3.7: Poder de las olas en un medio con pérdida

En esta sección, consideramos la potencia asociada a las ondas que se propagan en materiales potencialmente con pérdidas; es decir, tener una conductividad\(\sigma\) significativamente mayor a cero. Este tema ha sido considerado previamente en la sección “Poder de las olas en un Medio Sin Pérdidas” para el caso en pérdida no es significativo. ¹ Una revisión de esa sección puede ser útil antes de leer esta sección.

Recordemos que el vector Poynting

\[{\bf S} \triangleq {\bf E} \times {\bf H} \nonumber \]

indica la densidad de potencia (es decir, W/m\(^2\)) de una onda y la dirección del flujo de potencia. Esta es una potencia “instantánea”, aplicable a las olas independientemente de la forma en que varíen con el tiempo. A menudo nos interesan específicamente las ondas que varían sinusoidalmente, y que posteriormente pueden ser representadas como fasores. En este caso, el vector de Poynting promedio en el tiempo es

\[{\bf S}_{ave} \triangleq \frac{1}{2} \mbox{Re} \left\{ \widetilde{\bf E} \times \widetilde{\bf H}^* \right\} \label{m0133_ePVP} \]

Además, ya hemos utilizado esta expresión para encontrar que la densidad de potencia promedio en el tiempo para una onda plana uniforme que varía sinusoidalmente en un medio sin pérdidas es simplemente

\[S_{ave} = \frac{\left|E_0\right|^2}{2\eta} ~~~ \mbox{(lossless case)} \label{m0133_ePaveL} \]

donde\(\left|E_0\right|\) es la magnitud pico (a diferencia de RMS) del fasor de intensidad de campo eléctrico, y\(\eta\) es la impedancia de onda.

Ahora usemos la Ecuación\ ref {M0133_EPVP} para determinar la expresión correspondiente a la Ecuación\ ref {M0133_ePavel} en el caso de medios posiblemente con pérdida. Podemos expresar las intensidades de campo eléctrico y magnético de una onda plana uniforme como

\[\widetilde{\bf E} = \hat{\bf x}E_0 e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} \label{m0133_eE} \]

y

\[\widetilde{\bf H} = \hat{\bf y}\frac{E_0}{\eta_c} e^{-\alpha z} e^{-j\beta z} \nonumber \]

donde\(\alpha\) y\(\beta\) son la constante de atenuación y la constante de propagación de fase, respectivamente, y\(\eta_c\) es la impedancia de onda de valor complejo. Como está escrito, estas expresiones describen una onda que es\(+\hat{\bf x}\) polarizada y se propaga en la\(+\hat{\bf z}\) dirección. Tomamos estas elecciones solo por conveniencia, siempre y cuando el medio sea homogéneo e isotrópico, esperamos que nuestros hallazgos se apliquen independientemente de la polarización y la dirección de propagación. Aplicando la Ecuación\ ref {M0133_EPVP}:

\[\begin{align} {\bf S}_{ave} &= \frac{1}{2} \mbox{Re} \left\{ \widetilde{\bf E} \times \widetilde{\bf H}^* \right\} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} ~ \hat{\bf z} ~ \mbox{Re} \left\{ \frac{\left|E_0\right|^2}{\eta_c^*} e^{-2\alpha z} \right\} \nonumber \\ &= \hat{\bf z} \frac{\left|E_0\right|^2}{2} ~ \mbox{Re} \left\{ \frac{1}{\eta_c^*} \right\} e^{-2\alpha z} \label{m0133_eSave1}\end{align} \]

Debido a que\(\eta_c\) es de valor complejo cuando el material tiene pérdidas, debemos proceder con precaución. Primero, escribamos\(\eta_c\) explícitamente en términos de su magnitud\(\left|\eta_c\right|\) y fase\(\psi_{\eta}\):

\[\eta \triangleq \left|\eta\right| e^{j\psi_{\eta}} \nonumber \]

Entonces:

\[\begin{align} \eta_c^* &= \left|\eta_c\right| e^{-j\psi_{\eta}} \\ \left(\eta_c^*\right)^{-1} &= \left|\eta_c\right|^{-1} e^{+j\psi_{\eta}} \\ \mbox{Re}\left\{\left(\eta_c^*\right)^{-1}\right\} &= \left|\eta_c\right|^{-1} \cos{\psi_{\eta}} \end{align} \nonumber \]

Entonces la Ecuación\ ref {M0133_ESAVE1} puede escribirse:

\[\boxed{ {\bf S}_{ave} = \hat{\bf z} \frac{\left|E_0\right|^2}{2\left|\eta_c\right|} ~ e^{-2\alpha z} ~ \cos{\psi_{\eta}} } \label{m0133_eSave} \]

La densidad de potencia promedio en el tiempo de la onda plana descrita por la Ecuación\ ref {M0133_EE} en un material con pérdidas posibles viene dada por la Ecuación\ ref {M0133_ESave}.

Como cheque, tenga en cuenta que esta expresión da el resultado esperado para medios sin pérdidas; es decir,\(\alpha=0\),\(\left|\eta_c\right|=\eta\), y\(\psi_{\eta}=0\). Ahora vemos que el efecto de la pérdida es que la densidad de potencia es ahora proporcional a\(\left(e^{-\alpha z}\right)^2\), por lo que, como se esperaba, la densidad de potencia es proporcional al cuadrado de cualquiera\(\left|{\bf E}\right|\) o\(\left|{\bf H}\right|\). El resultado indica además un escalado de una sola vez de la densidad de potencia por un factor de

\[\frac{\left|\eta\right|}{\left|\eta_c\right|}\cos\psi_{\eta} < 1 \nonumber \]

relativo a un medio sin pérdida.

La reducción en la densidad de potencia debido a la conductividad distinta de cero es proporcional a un factor dependiente de la distancia\(e^{-2\alpha z}\) y un factor adicional que depende de la magnitud y fase de\(\eta_c\).

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1. Dependiendo de la versión de este libro, esta sección puede aparecer en otro volumen. ↩