9.8: Sistemas por unidad

Antes de continuar, debemos tomar un pequeño desvío para buscar sistemas por unidad, un dispositivo de notación que, además de ser conveniente, a veces será conceptualmente útil. La noción básica es bastante simple: para la mayoría de las variables notaremos una cantidad base y luego, dividiendo la variable por la base tenemos una versión por unidad de esa variable. Generalmente vamos a querer atar la cantidad base a algún aspecto de la operación normal. Entonces, por ejemplo, podríamos hacer que el voltaje base y la corriente se correspondan con la clasificación de la máquina. Si ese es el caso, entonces la base de poder se convierte en:

\(\ P_{B}=3 V_{B} I_{B}\)

y podemos definir, de manera similar, una base de impedancia:

\(\ Z_{B}=\frac{V_{B}}{I_{B}}\)

Ahora, aquí se requiere un poco de precaución. Hemos definido la base de voltaje como línea neutra y la base de corriente como corriente de línea (ambos RMS). Eso no es necesario. En un sistema trifásico muy bien podríamos haber definido el voltaje base para haber sido la línea de línea y la corriente base para ser corriente en un elemento conectado delta:

\(\ V_{B \Delta}=\sqrt{3} V_{B} \quad I_{B \Delta}=\frac{I_{B}}{\sqrt{3}}\)

En ese caso, la potencia base no variaría pero la impedancia base diferiría en un factor de tres:

\(\ P_{B}=V_{B \Delta} I_{B \Delta} \quad Z_{B \Delta}=3 Z_{B}\)

Sin embargo, si fuéramos consistentes con impedancias reales (tenga en cuenta que una conexión delta de elementos de impedancia\(\ 3 Z\) es equivalente a una conexión en forma de onda de\(\ Z\)), las impedancias por unidad de un sistema dado no dependen de la conexión particular. De hecho, una de las principales ventajas de usar un sistema por unidad es que los valores por unidad se determinan de manera única, mientras que las variables ordinarias pueden ser línea-línea, línea neutra, RMS, pico, etc., para un gran número de variaciones.

Quizás desafortunado es el hecho de que las cantidades base generalmente se dan como voltaje de línea y potencia base. Para que:

\(\ I_{B}=\frac{P_{B}}{\sqrt{3} V_{B \Delta}} \quad Z_{B}=\frac{V_{B}}{I_{B}}=\frac{1}{3} \frac{V_{B \Delta}}{I_{B \Delta}}=\frac{V_{B \Delta}^{2}}{P_{B}}\)

Ahora, usualmente escribiremos variables por unidad como versiones en minúsculas de las variables ordinarias:

\(\ v=\frac{V}{V_{B}} \quad p=\frac{P}{P_{B}} \quad \text { etc }\)

Así, escritos en notación por unidad, la potencia real y reactiva para una máquina síncrona que opera en estado estacionario son:

\(\ p=-\frac{v e_{a f}}{x_{d}} \sin \delta \quad q=\frac{v^{2}}{x_{d}}-\frac{v e_{a f}}{x_{d}} \sin \delta\)

Estas son, por supuesto, en coordenadas de referencia del motor, y representan la potencia real y reactiva en los terminales de la máquina.