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9.2: Cálculo de inductancia de devanado

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    85520
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El propósito de esta sección es mostrar cómo se pueden calcular las inductancias de los devanados en máquinas de rotor redondo con espacios de aire estrechos. Tratamos solo con los campos magnéticos idealizados del espacio de aire, y no consideramos reactancias de ranura, devanado final, periféricas o sesgadas. Sin embargo, consideramos los armónicos espaciales de la fuerza magneto-motriz del devanado (MMF).

    Para comenzar, considere el MMF de un devanado concentrado de paso completo. Suponiendo que el devanado tiene un total de\(\ N\) vueltas sobre pares de\(\ p\) polos, el MMF es:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    F=&\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {4} {n\ pi}\ frac {N I} {2 p}\ sin n p\ phi\
    &\ texto {nodd}
    \ end {alineado}\)

    Esto conduce directamente a la densidad de flujo magnético en el entrehierro:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    B_ {r} =&\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {\ mu_ {0}} {g}\ frac {4} {n\ pi}\ frac {N I} {2 p}\ sin n p\ phi\
    &\ texto {nodd}
    \ fin {alineado}\)

    Tenga en cuenta que un devanado real, que probablemente no será completo y concentrado, tendrá un factor de bobinado que es producto de factores de tono y amplitud, que se discutirá más adelante.

    Ahora, supongamos que hay un devanado polifásico, que consiste en más de una fase (usaremos tres fases), impulsado con uno de dos tipos de corriente. El primero de ellos es equilibrado, actual:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    I_ {a} &=I\ cos (\ omega t)\\
    I_ {b} &=I\ cos\ izquierda (\ omega t-\ frac {2\ pi} {3}\ derecha)\
    I_ {c} &=I\ cos\ izquierda (\ omega t+\ frac {2\ pi} {3}\ derecha)
    \ fin {alineado}\ label {1}\)

    Por el contrario, podríamos considerar corrientes de Secuencia Cero:

    \(\ I_{a}=I_{b}=I_{c}=I \cos \omega t\)

    Entonces es posible expresar la densidad de flujo magnético para los dos casos distintos. Para el caso equilibrado:

    \(\ B_{r}=\sum_{n=1}^{\infty} B_{r n} \sin (n p \phi \mp \omega t)\)

    donde

    • El signo superior se mantiene para\(\ n=1,7, \ldots\)
    • El signo inferior se mantiene para\(\ n=5,11, \ldots\)
    • todos los demás términos son cero

    y

    \(\ B_{r n}=\frac{3}{2} \frac{\mu_{0}}{g} \frac{4}{n \pi} \frac{N I}{2 p}\)

    El caso de secuencia cero es más simple: es distinto de cero solo para los armónicos triplen:

    \(\ B_{r}=\sum_{n=3,9, \ldots}^{\infty} \frac{\mu_{0}}{g} \frac{4}{n \pi} \frac{N I}{2 p} \frac{3}{2}(\sin (n p \phi-\omega t)+\sin (n p \phi+\omega t))\)

    A continuación, considere el flujo de un devanado en el rotor: que tendrá la misma forma que el flujo producido por un solo devanado de armadura, pero se referirá a la posición del rotor:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    B_ {r f} =&\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {\ mu_ {0}} {g}\ frac {4} {n\ pi}\ frac {N I} {2 p}\ sin n p\ phi^ {\ prime}\
    &\ texto {nodd}
    \ fin {alineado}\)

    que es, sustituyendo\(\ \phi^{\prime}=\phi-\frac{\omega t}{p}\),

    \ (\\ begin {array} {cl}
    B_ {r f} = &\ sum_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {\ mu_ {0}} {g}\ frac {4} {n\ pi}\ frac {N I} {2 p}\ sin n (p\ phi-\ omega t)\\
    &\ text {nodd}
    \ end {array}\)

    El siguiente paso aquí es encontrar el flujo vinculado si tenemos alguna densidad de flujo de entrehierro de la forma:

    \(\ B_{r}=\sum_{n=1}^{\infty} B_{r n} \sin (n p \phi \pm \omega t)\)

    Ahora, es posible calcular el flujo vinculado por un devanado de una sola vuelta, de paso completo mediante:

    \(\ \phi=\int_{0}^{\frac{\pi}{p}} B_{r} R l d \phi\)

    y esto es:

    \(\ \phi=2 R l \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{r n}}{n p} \cos (\omega t)\)

    Esto nos permite calcular inductancias auto y mutuas, ya que el flujo de bobinado es:

    \(\ \lambda=N \phi\)

    El final de esto es un conjunto de expresiones para diversas inductancias. Cabe señalar que, en el mundo real, la mayoría de los devanados no son totalmente inclinados ni concentrados. Afortunadamente, estas deficiencias se pueden acomodar mediante el uso de factores de bobinado.

    La definición más simple y quizás mejor de un factor de bobinado es la relación de flujo unido por un devanado real a flujo que habría sido vinculado por un devanado concentrado de paso completo con el mismo número de vueltas. Es decir:

    \(\ k_{w}=\frac{\lambda_{\text {actual }}}{\lambda_{\text {full-pitch }}}\)

    Es relativamente fácil demostrar, usando argumentos de reciprocidad, que los factores de devanado son también la relación entre el MMF efectivo producido por un devanado real y el MMF que habría sido producido por el mismo devanado si estuviera completamente inclinado y concentrado. El argumento va de la siguiente manera: la inductancia mutua entre cualquier par de devanados es recíproca. Es decir, si los devanados se designan uno y dos, la inductancia mutua es el flujo inducido en el devanado uno por la corriente en el devanado dos, y también es flujo inducido en el devanado dos por la corriente en el devanado uno. Dado que cada devanado tiene un factor de devanado que influye en su flujo de enlace, y dado que la inductancia mutua debe ser recíproca, el mismo factor de devanado debe influir en la MMF producida por el devanado.

    Los factores de devanado a menudo se expresan para cada armónico espacial, aunque a veces cuando se hace referencia a un factor de devanado sin referencia a un número armónico, lo que se entiende es el factor de espacio para el fundamental espacial.

    Comúnmente se especifican dos factores de devanado para devanados normales y regulares. Estos generalmente se denominan factores de paso y amplitud, lo que refleja el hecho de que a menudo los devanados no son completamente inclinados, lo que significa que los giros individuales no abarcan un π radianes eléctricos completos y que los devanados ocupan un rango o amplitud de ranuras dentro de una correa de fase. Los factores de amplitud son relaciones de flujo unidas por un devanado dado al flujo que estaría vinculado por ese devanado si estuviera completamente inclinado y concentrado. Estos dos factores de devanado se discuten con un poco más de detalle a continuación. Lo que es interesante señalar, aunque no lo probamos aquí, es que el factor de bobinado de cualquier devanado dado es producto de los factores de tono y amplitud:

    \(\ k_{w}=k_{p} k_{b}\)

    Con factores de devanado como se definen aquí y en las secciones siguientes, es posible definir inductancias de bobinado. Por ejemplo, la inductancia síncrona de un devanado será la inductancia aparente de una fase cuando el devanado polifásico es accionado por un conjunto equilibrado de corrientes. Esto es, aproximadamente:

    \(\ L_{d}=\sum_{n=1,5,7, \ldots}^{\infty} \frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N^{2} R l k_{w n}^{2}}{p^{2} g n^{2}}\)

    Esta expresión es aproximada porque ignora las interacciones asíncronas entre armónicos de orden superior y el rotor de la máquina. Estos están más allá del alcance de esta nota.

    La inductancia de secuencia cero es la relación de flujo a corriente si un devanado es excitado por corrientes de secuencia cero:

    \(\ L_{0}=\sum_{n=3,9, \ldots}^{\infty} 3 \frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N^{2} R l k_{w n}^{2}}{p^{2} g n^{2}}\)

    Y entonces la inductancia mutua, como entre un devanado de campo\(\ (f)\) y un devanado de armadura\(\ \text { (a) }\), es:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    M (\ theta) =&\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ frac {4} {\ pi}\ frac {\ mu_ {0} N_ {f} N_ {a} k_ {f n} k_ {a n} R l} {p^ {2} g n^ {2}}\ cos (n p theta) eta)\\
    &\ texto {nodd}
    \ end {alineado}\)

    Ahora nos volvemos la atención a calcular los factores de bobinado para patrones de bobinado simples y regulares. No probamos sino que solo afirmamos que el factor de bobinado puede, para patrones de bobinado regulares, expresarse como el producto de un factor de paso y un factor de amplitud, cada uno de los cuales se puede estimar por separado.

    El factor de paso se encuentra considerando el flujo unido por un devanado de paso menor que completo. Considere la situación en la que la densidad de flujo magnético radial es:

    \(\ B_{r}=B_{n} \sin (n p \phi-\omega t)\)

    Un devanado con paso α enlazará el flujo:

    \(\ \lambda=N l \int_{\frac{\pi}{2 p}-\frac{\alpha}{2 p}}^{\frac{\pi}{2 p}+\frac{\alpha}{2 p}} B_{n} \sin (n p \phi-\omega t) R d \phi\)

    El paso\(\ \alpha\) se refiere al desplazamiento angular entre lados de la bobina, expresado en radianes eléctricos. Para una bobina de paso completo\(\ \alpha=\pi\).

    El flujo enlazado es:

    \(\ \lambda=\frac{2 N l R B_{n}}{n p} \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right) \sin \left(\frac{n \alpha}{2}\right)\)

    Se considera que el factor de tono es:

    \(\ k_{p n}=\sin \frac{n \alpha}{2}\)

    Ahora por factor de amplitud. Esto describe el hecho de que un devanado puede consistir en una serie de bobinas, cada una enlazando el flujo ligeramente desfasado con las otras. Un devanado regular tendrá un número (digamos m) de elementos de bobina, separados por ángulo eléctrico\(\ \gamma\).

    Una bobina de paso completo con un lado en ángulo, en presencia de densidad de flujo magnético sinusoidal,\(\ \xi\) enlazará el flujo:

    \(\ \lambda=N l \int_{\frac{\xi}{p}}^{\frac{\pi}{p}-\frac{\xi}{p}} B_{n} \sin (n p \phi-\omega t) R d \phi\)

    Esto se evalúa fácilmente para ser:

    \(\ \lambda=\frac{2 N l R B_{n}}{n p} \operatorname{Re}\left(e^{j(\omega t-n \xi)}\right)\)

    donde se ha utilizado notación numérica compleja por conveniencia para llevar a cabo el resto de esta derivación.

    Ahora: si el devanado se distribuye en m juegos de ranuras y las ranuras están espaciadas uniformemente, la posición angular de cada ranura será:

    \(\ \xi_{i}=i \gamma-\frac{m-1}{2} \gamma\)

    y el número de giros en cada ranura será\(\ \frac{N}{m p}\), de manera que el flujo real vinculado será:

    \(\ \lambda=\frac{2 N l R B_{n}}{n p} \frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} R e\left(e^{j\left(\omega t-n \xi_{i}\right)}\right)\)

    El factor de amplitud es entonces simplemente:

    \(\ k_{b}=\frac{1}{m} \sum_{i=0}^{m-1} e^{-j n\left(i \gamma-\frac{m-1}{2} \gamma\right)}\)

    Tenga en cuenta que esto se puede escribir como:

    \(\ k_{b}=\frac{e^{j n \gamma \frac{m-1}{2}}}{m} \sum_{i=0}^{m} e^{-j n i \gamma}\)

    Ahora, enfócate en esa suma. Sabemos que cualquier suma geométrica cubriente tiene una suma simple:

    \(\ \sum_{i=0}^{\infty} x^{i}=\frac{1}{1-x}\)

    y que una suma truncada es:

    \(\ \sum_{i=0}^{m-1}=\sum_{i=0}^{\infty}-\sum_{i=m}^{\infty}\)

    Entonces la suma útil se puede escribir como:

    \(\ \sum_{i=0}^{m-1} e^{-j n i \gamma}=\left(1-e^{j n m \gamma}\right) \sum_{i=0}^{\infty} e^{-j n i \gamma}=\frac{1-e^{j n m \gamma}}{1-e^{-j n \gamma}}\)

    Ahora, se encuentra el factor de amplitud:

    \(\ k_{b n}=\frac{\sin \frac{n m \gamma}{2}}{m \sin \frac{n \gamma}{2}}\)


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