19.4: B.4- Analogías entre un sistema mecánico m-c-k y un circuito eléctrico B-8 LRC

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Al comparar las ecuaciones 19.2.6 y 19.3.15 de ODEs y las muchas otras ecuaciones mecánicas y electromagnéticas desarrolladas en este apéndice, podemos identificar algunas cantidades y constantes variables claramente análogas entre un sistema\(k\) mecánico forzado\(m\) y un sistema motorizado\(c\)\(LRC\) circuito eléctrico (Halliday y Resnick, 1960, Sección 38-2). Las analogías más obvias se enumeran en la siguiente tabla.

Forzado\(m\) -\(c\) - sistema\(k\) mecánico	Circuito\(LRC\) eléctrico alimentado
masa\(m\)	inductancia\(L\)
constante de amortiguación viscosa\(c\)	resistencia\(R\)
constante de rigidez\(k\)	capacitancia inversa\(1/C\)
posición de la masa\(x(t)\)	carga en el condensador\(q(t)\)
velocidad de la masa\(v_{x}(t)=\dot{x}(t)\)	corriente a través del circuito\(i(t)=\dot{q}(t)\)
fuerza de excitación\(f_{x}(t)\)	voltaje de entrada\(e_{i}(t)\)
energía cinética\(E_{K}=\frac{1}{2} m v_{x}^{2}\)	energía magnética\(E_{M}=\frac{1}{2} L i^{2}\)
energía de tensión\(E_{S}=\frac{1}{2} k x^{2}\)	energía eléctrica\(E_{E}=\frac{1}{2}(1 / C) q^{2}\)
disipación de potencia\(P_{c}=-c v_{x}^{2}\)	disipación de potencia\(P_{R}=-R i^{2}\)
entrada de energía\(P_{f}=f_{x}(t) v_{x}\)	entrada de energía\(P_{e}=e_{i}(t) i\)

La similitud matemática de un\(k\) sistema\(m\)\(c\) - - con un\(LRC\) circuito es una de las analogías más simples entre sistemas físicos y circuitos, y hay muchos otros circuitos eléctricos análogos de mayor complejidad (Fifer, 1961, Vol. III, Capítulo 19; MacNeal, 1962). De hecho, durante las décadas de 1940 y 1950, se desarrollaron ampliamente métodos de computación analógica directa para el análisis de muchos sistemas físicos “prototipo” con el uso de circuitos eléctricos. En el capítulo introductorio de un libro de 1962 titulado Analogías de circuito eléctrico para estructuras elásticas, Richard H. MacNeal escribió (páginas 6-7): “La... computadora analógica directa es... un dispositivo en el que cada componente eléctrico (o grupo de componentes) es equivalente a un componente físico del prototipo sistema.” MacNeal afirmó además: “Esta técnica ha sido utilizada frecuentemente para la solución de problemas relacionados con la mecánica y la elasticidad, la conducción de calor, flujo de fluidos y ondas electromagnéticas”. Sin embargo, durante y después de mediados de la década de 1960, la computación analógica directa se vio completamente eclipsada por las capacidades de rápido avance de las computadoras digitales y el software escrito para procesamiento digital. Es un giro irónico de la historia que el propio MacNeal se convirtió en un pionero innovador en el desarrollo e implementación del método de elementos finitos para el cálculo digital de alta precisión del comportamiento estructural.