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6.2: Análisis ganglionar

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  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    El análisis ganglionar puede considerarse una técnica de solución universal ya que no hay configuraciones prácticas de circuito que no pueda manejar. No importa si hay múltiples fuentes o si hay configuraciones complejas que no se pueden reducir mediante técnicas de simplificación serie-paralelo, el análisis nodal puede manejarlas todas. Además, el análisis nodal tiende a “darnos lo que queremos”, es decir, un conjunto de voltajes de nodo para el circuito. Una vez que se obtienen los voltajes de los nodos, encontrar cualquier corriente de rama o potencias de componentes se convierte en un ejercicio casi trivial. El análisis nodal se basa en la aplicación de la ley actual de Kirchhoff para crear una serie de ecuaciones de nodos que pueden resolverse para voltajes de nodo. Estas ecuaciones se basan en la ley de Ohm y serán de la forma\(i = v/Z\), o más generalmente,\(i = (1/Z_X) \cdot v_A + (1/Z_Y) \cdot v_B + (1/Z_Z) \cdot v_C \dots\)

    Examinaremos dos variaciones sobre el tema; primero, una versión general que se puede usar tanto con fuentes de voltaje como de corriente, y una segunda versión algo más rápida que puede usarse con circuitos solo accionados por fuentes de corriente.

    Método General

    Considera el circuito que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Comenzamos etiquetando los nodos de conexión. Nos interesa identificar los cruces actuales, es decir, lugares donde las corrientes puedan combinarse o dividirse. Estos también se conocen como nodos sumadores y están rodeados en azul en la figura. No nos preocupamos por puntos donde solo dos componentes se conectan sin ninguna otra conexión, como puntos\(a\) y\(c\). Una vez identificados los nodos adecuados, se asignan las direcciones actuales de referencia. Las direcciones actuales de referencia se eligen arbitrariamente y por conveniencia. Pueden ser lo contrario de la realidad. Esto no es un problema. Si asignamos direcciones que se invierten, simplemente terminaremos con una versión actual de un doble negativo, y los voltajes de los nodos calculados funcionarán bien.

    Se elige un nodo como referencia. Este es el punto al que se miden todos los demás voltajes de los nodos. Normalmente, el nodo de referencia es tierra, aunque no tiene que serlo.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Un simple circuito fuente de doble voltaje con las corrientes y nodos definidos.

    Ahora escribimos una ecuación de suma actual para cada nodo de suma, excepto para el nodo de referencia. En este circuito solo hay un nodo donde se combinan las corrientes (que no sean tierra) y ese es nodo\(b\). Puntos\(a\) y\(c\) son lugares donde los componentes se conectan, pero no son nodos sumando, por lo que podemos ignorarlos por ahora. Usando KCL en el nodo\(b\) podemos decir:

    \[i_1 + i_2 = i_3 \nonumber \]

    Ahora describiremos estas corrientes en términos de los voltajes de fuente y nodo, y componentes asociados. Por ejemplo,\(i_3\) es el\(b\) voltaje del nodo dividido por\(−jX_C\) mientras\(i_1\) es el voltaje\(R\) dividido por\(R\). Este voltaje es\(v_a − v_b\).

    \[ \frac{v_a −v_b}{R} + \frac{v_c −v_b}{jX_L} = \frac{v_b}{-jX_C} \nonumber \]

    Señalando que\(v_a = E_1\) y\(v_c = E_2\), con un poco de álgebra esto se puede reducir a:

    \[\left( \frac{1}{R} \right) E_1 + \left( \frac{1}{jX_L} \right) E_2 = \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{jX_L} + \frac{1}{-jX_C} \right) v_b \nonumber \]

    Todas las cantidades son conocidas excepto por\(v_b\) y así se encuentra fácilmente con un poco más de álgebra. Si hubiera habido más nodos, habría habido más ecuaciones y más incógnitas, una por cada nodo. Como veremos, este formato de producto conductancia-voltaje resulta ser una manera conveniente de escribir estas ecuaciones. También, tenga en cuenta que los dos primeros términos de la izquierda se reducen a valores actuales fijos.

    Para las fuentes actuales, el proceso es similar pero un poco más directo. Considera el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\). Comenzamos como antes, identificando nodos y etiquetando corrientes. Luego escribimos las ecuaciones de suma actuales en cada nodo (excepto para tierra). Consideramos que las corrientes que entran en un nodo son positivas y que salen como negativas. Aquí hay dos nodos de interés, y así, se generarán dos ecuaciones cada una con dos incógnitas.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Un circuito de fuente de corriente dual con las corrientes y nodos definidos.

    Nodo\(a\):\(I_1 = i_3 + i_4\)

    Nodo\(b\):\(i_3 + I_2 = i_5\), y reordenando en términos de la fuente fija,

    Nodo\(b\):\(I_2 = −i_3 + i_5\)

    Las corrientes son luego descritas por sus equivalentes de ley de Ohm:

    Nodo\(a\):\(I_1 = \frac{v_a −v_b}{R_2} + \frac{v_a}{R_1}\)

    Nodo\(b\):\(I_2 = − \frac{v_a −v_b}{R_2} + \frac{v_b}{jX_L}\)

    Expandiendo y recogiendo términos rendimientos:

    Nodo\(a\):\(I_1 = \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) v_a − \left( \frac{1}{R_2} \right) v_b \)

    Nodo\(b\):\(I_2 = − \left( \frac{1}{R_2} \right) v_a + \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{jX_L} \right) v_b \)

    A medida que se conocen los valores de impedancia y las corrientes, se pueden usar técnicas de solución de ecuaciones simultáneas para resolver las tensiones de los nodos. Una vez más, hay tantas ecuaciones como voltajes de nodo.

    Un punto práctico antes de continuar: Es muy importante que los coeficientes para los diversos términos de voltaje de nodo se “alineen” cuando se escribe el sistema final de ecuaciones. Es decir, debería haber una columna para los\(v_a\) términos, una columna para los\(v_b\) términos, y así sucesivamente. No deben escribirse en orden aleatorio, sino siguiendo el estilo que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Este formato hará que sea mucho más fácil ingresar los coeficientes en una calculadora o resolverlos manualmente. Además, el conjunto de coeficientes debe mostrar simetría diagonal. Es decir, si dibujamos una diagonal mayor de la parte superior izquierda a la inferior derecha (roja), cualesquiera que sean los coeficientes que estén arriba a la derecha de la diagonal deben reflejarse por debajo de la izquierda de la diagonal (azul, púrpura, verde). Si el conjunto de valores no muestra simetría diagonal, se ha cometido un error. Debe regresar y volver a verificar las sumataciones de nodos originales. Tan simple como eso. Incluso el simple 2x2 de la Figura\(\PageIndex{2}\) muestra esta simetría (es decir, el coeficiente de\(−1/R_2\) for\(v_b\) en la primera ecuación y\(v_a\) en la segunda).

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Simetría diagonal.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Determine el voltaje a través del inductor en el circuito de la Figura\(\PageIndex{4}\). La fuente uno es\(5 \angle 0^{\circ}\) voltios RMS y fuente dos\(2 \angle 90^{\circ}\) voltios RMS.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    Aparte de la tierra, solo hay un nodo sumador de corriente en este circuito, y esa es la unión en la parte superior del inductor. Nos referiremos a este cruce como nodo\(a\). Siguiendo el esquema de la Figura\(\PageIndex{1}\), definimos tres corrientes;\(i_1\) entrando por la izquierda,\(i_2\) entrando por la derecha, y\(i_3\) saliendo hacia abajo a través del inductor.

    \[i_1 + i_2 = i_3 \nonumber \]

    A continuación, estas corrientes se describen en términos de los voltajes y componentes. Numeraremos las resistencias de izquierda a derecha.

    \[\frac{E_1 − v_a}{R_1 − jX_C} + \frac{E_2 − v_a}{R_2} = \frac{v_a}{jX_L} \nonumber \]

    Esto se puede reorganizar como:

    \[\left( \frac{1}{R_1 − jX_C} \right) E_1 + \left( \frac{1}{R_2} \right) E_2 = \left( \frac{1}{R_1 − jX_C} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{jX_L} \right) v_a \nonumber \]

    Rellena con valores:

    \[\left( \frac{1}{500 − j 300\Omega} \right) 5 \angle 0^{\circ} V + \left( \frac{1}{400 \Omega} \right) 2 \angle 90^{\circ} V = \left( \frac{1}{500− j 300\Omega} + \frac{1}{400 \Omega} + \frac{1}{j 200\Omega} \right) v_a \nonumber \]

    Esto simplifica a:

    \[8.575E-3 \angle 31^{\circ} A +5E-3 \angle 90^{\circ} A = (5.72E-3 \angle −46^{\circ} S) v_a \nonumber \]

    Resolviendo para lo desconocido, encontramos que\(v_a = 2.087 \angle 98^{\circ}\) voltios RMS.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    En el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\), determinar\(v_a\) y\(v_b\). \(E\)es pico de\(20 \angle 0^{\circ}\) voltios mientras que\(I\) es pico de\(0.1 \angle 0^{\circ}\) amperios. La frecuencia del sistema es de 2 kHz.

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    Figura\(\PageIndex{5}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    Aquí hay dos nodos de interés, aparte de tierra. Esto significa que generaremos dos ecuaciones con dos incógnitas (\(v_a\)y\(v_b\)). Usando las fórmulas de reactancia estándar, se encuentra que las reactancias inductiva y capacitiva son\(j125.7 \Omega \) y\(−j159.2 \Omega \), respectivamente. Si asumimos que la dirección de referencia para la corriente es de nodo\(a\) a nodo\(b\), y que el flujo de corriente a través de las dos resistencias centrales es hacia abajo, las ecuaciones son:

    Nodo\(a\):\(\frac{20 \angle 0^{\circ} V −v_a}{100+j 125.7\Omega} = \frac{v_a}{250\Omega} + \frac{v_a −v_b}{− j 159.2 \Omega}\)

    Nodo\(b\):\(\frac{v_a −v_b}{− j159.2 \Omega} +0.1 \angle 0^{\circ} A = \frac{v_b}{400\Omega}\)

    Expandiendo y recogiendo términos rendimientos:

    Nodo\(a\):\(0.1245 \angle −51.5^{\circ} A = \left( \frac{1}{250\Omega} + \frac{1}{100+j 125.7\Omega} + \frac{1}{− j 159.2 \Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{− j 159.2\Omega} \right) v_b \)

    Nodo\(b\):\(0.1 \angle 0^{\circ} A = − \left( \frac{1}{− j 159.2\Omega} \right) v_a + \left( \frac{1}{400\Omega} + \frac{1}{− j 159.2\Omega} \right) v_b\)

    Estos son simplificados, listos para la manipulación (nota simetría diagonal).

    \[0.1245 \angle −51.5^{\circ} A = ( 8E-3 \angle 10.1^{\circ} S) v_a − (6.281E-3 \angle 90^{\circ} S) v_b \nonumber \]

    \[0.1 \angle 0^{\circ} A =− (6.281E-3 \angle 90^{\circ} S) v_a +(6.76E-3 \angle 68.3^{\circ} S)v_b \nonumber \]

    Después de resolver el sistema de ecuaciones, vemos que\(v_a = 16.24 \angle 0.09^{\circ}\) voltios y\(v_b = 20.99 \angle −22.3^{\circ}\) voltios.

    Simulación por Computadora

    Para verificar los resultados del ejemplo anterior, el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\).

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    Figura\(\PageIndex{6}\): El circuito de Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    Se realiza un análisis transitorio en el circuito. Se trazan los voltajes de nodo 1, 3 y 4, correspondientes a la fuente de voltaje y a los nodos\(a\) y\(b\), respectivamente, en la Figura\(\PageIndex{7}\).

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    Figura\(\PageIndex{7}\): Resultados de simulación para el circuito de la Figura\(\PageIndex{6}\).

    Las amplitudes son igual de calculadas. El voltaje del nodo\(a\) parece estar casi en fase con la fuente de voltaje, como se esperaba. El voltaje del nodo\(b\) retarda la fuente entre un cuarto y un tercio de una división, o unos 30 microsegundos. Para una fuente de 2 kHz, esto se traduce en alrededor de −22 grados, verificando el resultado calculado.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Para el circuito de Figura\(\PageIndex{8}\), encontrar\(v_a\) y\(v_b\). La frecuencia del sistema es de 1 kHz. \(I_1 = 2.5 \angle 0^{\circ}\)A y\(I_2 = 1 \angle 0^{\circ}\) A.

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    Figura\(\PageIndex{8}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    Generaremos dos ecuaciones con dos incógnitas,\(v_a\) y\(v_b\). El rendimiento de las fórmulas de reactancia\(j6.28 \Omega \) y\(−j15.9 \Omega \) para el inductor y el condensador. Si asumimos que la dirección de referencia para la corriente es de nodo\(a\) a nodo\(b\), y que el flujo de corriente a través del condensador y el inductor es de nodos\(a\) y\(b\) hacia abajo, las ecuaciones son:

    Nodo\(a\):\(2.5 \angle 0^{\circ} A = \frac{v_a}{− j 15.9\Omega} + \frac{v_a −v_b}{10 \Omega} \)

    Nodo\(b\):\(\frac{v_a −v_b}{10\Omega} = 1 \angle 0^{\circ} A + \frac{v_b}{4+j 6.28\Omega} \)

    Expandir y recopilar rendimientos de términos (nota simetría diagonal):

    \[2.5 \angle 0^{\circ} A = \left( \frac{1}{10\Omega} +\frac{1}{− j 15.9\Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{10\Omega} \right) v_b \nonumber \]

    \[−1 \angle 0^{\circ} A = − \left( \frac{1}{10\Omega} \right) v_a + \left( \frac{1}{10\Omega} + \frac{1}{4 +j 6.28\Omega} \right) v_b \nonumber \]

    \[2.5 \angle 0^{\circ} A = (0.118 \angle 32.2^{\circ} S) v_a − (0.1 \angle 0^{\circ} S) v_b \nonumber \]

    \[−1 \angle 0^{\circ} A = − (0.1 \angle 0^{\circ} S) v_a +(0.206 \angle −33.3^{\circ} S) v_b \nonumber \]

    Los resultados son:\(v_a = 30.39 \angle -38.7^{\circ}\) voltios y\(v_b = 11.37 \angle −20.8^{\circ}\) voltios.

    Simulación por Computadora

    Para verificar los resultados del ejemplo anterior, el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\).

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    Figura\(\PageIndex{9}\): El circuito de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) capturado en un simulador.

    Se realiza un análisis transitorio en el circuito. Los voltajes de nodo 1 y 2 (es decir, nodos\(a\) y\(b\), respectivamente) se representan en la Figura\(\PageIndex{10}\).

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Resultados de simulación para el circuito de la Figura\(\PageIndex{9}\).

    Los resultados de la simulación concuerdan muy bien con los valores calculados en términos de amplitud y fase.

    Método de Inspección

    El sistema de ecuaciones se puede obtener directamente a través de la inspección si el circuito contiene fuentes de corriente y ninguna fuente de voltaje. Echemos otro vistazo a las ecuaciones desarrolladas en el ejemplo anterior. Para mayor comodidad, el circuito se reproduce en la Figura\(\PageIndex{11}\) con valores de reactancia. \(I_1 = 2.5 \angle 0^{\circ}\)A y\(I_2 = 1 \angle 0^{\circ}\) A.

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    Figura\(\PageIndex{11}\): Circuito de Ejemplo\(\PageIndex{3}\) con reactancias.

    \[2.5 \angle 0^{\circ} A = \left( \frac{1}{10\Omega} + \frac{1}{− j 15.9\Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{10\Omega} \right) v_b \nonumber \]

    \[−1 \angle 0^{\circ} A = − \left( \frac{1}{10\Omega} \right) v_a + \left( \frac{1}{10\Omega} + \frac{1}{4 +j 6.28\Omega} \right) v_b \nonumber \]

    La ecuación superior se construyó alrededor de una suma de corriente en el nodo,\(a\) mientras que la parte inferior se construyó alrededor de una suma en el nodo\(b\). Lo primero que podría ser evidente es que a la izquierda de los signos iguales están las fuentes de corriente conectadas a estos nodos. Positivo significa que la corriente está entrando mientras que negativa denota una corriente de salida. La segunda cosa es que, para el nodo de interés (nodo\(a\) para la ecuación superior, nodo\(b\) para la parte inferior), los coeficientes representan los ítems conectados a ese nodo en particular. Por ejemplo, en la ecuación superior, los componentes conectados al nodo\(a\) son la\(\Omega \) resistencia 10 y la\(− j15.9 \Omega \) reactancia. Asimismo, en la ecuación inferior, los componentes conectados al nodo\(b\) son la\(\Omega \) resistencia 10 y la\(4 + j6.28 \Omega \) impedancia. La tercera cosa es que los coeficientes restantes consisten en los componentes que están en común entre el nodo de interés y el otro nodo (es decir, 10\(\Omega \) se conecta\(a\) a\(b\) para la primera ecuación, y también se conecta\(b\) a\(a\) para la segunda ecuación). Estas otras conexiones siempre aparecen como negativas. La razón de esto debería ser evidente si se examina la estructura de las ecuaciones originales de Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    Si no hay elemento puente entre un nodo y el nodo de interés, entonces ese coeficiente será cero. Si existen fuentes de voltaje en el circuito, las conversiones de fuentes se pueden usar para obtener un circuito equivalente que use solo fuentes de corriente.

    La gran ventaja del método de inspección es que corta una sección del proceso que consume mucho tiempo y propensa a errores, es decir, convertir las sumas originales de KCL en un conjunto de ecuaciones simplificadas con coeficientes para cada desconocido. El método de inspección genera las ecuaciones directamente. Para acelerar aún más el proceso, puede ser útil convertir cada valor de impedancia en un valor de admitancia correspondiente antes de crear las ecuaciones. De esta manera, los recíprocos se computan una vez por cada ítem en lugar de múltiples veces en múltiples ecuaciones. Por último, recuerde que el conjunto resultante de ecuaciones debe exhibir simetría diagonal, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\).

    El método de inspección se resume de la siguiente manera:

    1. Verifique que el circuito use solo fuentes de corriente y no fuentes de voltaje. Si existen fuentes de voltaje, deben ser convertidas a fuentes de corriente antes de continuar.

    2. Encuentra todos los nodos sumadores actuales y númbralos (o letra). Decidir también sobre el nodo de referencia (generalmente suelo).

    3. Para generar una ecuación, localice el primer nodo. Este es el nodo de interés y los siguientes pasos se asociarán con él.

    4. Suma las fuentes de corriente que alimentan el nodo de interés. Entrar se considera positivo mientras que salir se considera negativo. La suma se coloca en un lado del signo igual.

    5. A continuación, encuentra todas las impedancias conectadas al nodo de interés y escríbelas como una suma de admitancias en el otro lado del signo igual, multiplicándose el grupo por la tensión de este nodo (e.g.,\(v_1\)). Eso hace que un término.

    6. Ahora para los otros términos. Encuentra todas las admisiones que están conectadas entre el nodo de interés y el siguiente nodo (por ejemplo, el nodo 2). Sumar estos juntos y multiplicar el grupo por el voltaje de este otro nodo (e.g.,\(v_2\)). Restar ese producto de la ecuación construida hasta ahora. Repita este proceso hasta que todos los demás nodos hayan sido examinados (excepto tierra). Si no hay impedancias comunes entre el nodo de interés y el otro nodo, use cero para el coeficiente de voltaje de ese nodo. Una vez que se consideran todos los demás nodos, se termina esta ecuación.

    7. Ir al siguiente nodo y tratar esto como el nuevo nodo de interés.

    8. Repita los pasos del 4 al 7 hasta que todos los nodos hayan sido tratados como el nodo de interés. Cada iteración crea una nueva ecuación. Habrá tantas ecuaciones como nodos haya, menos el nodo de referencia. Verifique la simetría diagonal y resuelva.

    El método de inspección se observa mejor en acción, y se utiliza en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Escribir el sistema de ecuaciones para el circuito de la Figura\(\PageIndex{12}\). \(I_1 = 10 \angle 0^{\circ}\)A y\(I_2 = 4 \angle 90^{\circ}\) A.

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    Figura\(\PageIndex{12}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{4}\).

    Comenzamos en el nodo\(a\), el primer nodo de interés. Encuentra todas las fuentes actuales conectadas a este nodo. Todo lo que tenemos es\(I_1\). Está saliendo, y por lo tanto negativo.

    \[−10 \angle 0^{\circ} A = \dots \nonumber \]

    Ahora encuentra todos los ítems conectados a este nodo y crea una suma de admisiones.

    \[−10 \angle 0^{\circ} A = \left( \frac{1}{4\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{8\Omega} \right) v_a \dots \nonumber \]

    Incluir los términos que son comunes entre nodo\(a\) y nodo\(b\). Esto es negativo.

    \[−10 \angle 0^{\circ} A = \left( \frac{1}{4\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{8\Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{2\Omega} \right) v_b \dots \nonumber \]

    Y por último, incluir los términos comunes entre nodo\(a\) y nodo\(c\). Esto también es negativo.

    \[−10 \angle 0^{\circ} A = \left( \frac{1}{4\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{8\Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{2\Omega} \right) v_b − \left( \frac{1}{8\Omega} \right) v_c \nonumber \]

    Se hace la primera ecuación. Ahora hacemos nodo\(b\) el nodo de interés y repetimos el proceso.

    Encuentra todas las fuentes actuales conectadas a este nodo. No hay ninguno.

    \[0 = \dots \nonumber \]

    Encuentra todos los ítems conectados a este nodo y crea una suma de admisiones.

    \[0 = \dots + \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{− j 5\Omega} \right) v_b \dots \nonumber \]

    Incluir los términos que son comunes entre nodo\(a\) y nodo\(b\). Esto es negativo y va a liderar (a antes b) para mantener todo bien alineado.

    \[0 =− \left( \frac{1}{2\Omega} \right) v_a + \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{− j 5\Omega} \right) v_b \dots \nonumber \]

    Ahora incluye los términos comunes entre nodo\(b\) y nodo\(c\). Esto también es negativo y se inserta en la cola (c después de b).

    \[0 =− \left( \frac{1}{2\Omega} \right) v_a + \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{2\Omega } + \frac{1}{− j 5\Omega} \right) v_b − \left( \frac{1}{1\Omega} \right) v_c \nonumber \]

    La segunda ecuación está terminada. Ahora hacemos nodo\(c\) el nodo de interés y repetimos el proceso por última vez. Encuentra todas las fuentes actuales conectadas al nodo\(c\). Tenemos ambos\(I_1\) y\(I_2\) entrando.

    \[10 \angle 0^{\circ} A+4 \angle 90^{\circ} A = \dots \nonumber \]

    Esta corriente es equivalente a\(10.77 \angle 21.8^{\circ}\). Ahora encuentra todos los ítems conectados a este nodo y crea una suma de admisiones.

    \[10.77 \angle 21.8^{\circ} A = \dots \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{8\Omega} + \frac{1}{j 10\Omega} \right) v_c \nonumber \]

    Incluir los términos que son comunes entre nodo\(c\) y nodo\(a\). Esto es negativo y va a liderar (a antes c).

    \[10.77 \angle 21.8^{\circ} A =− \left( \frac{1}{8\Omega} \right) v_a \dots + \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{8\Omega} + \frac{1}{j 10 \Omega} \right) v_c \nonumber \]

    Ahora incluye los términos comunes entre nodo\(b\) y nodo\(c\). Esto también es negativo y se inserta en el medio (b antes de c).

    \[10.77 \angle 21.8^{\circ} A =−\left( \frac{1}{8\Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{1\Omega} \right) v_b + \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{8\Omega} + \frac{1}{j 10 \Omega} \right) v_c \nonumber \]

    La tercera y última ecuación está terminada. El conjunto completo de ecuaciones es:

    \[−10 \angle 0^{\circ} A = \left( \frac{1}{4\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{8\Omega} \right) v_a − \left( \frac{1}{2\Omega} \right) v_b − \left( \frac{1}{8\Omega} \right) v_c \nonumber \]

    \[0 =− \left( \frac{1}{2\Omega} \right) v_a + \left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{2\Omega} + \frac{1}{− j 5\Omega} \right) v_b −\left( \frac{1}{1\Omega} \right) v_c \nonumber \]

    \[10.77 \angle 21.8^{\circ} A =− \left( \frac{1}{8\Omega} \right) v_a −\left( \frac{1}{1\Omega} \right) v_b +\left( \frac{1}{1\Omega} + \frac{1}{8\Omega} + \frac{1}{j 10\Omega} \right) v_c \nonumber \]

    Obsérvese que el conjunto presenta simetría diagonal y que todos los grupos de coeficientes son negativos excepto aquellos a lo largo de la diagonal mayor. En consecuencia, los grupos de coeficientes ahora pueden simplificarse para obtener coeficientes únicos para las incógnitas, y las ecuaciones están listas para la solución. Los resultados son:\(v_a = 10.9 \angle 72.8^{\circ}\) voltios,\(v_b = 23.6 \angle 34.7^{\circ}\) voltios y\(v_c = 31.2 \angle 37.3^{\circ}\) voltios. Estos valores pueden ser verificados cruzados utilizándolos para encontrar las corrientes a través de cada componente, y luego verificar KCL para cada nodo.

    Si bien este ejemplo puede parecer un tanto largo ventoso, con un poco de práctica el proceso se convertirá en una segunda naturaleza. En ese punto, el conjunto de ecuaciones se puede crear rápidamente y con poca posibilidad de error, incluso para circuitos grandes con muchos nodos.

    Uso de conversiones de origen

    Como se mencionó anteriormente, dados circuitos con fuentes de voltaje, puede ser más fácil convertirlos en fuentes de corriente y luego aplicar la técnica de inspección en lugar de usar el enfoque general esbozado inicialmente. Hay una trampa a tener en cuenta al usar conversiones de fuente: el voltaje a través o la corriente a través de un componente convertido probablemente no será el mismo que el voltaje o la corriente en el circuito original. Esto se debe a que la ubicación del componente convertido habrá cambiado. Por ejemplo, el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) (Ejemplo\(\PageIndex{2}\)) podría resolverse utilizando el método de inspección de análisis nodal mediante la conversión de la fuente de voltaje y su impedancia asociada de la resistencia 100\ Omega en serie con el inductor de 10 mH en una fuente de corriente. Aunque la impedancia asociada todavía se conecta a la fuente convertida, el otro extremo ya no se conecta al nodo\(a\). Más bien, se conectaría a tierra. Por lo tanto, no es probable que la caída de voltaje a través de esta impedancia en el circuito convertido sea igual a la caída de voltaje que se ve a través de ella en el circuito original (la única forma en que serían iguales es si la fuente de voltaje\(E\) resultó ser 0).

    Supernodo

    De vez en cuando puede ver un circuito que utiliza una fuente de voltaje ideal como la que se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\). Es decir, esta fuente de voltaje no tiene una impedancia en serie asociada a ella. Sin esa impedancia, se vuelve imposible crear una expresión para la corriente que pasa por la fuente usando el método general, e imposible convertir la fuente de voltaje en una fuente de corriente para usar el método de inspección. Hay algunas formas de salir de este dilema. La primera forma es reconocer que todas las fuentes realistas tienen alguna impedancia interna, por lo que simplemente agregamos una resistencia muy pequeña en serie con la fuente para que sea posible una conversión de fuente. Por supuesto, no cualquier resistor servirá. Para mantener la precisión, la resistencia recién agregada tiene que ser mucho más pequeña que cualquier resistencia o reactancia circundante. Una reducción de dos órdenes de magnitud generalmente produce una variación menor que la producida por las tolerancias de componentes en todos los circuitos excepto de alta precisión y generalmente hará el truco. Los valores aún más pequeños aumentarán aún más la precisión. Otra salida es usar un supernodo.

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    Figura\(\PageIndex{13}\): Fuente de voltaje puente sin impedancia interna.

    Un supernodo es, en efecto, la combinación de dos nodos. Se basa en una simple observación. Si examinamos el circuito de la Figura\(\PageIndex{13}\), la trayectoria de la fuente de voltaje produce corrientes idénticas que fluyen dentro y fuera de los nodos\(a\) y\(b\). Como consecuencia, si tratamos a los dos nodos como un nodo grande, entonces cuando escribimos una suma KCL, estos dos términos se cancelarán. Para ver exactamente cómo funciona esto, refiérase a la Figura\(\PageIndex{14}\).

    En esta versión hemos sustituido la fuente de voltaje con su impedancia interna ideal; un corto. También hemos etiquetado los dos nodos de interés,\(a\) y\(b\), y etiquetado las corrientes, dibujados con direcciones de referencia convenientes. La elección específica de dirección no va a importar, solo usa cualquier esquema que parezca apropiado.

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    Figura\(\PageIndex{14}\): Circuito modificado para análisis de supernodos.

    Debido a la fuente de voltaje cortocircuitado, los nodos\(a\) y ahora\(b\) son el mismo nodo. Echa un vistazo a las corrientes que entran y salen de este nodo combinado “super”. En el lado izquierdo (anteriormente nodo\(a\)) vemos una corriente constante\(I_x\) entrando mientras\(i_1\),\(i_2\) y\(i_3\) estamos saliendo. En el lado derecho (antes nodo\(b\)) vemos la\(I_y\) entrada junto con\(i_1\) y\(i_2\), y saliendo vemos\(i_4\). En este punto crearemos una expresión donde todas las corrientes que ingresan al súper nodo están en el lado izquierdo del signo igual y todas las corrientes de salida están a la derecha:

    \[\sum i_{in} = \sum i_{out} \nonumber \]

    \[I_x+ I_y+i_1+i_2 = i_1+i_2+i_3+i_4 \nonumber \]

    Esto se puede simplificar para:

    \[I_x+ I_y = i_3 +i_4 \nonumber \]

    Escribiendo esto en términos de la ley de Ohm tenemos:

    \[I_x+I_y = \frac{1}{− j X_C} v_a + \frac{1}{j X_L} v_b \nonumber \]

    También lo sabemos\(v_a − v_b = E\) por el circuito original. Esto lo sabemos porque la polaridad de referencia de la fuente es + hacia el\(a\) nodo y − hacia el\(b\) nodo. Por lo tanto debe ser\(v_a − v_b\) y no\(v_b − v_a\). Suponiendo que todas las fuentes y componentes son conocidos, eso hace dos ecuaciones con dos incógnitas, solucionables mediante técnicas de ecuaciones simultáneas. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Encuentra\(v_a\) y\(v_b\) para el circuito de Figura\(\PageIndex{15}\). \(E = 16 \angle 0^{\circ}\)voltios,\(I_x = 0.1 \angle 0^{\circ}\) amperios y\(I_y = 0.25 \angle 90^{\circ}\) amperios.

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    Figura\(\PageIndex{15}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{5}\).

    El circuito se redibuja en la Figura\(\PageIndex{16}\) con nodos y corrientes etiquetadas. Cortamos la fuente de 16 voltios y escribimos una suma de corriente en el\(a:b\) supernodo:

    \[\sum i_{in} = \sum i_{out} \nonumber \]

    \[0.1 \angle 0^{\circ} A+0.25 \angle 90^{\circ} A +i_1 + i_2 = i_1+i_2+i_3+i_4 \nonumber \]

    Esto se puede simplificar para:

    \[0.2693 \angle 68.2^{\circ} A = i_3 +i_4 \nonumber \]

    Escribiendo esto en términos de la ley de Ohm tenemos:

    \[0.2693 \angle 68.2^{\circ} A = \frac{1}{− j 100 \Omega} v_a + \frac{1}{j 500\Omega} v_b \nonumber \]

    \[0.2693 \angle 68.2^{\circ} A = j 10 mS v_a − j 2 mS v_b \nonumber \]

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    Figura\(\PageIndex{16}\): Circuito modificado para análisis de supernodos.

    También sabemos que los\(v_a − v_b = 16 \angle 0^{\circ}\) voltios. Por lo tanto\(v_b = v_a − 16 \angle 0^{\circ}\) voltios. Sustituyendo esto en la ecuación anterior produce:

    \[0.2693 \angle 68.2^{\circ} A = j 10 mSv_a − j2 mS(v_a −16 \angle 0^{\circ} V) \nonumber \]

    \[0.2693 \angle 68.2^{\circ} A = j 10 mS v_a − j2 mSv_a +32E-3 \angle 90^{\circ} A \nonumber \]

    \[0.2394 \angle 67.9^{\circ} A = j 8 mSv_a \nonumber \]

    \[v_a = 29.92 \angle −22.1^{\circ} V \nonumber \]

    Sabemos que\(v_b\) es\(16 \angle 0^{\circ}\) voltios por debajo\(v_a\), y así después de restar, encontramos\(v_b = 16.24 \angle −43.8^{\circ}\) voltios.

    Para verificar, realizaremos una suma de KCL en cada nodo. Para nodo\(a\), suponiendo\(i_1\) salidas como dibujadas:

    \[i_1 = 0.1 \angle 0^{\circ} A − \frac{v_a}{− j 100\Omega} − \frac{v_a−v_b}{200 \Omega} \nonumber \]

    \[i_1 = 0.1 \angle 0^{\circ} A− \frac{29.92 \angle −22.1^{\circ} V}{− j 100 \Omega} − \frac{29.92 \angle −22.1^{\circ} V−16.24 \angle −43.8^{\circ} V}{200 \Omega} \nonumber \]

    \[i_1 = 0.292 \angle −108^{\circ} A \nonumber \]

    Haciendo lo mismo para el nodo\(b\), y asumiendo\(i_1\) entra como dibujado:

    \[i_1 =−0.25 \angle 90^{\circ} A + \frac{v_b}{j 500 \Omega} − \frac{v_a−v_b}{20 \Omega} \nonumber \]

    \[i_1 =−0.25 \angle 90^{\circ} A + \frac{16.24 \angle −43.8^{\circ} V}{j 500 \Omega} − \frac{29.92 \angle −22.1^{\circ} V −16.24 \angle −43.8^{\circ} V}{200\Omega} \nonumber \]

    \[ i_1 = 0.292 \angle −110^{\circ} A \nonumber \]

    Aparte de la pequeña desviación debida al redondeo acumulado, estas corrientes coinciden. Eso significa que se verifica que la corriente a través de la fuente de voltaje sea la misma en ambos terminales, como debe ser.

    Una alternativa a la técnica básica de supernodos es reconocer que los dos nodos a cada lado de la fuente de voltaje están efectivamente bloqueados juntos por la tensión de la fuente. Es decir, si se encuentra una de las tensiones de nodo, entonces la otra se puede determinar sumando o restando la tensión de fuente a o de la tensión de nodo conocida, dependiendo de la polaridad de referencia. Esta idea se explota simplemente describiendo la tensión de un nodo en términos del otro al principio. Esto reducirá el número total de incógnitas en uno y reducirá el sistema de ecuaciones en uno. La técnica se ilustra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Encuentre voltajes de nodo\(v_a\),\(v_b\) y\(v_c\) para el circuito de la Figura\(\PageIndex{17}\). Las fuentes son:\(E = 20 \angle 0^{\circ}\) voltios y\(I = 2 \angle 45^{\circ}\) amperios.

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    Figura\(\PageIndex{17}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

    Una vez más tenemos una situación de una fuente de voltaje que carece de impedancia en serie lo que hace imposible la conversión de una fuente. Sin tener que acortarlo y así tratar nodos\(a\) y\(c\) como supernodo explícito, podemos tomar una ruta alternativa. Comenzamos por señalar que las corrientes que entran y salen de la fuente de voltaje deben ser idénticas.

    El circuito se redibuja en la Figura\(\PageIndex{18}\) con los nodos y direcciones de corriente convenientes etiquetados. El circuito también utiliza conductancias y susceptancias equivalentes en lugar de las resistencias y reactancias originales para acelerar el proceso de simplificación de las ecuaciones. A diferencia de la técnica básica de supernodos, esta vez la fuente de voltaje se deja adentro.

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    Figura\(\PageIndex{18}\): Circuito de Ejemplo\(\PageIndex{6}\) con corrientes etiquetadas y usando conductancias.

    La observación clave es que\(v_c = v_a − 20 \angle 0^{\circ}\) V. En otras palabras,\(v_c\) está bloqueado a\(v_a\) y si encontramos uno de ellos, podemos determinar el otro. Por lo tanto, en lugar de escribir tres ecuaciones usando tres incógnitas, en cambio nos referiremos al nodo\(c\) en referencia a nodo\(a\). En otras palabras, donde sea que\(v_c\) necesitemos en cambio escribiremos\(v_a − 20 \angle 0^{\circ}\) V. Así, este circuito de tres nodos sólo necesitará dos ecuaciones.

    Comenzamos en el nodo\(a\) y aplicamos KCL como de costumbre.

    \[\sum i_{in} = \sum i_{out} \nonumber \]

    \[i_1 + i_3 = i_2 \nonumber \]

    Esto se amplía usando la ley de Ohm y resolvemos para\(i_1\):

    \[i_1 = i_2 −i_3 \nonumber \]

    \[i_1 = j 0.5Sv_a −0.25S(v_b −v_a ) \nonumber \]

    \[i_1 = (0.25 +j 0.5)Sv_a −0.25Sv_b \nonumber \]

    En al nodo\(b\):

    \[I = i_3+i_4 \nonumber \]

    \[2 \angle 45^{\circ} A = 0.25S(v_b −v_a ) +0.1S(v_b −v_c ) \nonumber \]

    \[2 \angle 45^{\circ} A = 0.25S(v_b −v_a ) +0.1S(v_b −(v_a −20 \angle 0^{\circ} V)) \nonumber \]

    \[2 \angle 45^{\circ} A = 0.25S(v_b −v_a ) +0.1S(v_b −v_a +20 \angle 0^{\circ} V) \nonumber \]

    \[2 \angle 45^{\circ} A = 0.25S(v_b −v_a ) +0.1S(v_b −v_a ) +2 \angle 0^{\circ} A \nonumber \]

    \[1.531 \angle 112.5^{\circ} A =−0.35Sv_a +0.35Sv_b \nonumber \]

    Y finalmente nodo\(c\):

    \[i_4 = i_1 +i_5 \nonumber \]

    \[i_1 = i_4 −i_5 \nonumber \]

    \[i_1 = 0.1S(v_b −v_c )−(− j 0.2S)v_c \nonumber \]

    \[i_1 = 0.1S(v_b −(v_a−20 \angle 0^{\circ} V)) +j 0.2S(v_a −20 \angle 0^{\circ} V) \nonumber \]

    \[i_1 = 0.1S(v_b −v_a +20 \angle 0^{\circ} V) +j0.2S(v_a −20 \angle 0^{\circ} V) \nonumber \]

    \[i_1 = 0.1S(v_b −v_a ) +j 0.2Sv_a +(2 − j 4)A \nonumber \]

    \[i_1 = (−0.1 +j 0.2)Sv_a +0.1Sv_b +4.472 \angle −63.4^{\circ} A \nonumber \]

    Las ecuaciones para los nodos\(a\) y\(c\) ambos iguales\(i_1\), así se igualan entre sí.

    \[(0.25+j 0.5)Sv_a −0.25Sv_b = (−0.1 +j 0.2)Sv_a +0.1Sv_b +4.472 \angle −63.4^{\circ} A 4.472 \angle −63.4^{\circ} A = (0.35 +j 0.3)Sv_a − 0.35Sv_b \nonumber \]

    Las ecuaciones finales son:

    \[4.472 \angle −63.4^{\circ} A = (0.35 +j 0.3)Sv_a − 0.35Sv_b \nonumber \]

    \[1.531 \angle 112.5^{\circ} A =−0.35Sv_a +0.35Sv_b \nonumber \]

    La solución es\(v_a = 9.823 \angle -151.3^{\circ}\) voltios y\(v_b = 10.31 \angle -176.2^{\circ}\) voltios. Como\(v_c\) es\(20 \angle 0^{\circ}\) voltios menos que\(v_a\), luego\(v_c = 29 \angle -170.6^{\circ}\) voltios. Las sumaciones de KCL en cada uno de los tres nodos verificarán estos valores.


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