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12.3: Estimación de parámetros

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    85464
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Ahora estamos a punto de estimar los principales parámetros de los motores. Debido a que tenemos una serie de geometrías de motor diferentes a considerar, pero debido a que comparten parámetros de una manera no demasiado ordenada, esta sección tendrá una serie de subpartes. Primero, calculamos el enlace de flujo, luego la reactancia.

    Vinculación de flujo

    Dada una máquina que puede considerarse uniforme en la dirección axial, el flujo unido por una sola bobina de paso completo que abarca un ángulo de cero a\(\ \pi / p\), es:

    \(\ \phi=\int_{0}^{\frac{\pi}{p}} B_{r} R l d \phi\)

    donde\(\ B_{r}\) está el flujo radial a través de la bobina. Y, si Br se distribuye sinusoidalmente esto tendrá un valor pico de

    \(\ \phi_{p}=\frac{2 R l B_{r}}{p}\)

    Ahora bien, si el devanado real tiene\(\ N_{a}\) giros, y usando los factores de paso y amplitud derivados en el Apéndice 1, el flujo total vinculado es simplemente:

    \[\ \lambda_{f}=\frac{2 R l B_{1} N_{a} k_{w}}{p}\label{30} \]

    donde

    \ (\\ comenzar {alineado}
    k_ {w} &=k_ {p} k_ {b}\\
    k_ {p} &=\ sin\ frac {\ alfa} {2}\
    k_ {b} &=\ frac {\ sin m\ frac {\ gamma} {2}} {m\ sin\ frac {\ gamma} {2}}
    \ end {alineado}\)

    El ángulo\(\ \alpha\) es el ángulo de paso,

    \(\ \alpha=2 \pi p \frac{N_{p}}{N_{s}}\)

    donde\(\ N_{p}\) es el lapso de la bobina (en ranuras) y\(\ N_{s}\) es el número total de ranuras en el estator. El ángulo\(\ \gamma\) es el ángulo eléctrico de la ranura:

    \(\ \gamma=\frac{2 \pi p}{N_{s}}\)

    Ahora bien, lo que queda por encontrar es la densidad de flujo magnético fundamental espacial\(\ B_{1}\). En el tercer apéndice se muestra que, para los imanes en una geometría de montaje superficial, el campo magnético en la superficie del hueco magnético es:

    \[\ B_{1}=\mu_{0} M_{1} k_{g}\label{31} \]

    donde la magnetización espacio-fundamental es:

    \(\ M_{1}=\frac{B_{r}}{\mu_{0}} \frac{4}{\pi} \sin \frac{p \theta_{m}}{2}\)

    donde\(\ B_{r}\) es la densidad de flujo remanente de los imanes permanentes y\(\ \theta_{m}\) es el ángulo del imán.

    y donde el factor que describe la geometría del hueco magnético depende del caso. Para imanes en el interior y\(\ p \neq 1\),

    \(\ k_{g}=\frac{R_{s}^{p-1}}{R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}}\left(\frac{p}{p+1}\left(R_{2}^{p+1}-R_{1}^{p+1}\right)+\frac{p}{p-1} R_{i}^{2 p}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right)\right)\)

    Para imanes en el interior y\(\ p=1\),

    \(\ k_{g}=\frac{1}{R_{s}^{2}-R_{i}^{2}}\left(\frac{1}{2}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)+R_{i}^{2} \log \frac{R_{2}}{R_{1}}\right)\)

    Para el caso de imanes exteriores y\(\ p \neq 1\):

    \(\ k_{g}=\frac{R_{i}^{p-1}}{R_{s}^{2 p}-R_{i}^{2 p}}\left(\frac{p}{p+1}\left(R_{2}^{p+1}-R_{1}^{p+1}\right)+\frac{p}{p-1} R_{s}^{2 p}\left(R_{1}^{1-p}-R_{2}^{1-p}\right)\right)\)

    y para imanes exteriores y\(\ p=1\),

    \(\ k_{g}=\frac{1}{R_{s}^{2}-R_{i}^{2}}\left(\frac{1}{2}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)+R_{s}^{2} \log \frac{R_{2}}{R_{1}}\right)\)

    Donde\(\ R_{s}\) y\(\ R_{i}\) son los límites magnéticos externos e internos, respectivamente, y\(\ R_{2}\) y\(\ R_{1}\) son los límites externos e internos de los imanes.

    Tenga en cuenta que para el caso de un pequeño espacio, en el que tanto el espacio físico g como el grosor del imán\(\ h_{m}\) son mucho menores que el radio del rotor, es sencillo demostrar que todas las expresiones anteriores se acercan a lo que se calcularía usando un modelo simple y unidimensional para el imán permanente:

    \(\ k_{g} \rightarrow \frac{h_{m}}{g+h_{m}}\)

    Esta es la historia completa de la máquina de imán de superficie de bobinado en ranura, espacio de aire estrecho. Para los devanados de armadura airgap, es necesario tener en cuenta la dependencia radial del campo magnético.

    Bobinas de armadura Air-Gap

    Sin devanados en ranuras, la definición convencional del factor de bobinado se vuelve difícil de aplicar. Sin embargo, si cada una de las correas de fase del devanado ocupa una extensión angular\(\ \theta_{w}\), entonces el equivalente a (31) es:

    \(\ k_{w}=\frac{\sin p \frac{\theta_{w}}{2}}{p \frac{\theta_{w}}{2}}\)

    A continuación, supongamos que la “densidad” de los conductores dentro de cada una de las correas de fase del devanado del inducido es uniforme, de manera que la densidad de vueltas en función del radio es:

    \(\ N(r)=\frac{2 N_{a} r}{R_{w o}^{2}-R_{w i}^{2}}\)

    Esto solo expresa el hecho de que hay más espacio azimutal a radios más grandes, por lo que con densidad uniforme el número de vueltas en función del radio depende linealmente del radio. Aquí,\(\ R_{w o}\) y\(\ R_{w i}\) están los radios exterior e interior, respectivamente, del devanado.

    Ahora es posible calcular el flujo vinculado debido a una distribución de campo magnético:

    \(\ \lambda_{f}=\int_{R_{w i}}^{R_{w o}} \frac{2 l N_{a} k_{w} r}{p} \frac{2 r}{R_{w o}^{2}-R_{w i}^{2}} \mu_{0} H_{r}(r) d r\label{32}\)

    Anote la forma del campo magnético en función del radio expresado en 80 y 81 del segundo apéndice. Para el caso de “bobinado exterior” es:

    \(\ H_{r}=A\left(r^{p-1}+R_{s}^{2 p} r^{-p-1}\right)\)

    Entonces un devanado con todas sus vueltas concentradas en el radio exterior\(\ r=R_{w o}\) vincularía el flujo:

    \(\ \lambda_{c}=\frac{2 l R_{w o} k_{w}}{p} \mu_{0} H_{r}\left(R_{w o}\right)=\frac{2 l R_{w o} k_{w}}{p} \mu_{0} A\left(R_{w o}^{p-1}+R_{s}^{2 p} R_{w o}^{-p-1}\right)\)

    Al llevar a cabo (32), es posible, entonces, expresar el flujo unido por un devanado grueso al flujo que habría sido vinculado por un devanado radialmente concentrado en su superficie exterior mediante:

    \(\ k_{t}=\frac{\lambda_{f}}{\lambda_{c}}\)

    donde, para el devanado exterior,\(\ p \neq 2\) estuche:

    \[\ k_{t}=\frac{2}{\left(1-x^{2}\right)\left(1+\xi^{2 p}\right)}\left(\frac{\left(1-x^{2+p}\right) \xi^{2 p}}{2+p}+\frac{1-x^{2-p}}{2-p}\right)\label{33} \]

    donde hemos utilizado las definiciones\(\ \xi=R_{w o} / R_{s}\) y\(\ x=R_{w i} / R_{w o}\). En el caso de enrollamiento exterior,\(\ p=2\),

    \[\ k_{t}=\frac{2}{\left(1-x^{2}\right)\left(1+\xi^{2 p}\right)}\left(\frac{\left(1-x^{4}\right) \xi^{4}}{4}-\log x\right)\label{34} \]

    De manera muy similar, podemos definir un factor de bobinado para un devanado grueso en el que el radio de referencia está en la superficie interna. (Nota: esto se hace porque es probable que la superficie interna del devanado interior sea coincidente con la superficie ferromagnética interna, ya que es probable que la superficie exterior del devanado exterior sea coincidente con la superficie ferromagnética externa). Para\(\ p \neq 2\):

    \[\ k_{t}=\frac{2 x^{-p}}{\left(1-x^{2}\right)\left(1+\eta^{2 p}\right)}\left(\frac{1-x^{2+p}}{2+p}+(\eta x)^{2 p} \frac{1-x^{2-p}}{2-p}\right)\label{35} \]

    y para\(\ p=2\):

    \[\ k_{t}=\frac{2 x^{-2}}{\left(1-x^{2}\right)\left(1+\eta^{2 p}\right)}\left(\frac{1-x^{4}}{4}-(\eta x)^{4} \log x\right)\label{36} \]

    donde\(\ \eta=R_{i} / R_{w i}\)

    Entonces, en resumen, el flujo vinculado por una armadura de entrehierro viene dado por:

    \[\ \lambda_{f}=\frac{2 R l B_{1} N_{a} k_{w} k_{t}}{p}\label{37} \]

    donde\(\ B_{1}\) es la densidad de flujo en el radio exterior del devanado físico (para las máquinas de bobinado exterior) o en el radio interior del devanado físico (para las máquinas de bobinado interior). Tenga en cuenta que el factor adicional\(\ k_{t}\) es un poco más de uno (se acerca a la unidad para devanados delgados), de manera que, para pequeños números de polos y devanados que no son demasiado gruesos, es casi correcto y en cualquier caso “conservador” tomarlo como uno.

    Motores de imán para interiores

    Para la máquina de concentración de flujo, es posible estimar la densidad de flujo de entrehierro utilizando un modelo de reluctancia simple.

    La permeancia del espacio de aire de una pieza polar es:

    \(\ \wp_{a g}=\mu_{0} l \frac{R \theta_{p}}{g}\)

    donde\(\ \theta_{p}\) está el ancho angular de la pieza polar.

    Y la permeancia incremental de un imán es:

    \(\ \wp_{m}=\mu_{0} \frac{h_{m} l}{w_{m}}\)

    El imán ve una permeancia unitaria que consiste en su propia permeancia en serie con la mitad de cada una de las dos piezas polares (en serie):

    \(\ \wp_{u}=\frac{\wp_{a g}}{\wp_{m}}=\frac{R \theta_{p}}{4 g} \frac{w_{m}}{h_{m}}\)

    La densidad de flujo magnético en el imán es:

    \(\ B_{m}=B_{0} \frac{\wp_{u}}{1+\wp_{u}}\)

    Y luego la densidad de flujo en el entrehierro es:

    \(\ B_{g}=\frac{2 h_{m}}{R \theta_{p}} B_{m}=B_{0} \frac{2 h_{m} w_{m}}{4 g h_{m}+R \theta_{p} w_{m}}\)

    El espacio fundamental de eso puede escribirse como:

    \(\ B_{1}=\frac{4}{\pi} \sin \frac{p \theta_{p}}{2} B_{0} \frac{w_{m}}{2 g} \gamma_{m}\)

    donde hemos introducido la taquigrafía:

    \(\ \gamma_{m}=\frac{1}{1+\frac{w_{m}}{g} \frac{\theta_{p}}{4} \frac{R}{h_{m}}}\)

    El enlace de flujo se calcula como antes:

    \[\ \lambda_{f}=\frac{2 R l B_{1} N_{a} k_{w}}{p}\label{38} \]

    Inductancias de bobinado

    El siguiente conjunto importante de parámetros a calcular son las inductancias de los ejes d y q de la máquina. Consideraremos tres casos separados, el de bobinado en ranura, caja de imán de superficie, que es magnéticamente “redonda”, o no sobresaliente, la caja de bobinado de entrehierro, y la caja de concentración de flujo que es sobresaliente, o tiene diferentes inductancias de eje directo y cuadratura.

    Imanes de superficie, devanados en ranuras

    En esta configuración no hay prominencia, así que eso\(\ L_{d}=L_{q}\). Hay dos partes principales para la inductancia, la inductancia de entrehierro y la inductancia de fuga de ranura. Otros componentes, incluida la fuga de giro final, pueden ser importantes en algunas configuraciones, y se calcularían de la misma manera que para una máquina de inducción. Como se muestra en el primer Apéndice, la parte fundamental de la inductancia del entrehierro es:

    \[\ L_{d 1}=\frac{q}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N_{a}^{2} k_{w}^{2} l R_{s}}{p^{2}\left(g+h_{w}\right)}\label{39} \]

    Aquí,\(\ g\) está el hueco magnético, incluyendo el espacio rotacional físico y cualquier medio de retención de imán que pueda usarse. \(\ h_{m}\)es el grosor del imán.

    Dado que el grosor del imán está incluido en el entrehierro, la permeancia del entrehierro puede no ser muy grande, por lo que la inductancia de fuga de ranura puede ser importante. Para estimar esto, supongamos que la forma de ranura es rectangular, caracterizada por las siguientes dimensiones:

    \(\ h_{s}\)altura de la porción principal de la ranura

    \(\ w_{s}\)ancho de la parte superior de la porción principal de la ranura

    \(\ h_{d}\)altura de la depresión de la ranura

    \(\ w_{d}\)abertura de depresión de ranura

    Por supuesto, no todas las ranuras son rectangulares: de hecho, en la mayoría de las máquinas las ranuras son de forma trapezoidal para mantener las secciones transversales de los dientes que son radialmente uniformes. Sin embargo, solo se incurre en un error muy pequeño (un pequeño porcentaje) al calcular la permeancia de ranura si se supone que la ranura es rectangular y se usa el ancho superior (es decir, el ancho más cercano al entrehierro). Entonces la permeancia de ranura es, por unidad de longitud:

    \(\ \mathcal{P}=\mu_{0}\left(\frac{1}{3} \frac{h_{s}}{w_{s}}+\frac{h_{d}}{w_{d}}\right)\)

    Supongamos para el resto de esta discusión un devanado estándar, con\(\ m\) ranuras en cada correa de fase (esto supone, entonces, que el número total de ranuras es\(\ N_{s}=2 p q m\)), y cada ranura contiene dos medias bobinas. (Una media bobina es un lado de una bobina que, por supuesto, está enrollada en dos ranuras). Si cada bobina tiene\(\ N_{c}\) giros (significado\(\ N_{a}=2 p m N_{c}\)), entonces la contribución a la autoinductancia de fase de una ranura es, si ambas medias bobinas son de la misma fase,\(\ 4 l \mathcal{P} N_{c}^{2}\). Si las medias bobinas son de diferentes fases, entonces la contribución a la autoinductancia es\(\ l \mathcal{P} N_{c}^{2}\) y la magnitud de la contribución a la inductancia mutua es\(\ l \mathcal{P} N_{c}^{2}\). (Aquí se requiere cierta precaución. Para los devanados trifásicos la inductancia mutua es negativa, también lo son los sentidos de las corrientes en las otras dos fases, por lo que el impacto de la “fuga mutua” es aumentar la reactancia. Esto también será cierto para otros números de fases, incluso si el signo algebraico de la inductancia de fuga mutua es positivo, en cuyo caso así será el sentido de la corriente de otra fase).

    Haremos aquí otros dos supuestos. El estándar es que el devanado “tiro de bobina”, o lapso entre lados de una bobina, es\(\ \frac{N_{s}}{2 p}-N_{s p}\). \(\ N_{s p}\)es la bobina de “paso corto”. La otra es que cada correa de fase se superpondrá con, como máximo, otras dos fases: las de cada lado en secuencia. Esta última suposición es inmediatamente cierta para los devanados trifásicos (porque solo hay otras dos fases. También es probable que sea cierto para cualquier número razonable de fases.

    Observando que cada fase ocupa\(\ 2 p\left(m-N_{s p}\right)\) ranuras con ambas mitades de bobina en la misma ranura y\(\ 4 p N_{s p}\) ranuras en las que una mitad de bobina comparte una ranura con una fase diferente, podemos anotar los dos componentes de inductancia de fuga de ranura, uno mismo y mutuo:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    L_ {a s} &=2 p l\ izquierda [\ izquierda (m-n_ {s p}\ derecha)\ izquierda (2 N_ {c}\ derecha) ^ {2} +2 N_ {s p} N_ {c} ^ {2}\ derecha]\\
    L_ {a m} &=2 p l N_ {s p} N_ {c} ^ {2}
    \ final {alineado}\)

    Para una máquina trifásica, entonces, la inductancia de fuga de ranura total es:

    \(\ L_{a}=L_{a s}+L_{a m}=2 p l \mathcal{P} N_{c}^{2}\left(4 m-N_{s p}\right)\)

    Para un devanado uniforme y simétrico con un número impar de fases, es posible mostrar que la inductancia efectiva de fuga de ranura es:

    \(\ L_{a}=L_{a s}-2 L_{a m} \cos \frac{2 \pi}{q}\)

    La inductancia síncrona total es la suma de los componentes de entrehierro y fugas: hasta ahora esto es:

    \(\ L_{d}=L_{d 1}+L_{a}\)

    Bobinas de armadura Air-Gap

    En el Apéndice 2 se muestra que la inductancia de una monofásico de un devanado de entrehierro es:

    \(\ L_{a}=\sum_{n} L_{n p}\)

    donde los componentes armónicos son:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    L_ {k} =&\ frac {8} {\ pi}\ frac {\ mu_ {0} l k_ {w n} ^ {2} N_ {a} ^ {2}} {k\ izquierda (1-x^ {2}\ derecha) ^ {2}}\ izquierda [\ frac {\ izquierda (1-x^ {2-k}\ ma^ {2 k}\ derecha)\ izquierda (1-x^ {2+k}\ derecha)} {\ izquierda (4-k^ {2}\ derecha)\ izquierda (1-\ gamma^ {2 k}\ derecha)}\ derecha. \\
    &+\ frac {\ xi^ {2 k}\ izquierda (1-x^ {k+2}\ derecha) ^ {2}} {(2+k) ^ {2}\ izquierda (1-\ gamma^ {2 k}\ derecha)} +\ frac {\ xi^ {-2 k}\ izquierda (1-x^ {2-k}\ derecha) ^ {2}} {(2-k) ^ {2}\ izquierda (\ gamma^ {-2 k} -1\ derecha)}\\
    &\ izquierda. +\ frac {\ izquierda (1-\ gamma^ {-2 k} x^ {2+k}\ derecha)\ izquierda (1-x^ {2-k}\ derecha)} {\ izquierda (4-k^ {2}\ derecha)\ izquierda (\ gamma^ {-2 k} -1\ derecha)} -\ frac {k} {4-k^ {2}}\ frac {1-x^ {2}}} {2}\ derecha]
    \ final {alineado}\)

    donde hemos utilizado los siguientes coeficientes abreviados:

    \ (\\ comenzar {alineado}
    x &=\ frac {R_ {w i}} {R_ {w o}}\
    \ gamma &=\ frac {R_ {i}} {R_ {s}}\\
    \ xi &=\ frac {R_ {w o}} {R_ {s}}
    \ final {alineado}\)

    Esto encaja en el marco de inductancia convencional:

    \(\ L_{n}=\frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N_{a}^{2} R_{s} L k_{w n}^{2}}{N^{2} p^{2} g} k_{a}\)

    si asignamos el coeficiente de “armadura gruesa” para que sea:

    \ (\\ begin {alineado}
    k_ {a} =&\ frac {2 g k} {R_ {w o}}\ frac {1} {\ izquierda (1-x^ {2}\ derecha) ^ {2}}\ izquierda [\ frac {\ izquierda (1-x^ {2-k}\ gamma^ {2 k}\ derecha)\ izquierda (1-x^ {2+k}\ derecha)} {\ izquierda (4-k^ {2}\ derecha)\ izquierda (1-\ gamma^ {2 k}\ derecha)}\ derecha. \\
    &+\ frac {\ xi^ {2 k}\ izquierda (1-x^ {k+2}\ derecha) ^ {2}} {(2+k) ^ {2}\ izquierda (1-\ gamma^ {2 k}\ derecha)} +\ frac {\ xi^ {-2 k}\ izquierda (1-x^ {2-k}\ derecha) ^ {2}} {(2-k) ^ {2}\ izquierda (\ gamma^ {-2 k} -1\ derecha)}\\
    &\ izquierda. +\ frac {\ izquierda (1-\ gamma^ {-2 k} x^ {2+k}\ derecha)\ izquierda (1-x^ {2-k}\ derecha)} {\ izquierda (4-k^ {2}\ derecha)\ izquierda (\ gamma^ {-2 k} -1\ derecha)} -\ frac {k} {4-k^ {2}}\ frac {1-x^ {2}}} {2}\ derecha]
    \ final {alineado}\)

    \(\ k=n p\)y\(\ g=R_{s}-R_{i}\) es el “entrehierro” definido convencionalmente. Si la relación de aspecto no\(\ R_{i} / R_{s}\) está muy lejos de la unidad, tampoco lo es\(\ k_{a}\). En el caso de\(\ p=2\), el componente fundamental de\(\ k_{a}\) es:

    \(\ k_{a}=\frac{2 g k}{R_{w o}} \frac{1}{\left(1-x^{2}\right)^{2}}\left[\frac{1-x^{4}}{8}-\frac{2 \gamma^{4}+x^{4}\left(1-\gamma^{4}\right)}{4\left(1-\gamma^{4}\right)} \log x+\frac{\gamma^{4}}{\xi^{4}\left(1-\gamma^{4}\right)}(\log x)^{2}+\frac{\xi^{4}\left(1-x^{4}\right)^{2}}{16\left(1-\gamma^{4}\right)}\right]\)

    Para un devanado de fase q, una buena aproximación a la inductancia viene dada por solo el primer término armónico espacial, o:

    \(\ L_{d}=\frac{q}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N_{a}^{2} R_{s} L k_{w n}^{2}}{n^{2} p^{2} g} k_{a}\)

    Motor de imán interno

    Los imanes permanentes tendrán un efecto sobre la reactancia porque los imanes están en la trayectoria de flujo principal de la armadura. Además, afectan a las reactancias directas y en cuadratura de manera diferente, de manera que la máquina será sobresaliente. En realidad, el efecto sobre el eje directo probablemente será mayor, por lo que este tipo de máquina exhibirá prominencia “negativa”: la reactancia del eje en cuadratura será mayor que la reactancia del eje directo.

    Una bobina de paso completo alineada con el eje directo de la máquina produciría densidad de flujo:

    \(\ B_{r}=\frac{\mu_{0} N_{a} I}{2 g\left(1+\frac{R \theta_{p}}{4 g} \frac{w_{m}}{h_{m}}\right)}\)

    Tenga en cuenta que solo el área polar está transportando flujo útil, de manera que el espacio fundamental de la densidad de flujo radial es:

    \(\ B_{1}=\frac{\mu_{0} N_{a} I}{2 g} \frac{4}{\pi} \frac{\sin \frac{p \theta_{m}}{2}}{1+\frac{w_{m}}{h_{m}} \frac{R \theta_{p}}{4 g}}\)

    Entonces, dado que el flujo vinculado por el devanado es:

    \(\ \lambda_{a}=\frac{2 R l N_{a} k_{w} B_{1}}{p}\)

    La inductancia del eje d, incluido el acoplamiento mutuo de fase, es (para una máquina de fase q):

    \(\ L_{d}=\frac{q}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N_{a}^{2} R l k_{w}^{2}}{p^{2} g} \gamma_{m} \sin \frac{p \theta_{p}}{2}\)

    El eje de cuadratura es bastante diferente. En ese eje, la armadura no tiende a empujar el flujo a través de los imanes, por lo que solo tienen un efecto menor. El efecto que sí tienen se debe a que los imanes producen un espacio en el entrehierro activo. Así, mientras que una bobina de paso completo alineada con el eje de cuadratura producirá una densidad de flujo de entrehierro:

    \(\ B_{r}=\frac{\mu_{0} N I}{g}\)

    el espacio fundamental de eso será:

    \(\ B_{1}=\frac{\mu_{0} N I}{g} \frac{4}{\pi}\left(1-\sin \frac{p \theta_{t}}{2}\right)\)

    donde\(\ \theta_{t}\) es el ancho angular sacado del polo por los imanes.

    De modo que la expresión para la inductancia del eje de cuadratura es:

    \(\ L_{q}=\frac{q}{2} \frac{4}{\pi} \frac{\mu_{0} N_{a}^{2} R l k_{w}^{2}}{p^{2} g}\left(1-\sin \frac{p \theta_{t}}{2}\right)\)


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