8.2: Atar los enfoques MST y Poynting

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James Kirtley
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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Screen Shot 2021-07-21 a las 9.50.34 PM.png

Ahora que el escenario está listo, considere el flujo de energía y la transferencia de fuerza en una región estrecha del espacio como se ilustra en la Figura 5. Las superficies superior e inferior pueden soportar corrientes. Supongamos que todos los campos, eléctricos y magnéticos, son de la forma de una onda viajera en la x- dirección:\(\ \operatorname{Re}\left\{e^{j(\omega t-k x)}\right\}\).

Si asumimos esa forma para los campos y también asumimos que no hay variación en la dirección z (equivalentemente, el problema es infinitamente largo en la dirección z-), no puede haber corrientes x- dirigidas porque la divergencia de corriente es cero:\(\ \nabla \cdot \vec{J}=0\). En un sistema magnetostático esto\(\ \vec{E}\) también es cierto para el campo eléctrico. Así asumiremos que la corriente está confinada a la dirección z y a las dos superficies ilustradas en la Figura 5, y así los únicos campos importantes son:

\ (\\ begin {alineado}
\ vec {E} &=\ vec {i} _ {z}\ nombreoperador {Re}\ izquierda\ {\ subrayado {E} _ {z} e^ {j (\ omega t-k x)}\ derecha\}\
\ vec {H} &=\ vec {i} _ {x}\ nombreoperador {Re}\ izquierda\\ subrayado {H} _ {x} e^ {j (\ omega t-k x)}\ derecha\}\\
&+\ vec {i} _ {y}\ nombreoperador {Re}\ izquierda\ {\ subrayado {H} _ {y} e^ {j (\ omega t-k x)}\ derecha\}
\ final {alineado}\)

Podemos usar la Ley de Faraday\(\ \left(\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\right)\) para establecer la relación entre el campo eléctrico y el campo magnético: el componente y de la Ley de Faraday es:

\(\ j k \underline{E}_{z}=-j \omega \mu_{0} \underline{H}_{y}\)

\(\ \underline{E}_{z}=-\frac{\omega}{k} \mu_{0} \underline{H}_{y}\)

La velocidad de fase\(\ u_{p h}=\frac{\omega}{k}\) es una cantidad muy importante. Tenga en cuenta que, si una de las superficies se está moviendo (como sería en, digamos, una máquina de inducción), la frecuencia y por lo tanto la velocidad de fase aparente, se desplazará por el movimiento. Vamos a utilizar este hecho en breve.

El flujo de energía a través de la superficie denotada por la línea punteada en la Figura 5 es el componente del Vector de Poynting en la dirección y negativa. El componente relevante es:

\(\ S_{y}=(\vec{E} \times \vec{H})_{y}=E_{z} H_{x}=-\frac{\omega}{k} \mu_{0} H_{y} H_{x}\)

Tenga en cuenta que esta expresión contiene el componente xy del tensor de tensión Maxwell\(\ T_{x y}=\mu_0H_xH_y\) para que el flujo de potencia hacia abajo a través de la superficie sea:

\(\ \mathbf{S}=-S_{y}=\frac{\omega}{k} \mu_{0} H_{x} H_{y}=u_{p h} T_{x y}\)

El flujo de potencia promedio es el mismo, en este caso, para el tiempo y para el espacio, y es:

\(\ <\mathbf{S}>=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{\underline{E}_{z} \underline{H}_{x}^{*}\right\}=u_{p h} \frac{\mu_{0}}{2} \operatorname{Re}\left\{\underline{H}_{y} \underline{H}_{x}^{*}\right\}\)

Podemos optar por definir una impedancia superficial:

\(\ \underline{Z}_{s}=\frac{\underline{E}_{z}}{-\underline{H}_{x}}\)

que se convierte en:

\(\ \underline{Z}_{s}=-\mu_{0} u_{p h} \frac{\underline{H}_{y}}{\underline{H}_{x}}=-\mu_{0} u_{p h} \underline{R}\)

donde ahora hemos definido el parámetro\(\ \underline{R}\) como la relación entre amplitudes de campo complejas dirigidas y y x. El flujo de energía a través de esa superficie es ahora:

\(\ \mathbf{S}=-\frac{1}{s} \operatorname{Re}\left\{\underline{E}_{z} \underline{H}_{x}^{*}\right\}=\frac{1}{2} \operatorname{Re}\left\{\left|\underline{H}_{x}\right|^{2} \underline{Z}_{s}\right\}\)