12.5: Apéndice 1 - Inductancia del devanado de entrehierro

En este apéndice se utiliza un modelo bidimensional simple para estimar los campos magnéticos y luego las inductancias de un devanado de entrehierro. La principal suposición limitante aquí es que el devanado es uniforme en la dirección z, lo que significa que es largo en comparación con sus radios. Esto generalmente no es cierto, sin embargo las respuestas que obtendremos no están muy lejos de ser correctas. El estilo de análisis utilizado aquí puede llevarse a un dominio tridimensional, o cuasi-tridimensional para obtener respuestas mucho más precisas, a expensas de un aumento muy sustancial de la complejidad.

El sistema de coordenadas a utilizar se muestra en la Figura 10. Para mantener la generalidad tenemos cuatro radios:\(\ R_{i}\) y\(\ R_{s}\) son límites ferromagnéticos, y por supuesto corresponderían con el eje de la máquina y el núcleo del estator. El propio devanado se lleva entre radios\(\ R_{1}\) y\(\ R_{2}\), que corresponden con radios\(\ R_{w i}\) y\(\ R_{w o}\) en el cuerpo del texto. Se supone que la armadura lleva una corriente en la dirección z, y que esta corriente es uniforme en la dimensión radial de la armadura. Si una sola fase de la armadura lleva corriente, esa corriente será:

\(\ J_{z 0}=\frac{N_{a} I_{a}}{\frac{\theta_{w e}}{2}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)}\)

sobre la cuña anular ocupada por la fase. La distribución resultante puede analizarse en Fourier, y la enésima componente armónica de esta será (suponiendo que el sistema de coordenadas se haya elegido apropiadamente):

\(\ J_{z n}=\frac{4}{n \pi} J_{z 0} \sin n \frac{\theta_{w e}}{2}=\frac{4}{\pi} \frac{N_{a} I_{a}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} k_{w n}\)

donde el n-ésimo factor de bobinado armónico es:

\(\ k_{w n}=\frac{\sin n \frac{\theta_{w e}}{2}}{n \frac{\theta_{w e}}{2}}\)

y tenga en cuenta que\(\ \theta_{w e}\) es el ángulo del devanado eléctrico:

\(\ \theta_{w e}=p \theta_{w}\)

Ahora, es más fácil abordar este problema usando un potencial vectorial. Dado que la divergencia de la densidad de flujo es cero, es posible dejar que la densidad de flujo magnético sea representada por el rizo de un potencial vectorial:

\(\ \bar{B}=\nabla \times \bar{A}\)

Tomando el rizo de eso:

\(\ \nabla \times(\nabla \times \bar{A})=\mu_{0} \bar{J}=\nabla \nabla \cdot \bar{A}-\nabla^{2} \bar{A}\)

y usando el medidor de culombo

\(\ \nabla \cdot \bar{A}=0\)

tenemos una ecuación diferencial parcial tratable razonable en el potencial vectorial:

\(\ \nabla^{2} \bar{A}=-\mu_{0} \bar{J}\)

Ahora bien, dado que en nuestra suposición solo hay un componente dirigido a z de\(\ \bar{J}\), podemos usar ese componente, y en coordenadas cilíndricas circulares que es:

\(\ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial A_{z}}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}} A_{z}=-\mu_{0} J_{z}\)

Para este problema, todas las variables variarán sinusoidalmente con el ángulo, por lo que asumiremos esa dependencia angular\(\ e^{j k \theta}\). Así:

\[\ \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r \frac{\partial A_{z}}{\partial r}-\frac{k^{2}}{r^{2}} A_{z}=-\mu_{0} J_{z}\label{40} \]

Se trata de un problema de tres regiones. Tenga en cuenta las regiones como:

\ (\\ begin {array} {ll}
\ mathrm {i} & R_ {i} <R<r_ {1}\\
\ mathrm {w} & R_ {1} <R<r_ {2}\
\ text {o} & R_ {2} <R<r_ {s}
\ end {array}\)

Para i y o, la densidad de corriente es cero y una solución apropiada para (40) es:

\(\ A_{z}=A_{+} r^{k}+A_{-} r^{-k}\)

En la región del devanado, w, se debe usar una solución particular además de la solución homogénea, y

\(\ A_{z}=A_{+} r^{k}+A_{-} r^{-k}+A_{p}\)

donde, para\(\ k \neq 2\),

\(\ A_{p}=-\frac{\mu_{0} J_{z} r^{2}}{4-k^{2}}\)

o, si\(\ k=2\),

\(\ A_{p}=-\frac{\mu_{0} J_{z} r^{2}}{4}\left(\log r-\frac{1}{4}\right)\)

Y, por supuesto, los dos componentes pertinentes de la densidad de flujo magnético son:

\ (\\ comenzar {alineado}
B_ {r} &=\ frac {1} {r}\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial\ theta}\\
B_ {\ theta} &=-\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ r parcial}
\ final {alineado}\)

A continuación, es necesario hacer coincidir las condiciones de contorno. Hay seis variables libres y correspondientemente debe haber seis de estas condiciones límite. Ellos son los siguientes:

• En los límites magnéticos internos y externos,\(\ r=R_{i}\) y\(\ r=R_{s}\), el campo magnético azimutal debe desvanecerse.
• En los radios interno y externo del propio devanado,\(\ r=R_{1}\) y\(\ r=R_{2}\), tanto el campo magnético radial como el acimutal deben ser continuos.

Estas condiciones pueden resumirse por:

\ (\\ begin {alineado}
k A_ {+} ^ {i} R_ {i} ^ {k-1} -k A_ {-} ^ {i} R_ {i} ^ {-k-1} &=0\\
k A_ {+} ^ {o} R_ {s} ^ {k-1} -k A_ {-} ^ {o} R_ {s} ^ {-k} -k A_ {o}
R_ {s} ^ {-k k-1} &=0\\ A_ {+} ^ {w} R_ {2} ^ {k-1} +A_ {-} ^ {w} R_ {2} ^ {-k-1} -\ frac {\ mu_ {0} J_ {z} R_ {2}} {4-k^ {2}} &=A_ {+} ^ {o} R_ {2} ^ {k-1} +A_ {-} ^ {o} R_ {2} ^ {-k- 1}\\
-k A_ {+} ^ {w} R_ {2} ^ {k-1} +k A_ {-} ^ {w} R_ {2} ^ {-k-1} +\ frac {2\ mu_ {0} J_ {z} R_ {2}} {4-k^ {2}} &=-k A_ {+} ^ {o} R_ {2} ^ {k-1} +k A_ {-} ^ {o} R_ {2} ^ {-k-1}\\
A_ {+} ^ {w} R_ {1} ^ {k-1} +A_ {-} ^ {w} R_ {1} ^ {-k-1} -\ frac {\ mu_ {0} J_ z {} R_ {1}} 4-k^ {2}} &=A_ {+} ^ {i} R_ {1} ^ {k-1} +A_ {-} ^ {i} R_ {1} ^ {-k-1} \\
-k A_ {+} ^ {w} R_ {1} ^ {k-1} +k A_ {-} ^ {w} R_ {1} ^ {-k-1} +\ frac {2\ mu_ {0} J_ {z} R_ {1}} {4-k^ {2}} &=-k A_ {+} ^ {i} R_ {1} ^ {k-1} +k A_ {-} ^ {i} R_ {1} ^ {-k-1}
\ final {alineado}\)

Tenga en cuenta que estamos llevando a cabo esto aquí sólo para el caso de\(\ k \neq 2\). El\(\ k=2\) caso puede obtenerse sustituyendo su solución particular al inicio o utilizando la regla de L'Hopital sobre la solución final. Este conjunto puede resolverse (es un poco tedioso pero bastante sencillo) para ceder, para la región sinuosa:

\ (\\ begin {alineado}
A_ {z} =&\ frac {\ mu_ {0} J_ {z}} {2 k}\ left [\ left (\ frac {R_ {s} ^ {2 k} R_ {2} ^ {2-k} -R_ {i} ^ {2 k} R_ {1} ^ {2-k}} {(2-k) izquierda\ (R_ {s} ^ {2 k} -R_ {i} ^ {2 k}\ derecha)} +\ frac {R_ {2} ^ {2+k} -R_ {1} ^ {2+k}} {(2+k)\ izquierda (R_ {s} ^ {2 k} -R_ {i} ^ {2 k}\ derecha)}\ derecha) r^ {k}\ derecho. \\
&\ izquierda. +\ izquierda (\ frac {R_ {2} ^ {2-k} -R_ {1} ^ {2-k}} {(2-k)\ izquierda (R_ {i} ^ {-2 k} -R_ {s} ^ {-2 k}\ derecha)} +\ frac {R_ {s} ^ {-2 k} R_ {2} ^ {2+k} -R_ {i} ^ {-2 k} R_ {1} ^ {2+k}} {(2+k)\ izquierda (R_ {i} ^ {-2 k} -R_ {s} ^ {-2 k}\ derecha)}\ derecha) r^ {-k} -\ frac {2 k} {4-k^ {2}} r^ {2}\ derecha]
\ final {alineado}\)

Ahora, la inductancia unida por cualquier bucle de cable único de paso completo ubicado con un lado en la posición acimutal\(\ \theta\) y el radio\(\ r\) es:

\(\ \lambda_{i}=2 l A_{z}(r, \theta)\)

Para extender esto a todo el devanado, integramos sobre el área del devanado el flujo incremental vinculado por cada elemento multiplicado por la densidad de giros. Esto es, para el enésimo armónico de flujo enlazado:

\(\ \lambda_{n}=\frac{4 l k_{w n} N_{a}}{R_{2}^{2}-R_{1}^{2}} \int_{R_{1}}^{R_{2}} A_{z}(r) r d r\)

Haciendo las sustituciones apropiadas para la corriente en la expresión para el potencial del vector, esto se convierte en:

\ (\\ begin {alineado}
\ lambda_ {n} =&\ frac {8} {\ pi}\ frac {\ mu_ {0} l k_ {w n} ^ {2} N_ {a} ^ {2} I_ {a}} {k\ left (R_ {2} ^ {2} -R_ {1} ^ {2}\ derecha) ^ {2}}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {R_ {s} ^ {2 k} R_ {2} ^ {2-k} -R_ {i} ^ {2 k} R_ {1} ^ {2-k}} {(2-k)\ izquierda (R_ {s} ^ {2 k} -R_ {i} ^ {2 k}\ derecha)} +\ frac {R_ {2} ^ {2+k} -R_ {1} ^ {2+k}} {(2+k)\ izquierda (R_ {2} ^ {2 k} - R_ {i} ^ {2 k}\ derecha)}\ derecha)\ frac {R_ {2} ^ {k+2} -R_ {1} ^ {k+2}} {k+2}\ derecha. \\
&\ izquierda. +\ izquierda (\ frac {R_ {2} ^ {2-k} -R_ {1} ^ {2-k}} {(2-k)\ izquierda (R_ {i} ^ {-2 k} -R_ {s} ^ {-2 k}\ derecha)} +\ frac {R_ {s} ^ {-2 k} R_ {2} ^ {2+k} -R_ {i} ^ {-2 k} R_ {1} ^ {2+k}} {(2+k)\ izquierda (R_ {i} ^ {-2 k} -R_ {s} ^ {-2 k}\ derecha)}\ derecha)\ frac {R_ {2} ^ {2-k} -R_ {1} ^ {2-k}} {2-k} -\ frac {2 k} {4-k^ {2}}\ frac {R_ {2} ^ {4} -R_ {1} ^ {4}} {4}\ derecha]
\ final {alineado}\ )