9.1: Relacionar la clasificación con el tamaño

Es posible, incluso con el modelo simple que hemos desarrollado hasta ahora, establecer una relación cuantitativa entre el tamaño de la máquina y la clasificación, dependiendo (por supuesto) de elementos como el flujo útil y la densidad de corriente superficial. Para comenzar, tenga en cuenta que la clasificación de una máquina (motor o generador) es:

\(\ |P+j Q|=q V I\)

donde\(\ q\) es el número de fases,\(\ V\) es el voltaje RMS en cada fase y\(\ I\) es la corriente RMS. Para establecer la clasificación de la máquina debemos establecer voltaje y corriente, y los hacemos por separado.

Voltaje

Supongamos que nuestra aproximación sinusoidal para la densidad de giros es válida:

\(\ n_{a}(\theta)=\frac{N_{a}}{2 R} \cos p \theta\)

Y supongamos que la densidad de flujo de trabajo es:

\(\ B_{r}(\theta)=B_{0} \sin p(\theta-\phi)\)

Ahora, para calcular el flujo vinculado por el devanado (y en consecuencia para calcular el voltaje), primero calculamos el flujo vinculado por una bobina incremental:

\(\ \lambda_{i}(\theta)=\int_{\theta-\frac{\pi}{p}}^{\theta} \ell B_{r}\left(\theta^{\prime}\right) R d \theta^{\prime}\)

Entonces el flujo unido por toda la bobina es:

\(\ \lambda_{a}=p \int_{-\frac{\pi}{2 p}}^{\frac{\pi}{2 p}} \lambda_{i}(\theta) n_{a}(\theta) R d \theta=\frac{\pi}{4} \frac{2 \ell R N_{a}}{p} B_{0} \cos p \phi\)

Esto es flujo instantáneo vinculado cuando el rotor está en ángulo\(\ \phi\). Si la máquina está funcionando a alguna frecuencia eléctrica\(\ \omega\) con un ángulo de fase de modo que\(\ p \phi=\omega t+\delta\), la magnitud RMS del voltaje del terminal es:

\(\ V_{a}=\frac{\omega}{p} \frac{\pi}{4} 2 \ell R N_{a} \frac{B_{0}}{\sqrt{2}}\)

Finalmente, tenga en cuenta que la densidad de corriente pico útil que se puede usar está limitada por la fracción de periferia de la máquina utilizada para ranuras:

\(\ B_{0}=B_{s}\left(1-\lambda_{s}\right)\)

donde\(\ B_{s}\) está la densidad de flujo en los dientes, limitada por la saturación del material magnético.

Actual

La magnitud (RMS) de la hoja de corriente producida por una corriente de magnitud (RMS)\(\ I\) es:

\(\ K_{z}=\frac{q}{2} \frac{N_{a} I}{2 R}\)

Y entonces la corriente es, en términos de la magnitud de la hoja actual:

\(\ I=2 R K_{z} \frac{2}{q N_{a}}\)

Tenga en cuenta que la densidad de corriente superficial es, en términos de densidad de corriente de área\(\ J_{s}\), factor de espacio de ranura\(\ \lambda_{s}\) y profundidad de ranura\(\ h_{s}\):

\(\ K_{z}=\lambda_{s} J_{s} h_{s}\)

Esto da corriente terminal en términos de dimensiones y densidad de corriente útil:

\(\ I=\frac{4 R}{q N_{a}} \lambda_{s} h_{s} J_{s}\)

Calificación

Al ensamblar estas expresiones, la clasificación de la máquina es:

\(\ |P+j Q|=q V I=\frac{\omega}{p} 2 \pi R^{2} \ell \frac{B_{s}}{\sqrt{2}} \lambda_{s}\left(1-\lambda_{s}\right) h_{s} J_{s}\)

Esta expresión en realidad se interpreta con bastante facilidad. El producto del factor de ranura multiplicado por uno menos factor de ranura optimiza bastante rápido a\(\ 1 / 4\) (cuando\(\ \lambda_{s}=1\)). Podríamos interpretar esto como:

\(\ |P=j Q|=A_{s} u_{s} \tau^{*}\)

donde el área de interacción es:

\(\ A_{s}=2 \pi R \ell\)

La velocidad superficial de interacción es:

\(\ u_{s}=\frac{\omega}{p} R=\Omega R\)

y el fragmento de expresión que “parece” tracción es:

\(\ \tau^{*}=h_{s} J_{s} \frac{B_{s}}{\sqrt{2}} \lambda_{s}\left(1-\lambda_{s}\right)\)

Tenga en cuenta que esto no es del todo tracción ya que la corriente y el flujo magnético pueden no estar idealmente alineados, y es por ello que la expresión incorpora potencia reactiva así como real.

Esta aún no es toda la historia. Se entiende fácilmente\(\ B_{s}\) que el límite es causado por la saturación del material magnético. El otro elemento importante sobre la densidad de esfuerzo cortante,\(\ h_{s} J_{s}\) está un poco más involucrado.

En breve haremos una derivación más completa de las reactancias de bobinado. Aquí, comience por señalar que la reactancia síncrona por unidad o normalizada es:

\(\ x_{d}=X_{d} \frac{I}{V}=\frac{\mu_{0} R}{p g} \frac{\lambda_{s}}{1-\lambda_{s}} \sqrt{2} \frac{h_{s} J_{s}}{B_{s}}\)

Si bien esto puede ser algo interesante por sí mismo, se vuelve útil si lo resolvemos para\(\ h_{s} J_{a}\):

\(\ h_{s} J_{a}=x_{d} g \frac{p\left(1-\lambda_{s}\right) B_{s}}{\mu_{0} R \lambda_{s} \sqrt{2}}\)

Es decir, si\(\ x_{d}\) es fijo,\(\ h_{s} J_{a}\) (y así poder) están directamente relacionados con el entrehierro\(\ g\). Ahora bien, para conseguir un límite\(\ g\), debemos responder a la pregunta de ¿hasta qué punto el devanado de campo puede “arrojar” un flujo efectivo de entrehierro? Para entender esta pregunta, debemos calcular la corriente de campo para producir voltaje nominal, sin carga, y luego el exceso de corriente de campo requerido para acomodar la corriente de carga.

Bajo funcionamiento nominal, el voltaje de campo por unidad es:

\(\ e_{a f}^{2}=v^{2}+\left(x_{d} i\right)^{2}+2 x_{d} i \sin \psi\)

O, si en condiciones nominales\(\ v\) y\(\ i\) son ambas unidad (una por unidad), entonces

\(\ e_{a f}=\sqrt{1+x_{d}^{2}+2 x_{d} \sin \psi}\)

Por lo tanto, dado un valor para\(\ x_{d}\) y\(\ \psi\), la tensión interna por unidad también\(\ e_{a f}\) es fija. Luego, la corriente de campo requerida puede calcularse estimando primero la corriente de devanado de campo para “operación sin carga”.

\(\ B_{r}=\frac{\mu_{0} N_{f} I_{f n l}}{2 g p}\)

y la corriente de campo nominal es:

\(\ I_{f}=I_{f n l} e_{a f}\)

o, la corriente de campo nominal requerida es:

\(\ N_{f} I_{f}=\frac{2 g p\left(1-\lambda_{p}\right) B_{s}}{\mu_{0}} e_{a f}\)

A continuación, se\(\ I_{f}\) puede relacionar con una densidad de corriente de campo:

\(\ N_{f} I_{f}=\frac{N_{R S}}{2} A_{R S} J_{f}\)

donde\(\ N_{R S}\) está el número de ranuras del rotor y el área de la ranura del rotor\(\ A_{R S}\) es

\(\ A_{R S}=w_{R} h_{R}\)

donde\(\ h_{R}\) es la altura de la ranura del rotor y\(\ w_{R}\) el ancho de la ranura del rotor

\(\ w_{R}=\frac{2 \pi R}{N_{R S}} \lambda_{R}\)

Entonces:

\(\ N_{f} I_{f}=\pi R \lambda_{R} h_{R} J_{f}\)

Ahora tenemos un valor para el espacio de aire\(\ g\):

\(\ g=\frac{2 \mu_{0} k_{f} R \lambda_{R} h_{R} J_{f}}{p\left(1-\lambda_{s}\right) B_{s} e_{a f}}\)

Esto nos da entonces una densidad útil de corriente superficial de la armadura:

\(\ h_{s} J_{s}=\sqrt{2} \frac{x_{d}}{e_{a f}} \frac{\lambda_{R}}{\lambda_{s}} h_{R} J_{f}\)

No vamos a tener mucho más que decir sobre esto. Tenga en cuenta que la relación de\(\ x_{d} / e_{a f}\) puede ser bastante pequeña (si la reactancia por unidad es pequeña), nunca será un número muy grande para ninguna máquina práctica, y generalmente es menor que una. En la práctica, es inusual que el rendimiento sincrónico por unidad de una máquina sea mayor que aproximadamente 2 o 2.25 por unidad. Lo que esto nos dice debería ser obvio: ya sea el rotor o el estator de una máquina pueden producir la limitación dominante en la densidad de esfuerzo cortante (y así en la clasificación). Los mejores diseños son “equilibrados”, alcanzándose ambos límites al mismo tiempo.