3.7: Introducción a los sistemas por unidad

Estrictamente hablando, los sistemas por unidad no son más que normalizaciones de voltaje, corriente, impedancia y potencia. Estas normalizaciones de los parámetros del sistema porque proporcionan simplificaciones en muchos cálculos de red. Como descubriremos, mientras que ciertos parámetros ordinarios tienen rangos de valor muy amplios, los parámetros equivalentes por unidad caen en un rango mucho más estrecho. Esto ayuda a comprender cómo se comportan ciertos tipos de sistemas.

Figura 22: Ejemplo

Normalización De Voltaje Y Corriente

La base para el sistema de notación por unidad es la expresión de voltaje y corriente como fracciones de niveles base. Por lo tanto, el primer paso para establecer una normalización por unidad es recoger la tensión y la corriente base.

Considera la situación simple que se muestra en la Figura 22. Para esta red, las amplitudes complejas de voltaje y corriente son:

\[\ \underline{V}=\underline{I Z}\label{48} \]

Comenzamos definiendo dos cantidades base,\(\ V_B\) para voltaje y\(\ I_B\) para corriente. En muchos casos, estos se elegirán para que sean valores nominales o nominales. Para las plantas generadoras, por ejemplo, es común usar la tensión nominal y la corriente nominal del generador como cantidades base. En otras situaciones, como los estudios de estabilidad del sistema, es común utilizar un sistema estándar de base ancha del sistema.

El voltaje y la corriente por unidad son entonces simplemente:

\[\ \underline{v}=\frac{\underline{V}}{V_{B}}\label{49} \]

\[\ \underline{i}=\frac{I}{I_{B}}\label{50} \]

Aplicando (49) y (50) a (48), encontramos:

\[\ \underline{v}=\underline{i z}\label{51} \]

donde la impedancia por unidad es:

\[\ \underline{z}=\underline{Z} \frac{I_{B}}{V_{B}}\label{52} \]

Esto conduce a una definición para una impedancia base para el sistema:

\[\ Z_{B}=\frac{V_{B}}{I_{B}}\label{53} \]

Por supuesto también hay una potencia base, que para un sistema monofásico es:

\[\ P_{B}=V_{B} I_{B}\label{54} \]

siempre\(\ V_B\) y cuando y\(\ I_B\) se expresen en RMS. Es interesante señalar que, siempre y cuando la normalización se lleve a cabo de manera consistente, no hay ambigüedad en la notación por unidad. Es decir, las cantidades pico normalizadas a las cantidades base máximas serán las mismas, por unidad, que las cantidades RMS normalizadas a las bases RMS. Esta ventaja es aún más llamativa en los sistemas polifásicos, como estamos a punto de ver.

Sistemas trifásicos

Al describir sistemas polifásicos, tenemos la opción de usar voltaje de línea o línea neutra y corriente o corriente de línea en cargas equivalentes delta. Para mantener el análisis recto en la variable ordinaria, es necesario llevar consigo información sobre cuál de estas cantidades se está utilizando. No hay tal problema con la notación por unidad.

Podemos usar como cantidades base ya sea voltaje de línea a neutro\(\ V_{B l-g}\) o voltaje de línea a línea\(\ V_{B l-l}\).

Tomando la corriente base como corriente de línea\(\ I_{B l}\), podemos expresar el poder base como:

\[\ P_{B}=3 V_{B l-g} I_{B l}\label{55} \]

Debido a que el voltaje de línea es, en funcionamiento normal,\(\ \sqrt{3}\) multiplicado por el voltaje neutro de línea, una declaración equivalente es:

\[\ P_{B}=\sqrt{3} V_{B l-l} I_{B l}\label{56} \]

Si la impedancia base se expresa por voltaje neutro de línea y corriente de línea (Esta es la convención común, pero no se requiere),

\[\ Z_{B}=\frac{V_{B l-g}}{I_{B l}}\label{57} \]

Entonces, la impedancia base es, escrita en términos de potencia base:

\[\ Z_{B}=\frac{P_{B}}{3 I_{B}^{2}}=3 \frac{V_{B l-g}^{2}}{P_{B}}=\frac{V_{B l-l}^{2}}{P_{B}}\label{58} \]

Tenga en cuenta que un solo voltaje por unidad se aplicó igualmente bien a las cantidades de línea, línea neutra, pico y RMS. Para una situación dada, cada una de estas cantidades tendrá un valor ordinario diferente, pero sólo hay un valor por unidad.

Redes con Transformadores

Una de las ventajas más importantes del uso de sistemas por unidad surge en el análisis de redes con transformadores. Aplicada correctamente, una normalización por unidad provocará que casi todos los transformadores ideales desapearan de la red por unidad, lo que simplificará enormemente el análisis.

Para mostrar cómo se produce esto, considere el transformador ideal como se muestra en la Figura 23. El

Figura 23: Transformador ideal con convenciones de voltaje y corriente señaladas

transformador ideal impone las restricciones que:

\ (\\ begin {array} {l}
\ subrayado {V} _ {2} =N\ subrayado {V} _ {1}\
\ subrayado {I} _ {2} =\ frac {1} {N}\ subrayado {I} _ {1}
\ end {array}\)

Normalizado a las cantidades base en los dos lados del transformador, el voltaje y la corriente por unidad son:

\ (\\ begin {array} {l}
\ subrayado {v} _ {1} =\ frac {\ subrayado {V} _ {1}} {V_ {B 1}}\
\ subrayado {i} _ {1} =\ frac {\ subrayado {I} _ {1}} {I_ {B 1}}\
\ subrayado {v} _ {2} =\ frac {\ subrayado {V} _ _ {2}} {V_ {B 2}}\
\ subrayado {i} _ {2} =\ frac {\ subrayado {I} _ {2}} {I_ {B 2}}
\ fin {matriz}\)

Ahora: tenga en cuenta que si las cantidades base están relacionadas entre sí como si hubieran sido procesadas por el transformador:

\[\ V_{B 2}=N V_{B 1}\label{59} \]

\[\ I_{B 2}=\frac{I_{B 1}}{N}\label{60} \]

entonces\(\ \underline{v}_{1}=\underline{v}_{2}\) y\(\ \underline{i}_{1}=\underline{i}_{2}\), como si el transformador ideal no estuviera ahí (es decir, consistió en un cable ideal).

Las expresiones (59) y (60) reflejan una regla general en la configuración de normalizaciones por unidad para sistemas con transformadores. Cada segmento del sistema debe tener la misma potencia base. Los voltajes base se transforman según las relaciones de voltaje del transformador. Para los sistemas trifásicos, por supuesto, las relaciones de voltaje pueden diferir de las relaciones de vueltas físicas por un factor de\(\ \sqrt{3}\) si se utilizan conexiones delta-wye o wye-delta. Es, sin embargo, la relación de voltaje la que se debe usar para establecer voltajes de base.

Transformando de una base a otra

Muy a menudo datos como la inductancia de fuga del transformador se dan en términos por unidad, en alguna base (quizás la clasificación de las unidades), mientras que para hacer un estudio del sistema es necesario expresar los mismos datos en por unidad en alguna otra base (quizás una base de sistema unificada). Siempre es posible hacerlo mediante el proceso de dos pasos de convertir los datos por unidad a su forma ordinaria, luego volver a normalizarlos en la nueva base. No obstante, es más fácil simplemente convertirlo a la nueva base de la siguiente manera.

Tenga en cuenta que la impedancia en ohmios (unidades ordinarias) viene dada por:

\[\ \underline{Z}=\underline{z}_{1} Z_{B 1}=\underline{z}_{2} Z_{B 2}\label{61} \]

Aquí, por supuesto,\(\ \underline{z}_{1}\) y\(\ \underline{z}_{2}\) son la misma impedancia por unidad expresada en diferentes bases. Esto podría escribirse como:

\[\ \underline{z}_{1} \frac{V_{B 1}^{2}}{P_{B 1}}=\underline{z}_{2} \frac{V_{B 2}^{2}}{P_{B 2}}\label{62} \]

Esto produce una regla conveniente para convertir de un sistema base a otro:

\[\ \underline{z}_{1}=\frac{P_{B 1}}{P_{B 2}}\left(\frac{V_{B 2}}{V_{B 1}}\right)^{2} \underline{z}_{2}\label{63} \]

Figura 24: Diagrama de una línea del sistema con fallas

Ejemplo: Estudio de fallas

Para ilustrar algunos de los conceptos con los que hemos estado tratando, haremos un análisis de cortocircuito de un sistema de energía simple. Este sistema se ilustra, en forma de diagrama unifilar, en la Figura 24.

Un diagrama de una línea es una forma de transmitir mucha información sobre un sistema de energía sin estar abarrotado de datos repetitivos. Dibujar las tres fases de un sistema implicaría bastante repetición que no es necesaria para la mayoría de los estudios. Además, las tres fases pueden ser reconstruidas a partir del diagrama unifilar si es necesario. Es habitual utilizar símbolos especiales para diferentes componentes de la red. Para nuestra red, contamos con los siguientes datos:

Símbolo	Componente	Base P	Base V	Impedancia
\(\ G_{1}\)	Generador	200	13.8	\(\ j .18\)
\(\ T_{1}\)	Transformador	200	13.8/138	\(\ j .12\)
\(\ L_{1}\)	Trans. Línea	100	138	\(\ .02+j .05\)
\(\ T_{2}\)	Transformador	50	138/34.5	\(\ j .08\)

Se supone que se produce una falla trifásica en el lado de 34.5 kV del transformador\(\ T_{2}\). Se trata de una situación simétrica, por lo que sólo se debe representar una fase. El diagrama de impedancia por unidad se muestra en la Figura 25. Es necesario proceder ahora a determinar el valor de los componentes en este circuito.

Figura 25: Diagrama de impedancia para ejemplo de falla

Primero, es necesario establecer una base uniforme y un valor por unidad para cada uno de los componentes del sistema. Algo arbitrariamente, elegimos como segmento base la línea de transmisión. Por lo tanto, todos los parámetros deben ser puestos en una potencia base de 100 MVA y bases de voltaje de 138 kV en la línea, 13.8 kV en el generador y 34.5 kV en la falla. Usando (62):

\ (\\ begin {alineado}
x_ {g} &=\ frac {100} {200}\ veces .18 &=.09\ texto {por unidad}\\
x_ {T 1} &=\ frac {100} {200}\ veces .12 &=.06\ texto {por unidad}\
x_ {T 2} &=\ frac {100} {50}\ veces.08 &=.16\ texto {por unidad}\\
r_ {l} &=&.02\ texto {por unidad}\\
x_ {l} &=&.05\ texto {por unidad}
\ final {alineado}\)

Impedancia total es:

\ (\\ comenzar {alineado}
\ subrayado {z} &=j\ izquierda (x_ {g} +x_ {T 1} +x_ {l} +x_ {T 2}\ derecha) +r_ {l}\\
&=j .36+.02\ texto {por unidad}\\
|\ subrayado {z} | &=.361\ texto {por unidad}
\ fin {alineado}\)

Ahora, si\(\ e_{g}\) es igual a uno por unidad (voltaje interno del generador igual a voltaje base), entonces la corriente por unidad es:

\(\ |\underline{i}|=\frac{1}{.361}=.277 \text { per-unit }\)

Esto puede traducirse de nuevo en unidades ordinarias obteniendo niveles de corriente base. Estos son:

• \(\ I_{B}=\frac{100 \mathrm{MVA}}{\sqrt{3} \times 13.8 \mathrm{kV}}=4.18 \mathrm{kA}\)
• \(\ I_{B}=\frac{100 \mathrm{MVA}}{\sqrt{3} \times 138 \mathrm{kV}}=418 \mathrm{~A}\)
• \(\ I_{B}=\frac{100 \mathrm{MVA}}{\sqrt{3} \times 34.5 \mathrm{kV}}=1.67 \mathrm{kA}\)

Entonces las corrientes de falla reales son:

• En el generador\(\ \left|\underline{I}_{f}\right|=11,595 \mathrm{~A}\)
• En la línea de transmisión\(\ \left|\underline{I}_{f}\right|=1159 \mathrm{~A}\)
• A la culpa\(\ \left|\underline{I}_{f}\right|=4633 \mathrm{~A}\)