18.5: A.5- Derivación de la Transformación de Laplace de la Integral de Convolución

Consideramos dos funciones físicamente realistas del tiempo,\(f_{1}(t)\) y\(f_{2}(t)\), que son cero para todos los tiempos\(t<0\) y no cero solo para\(t \geq 0\). La integral de convolución se define como una integral definida que involucra\(f_{1}(t)\) y\(f_{2}(t)\) en cualquiera de las siguientes formas:

\[C I(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(t-\tau) f_{2}(\tau) d \tau\label{eqn:6.1} \]

En estas integrales definidas,\(\tau\) se encuentra la variable ficticio de integración, y el tiempo\(t\) aparece tanto en el límite superior de la integral como en el argumento (\(t-\tau\)) del integrando.

La transformación de Laplace\(L[C I(t)]\) se llama la transformación de convolución. Supongamos que la Laplace transforma de funciones\(f_{1}(t)\) y\(f_{2}(t)\) existe:\(F_{1}(s)=L\left[f_{1}(t)\right]\) y\(F_{2}(s)= L\left[f_{2}(t)\right]\). La derivación a seguir mostrará que el producto de estas dos transformaciones es igual a la transformada de convolución:

\[F_{1}(s) \times F_{2}(s)=L[C I(t)]=L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right]\label{eqn:6.2} \]

La ecuación ciertamente no\(\ref{eqn:6.2}\) es un resultado intuitivamente obvio. La derivación breve y formal (Meirovitch, 1967, p. 534 y Ogata, 1998, pp. 43-44) implica el intercambio de órdenes de integración. El primer paso es revisar el límite superior en la integral de convolución ya que, por definición,\(f_{2}(t-\tau)=0\) para\(t-\tau<0\), es decir, para\(\tau>t\):

\[C I(t)=\int_{\tau=0}^{\tau=t} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \nonumber \]

A continuación, utilice la definición estándar de una transformación de Laplace:

\[L[C I(t)]=L\left[\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right]=\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t}\left[\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau\right] d t \nonumber \]

Ahora intercambiamos los órdenes de integración entre\(t\) y\(\tau\), una operación permitida por la supuesta convergencia de las integrales, y reordene los términos dentro de los integrands:

\[L[C I(t)]=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau)\left[\int_{t=0}^{t=\infty} e^{-s t} f_{2}(t-\tau) d t\right] d \tau \nonumber \]

En la integral interna, cambiar la variable de integración a\(\lambda=t-\tau\), de manera que\(t=\tau+\lambda\) y\(dt = d\lambda\), ya que\(\tau\) se considere como una constante dentro de esta integración:

\[L[C I(t)]=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} f_{1}(\tau) d \tau\left[\int_{\lambda=-\tau}^{\lambda=\infty} e^{-s(\tau+\lambda)} f_{2}(\lambda) d \lambda\right] \nonumber \]

Ahora, ya que\(f_{2}(t)=0\) para\(\lambda<0\), en la segunda integral establecemos el límite inferior a cero. También, nuevamente reorganizar términos dentro de los integrands, para encontrar

\[L[C I(t)]=\int_{\tau=0}^{\tau=\infty} e^{-s \tau} f_{1}(\tau) d \tau\left[\int_{\lambda=0}^{\lambda=\infty} e^{-s \lambda} f_{2}(\lambda) d \lambda\right] \equiv F_{1}(s) \times F_{2}(s) \nonumber \]

Esto completa la derivación de la transformada de convolución, Ecuación\(\ref{eqn:6.2}\).