

A continuación, utilice la definición estándar de una transformación de Laplace:

$L[C I(t)]=L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right]=\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t}\left[\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right] d t \nonumber$

Ahora intercambiamos los órdenes de integración entre$$t$$ y$$\tau$$, una operación permitida por la supuesta convergencia de las integrales, y reordene los términos dentro de los integrands:

$L[C I(t)]=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau)\left[\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} f_{2}(t-\tau) d t\right] d \tau \nonumber$

En la integral interna, cambiar la variable de integración a$$\lambda=t-\tau$$, de manera que$$t=\tau+\lambda$$ y$$dt = d\lambda$$, ya que$$\tau$$ se considere como una constante dentro de esta integración:

$L[C I(t)]=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) d \tau\left[\int_{\lambda=-\tau}^{\lambda=\infty} e^{-s(\tau+\lambda)} f_{2}(\lambda) d \lambda\right] \nonumber$

Ahora, ya que$$f_{2}(t)=0$$ para$$\lambda<0$$, en la segunda integral establecemos el límite inferior a cero. También, nuevamente reorganizar términos dentro de los integrands, para encontrar

$L[C I(t)]=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} e^{-s \tau} f_{1}(\tau) d \tau\left[\int_{\lambda=0}^{\lambda=\infty} e^{-s \lambda} f_{2}(\lambda) d \lambda\right] \equiv F_{1}(s) \times F_{2}(s) \nonumber$

Esto completa la derivación de la transformada de convolución, Ecuación$$\ref{eqn:6.2}$$.

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