3.10: Conductores pobres

Un conductor pobre es un material para el cual la conductividad es baja, pero suficiente para exhibir una pérdida significativa. Para ser claros, la pérdida a la que nos referimos aquí es la conversión del campo eléctrico a corriente a través de la ley de Ohm.

El umbral de significancia depende de la aplicación. Por ejemplo, el separador dieléctrico que separa los conductores en un cable coaxial podría tratarse como sin pérdidas (\(\sigma=0\)) para longitudes cortas a bajas frecuencias; mientras que la pérdida del cable para longitudes largas y frecuencias más altas es típicamente significativa, y debe tenerse en cuenta. En este último caso, se dice que el material es un mal conductor debido a que la pérdida es significativa, pero el material aún puede ser tratado en la mayoría de los demás aspectos como un dieléctrico ideal.

Se puede obtener un criterio cuantitativo pero aproximado para la identificación de un conductor pobre a partir del concepto de permitividad compleja\(\epsilon_c\), que tiene la forma:

\[\epsilon_c = \epsilon' - j\epsilon'' \nonumber \]

Recordemos que\(\epsilon''\) cuantifica la pérdida, mientras que\(\epsilon'\) existe independientemente de la pérdida. De hecho,\(\epsilon_c=\epsilon'=\epsilon\) para un material perfectamente sin pérdidas. Por lo tanto, podemos cuantificar la pérdida de un material utilizando la relación\(\epsilon''/\epsilon'\), que a veces se denomina tangente de pérdida (ver Sección 3.5). Usando esta cantidad, definimos un conductor pobre como un material para el cual\(\epsilon''\) es muy pequeño en relación con\(\epsilon'\). Por lo tanto,

\[\frac{\epsilon''}{\epsilon'} \ll 1 ~~~ \mbox{(poor conductor)} \label{m0156_eDef} \]

Un conductor pobre es un material que tiene tangente de pérdida mucho menor que 1, de tal manera que se comporta en la mayoría de los aspectos como un dieléctrico ideal excepto que la pérdida óhmica puede no ser despreciable.

Un ejemplo de un mal conductor que se encuentra comúnmente en la ingeniería eléctrica incluye el popular material de sustrato de placa de circuito impreso FR4 (epoxi de fibra de vidrio), que tiene\(\epsilon''/\epsilon' \sim 0.008\) sobre el rango de frecuencia que se usa más comúnmente. Otro ejemplo, ya mencionado, es el material separador dieléctrico (por ejemplo, polietileno) que se utiliza típicamente en cables coaxiales. La pérdida de estos materiales puede o no ser significativa, dependiendo de los datos de la aplicación.

La definición imprecisa de la Ecuación\ ref {M0156_Edef} es suficiente para derivar algunas características exhibidas por todos los conductores pobres. Para ello, primero recordemos que la constante de propagación\(\gamma\) se da en general de la siguiente manera:

\[\gamma^2 = -\omega^2\mu\epsilon_c \nonumber \]

Por lo tanto:

\[\gamma = \sqrt{-\omega^2\mu\epsilon_c} \nonumber \]

En general un número tiene dos raíces cuadradas, por lo que aquí se requiere cierta precaución. En este caso, podemos proceder de la siguiente manera:

\ begin {align}
\ gamma &=j\ omega\ sqrt {\ mu}\ sqrt {\ epsilon^ {\ prime} -j\ épsilon^ {\ prime\ prime}}\ nonumber\\
&=j\ omega\ sqrt {\ mu\ épsilon^ {\ prime}}\ sqrt {1-j\ frac {\ epsilon^ {\ prime\}} {\ épsilon^ {\ prime}}}\ label {M0156_EGE}
\ end {align}

El requisito de que\(\epsilon''/\epsilon' \ll 1\) para un conductor pobre permita que esta expresión sea “linealizada”. Para ello, invocamos la representación de la serie binomial:

\[\left(1+x\right)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 + ... \nonumber \]

donde\(x\) y\(n\) son, para nuestros fines, cualquier constante; y “...” indica los términos restantes en esta serie infinita, conteniendo cada término el factor\(x^n\) con\(n>2\). Si\(x\ll 1\), entonces todos los términos que contengan\(x^n\) con\(n\ge 2\) serán muy pequeños en relación con los dos primeros términos de la serie. Por lo tanto,

\[\left(1+x\right)^n \approx 1 + nx ~~~\mbox{for $x\ll 1$} \nonumber \]

Aplicando esto al problema actual:

\[\left(1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'}\right)^{1/2} \approx 1 - j\frac{\epsilon''}{2\epsilon'} \nonumber \]

donde hemos usado\(n=1/2\) y\(x=-j\epsilon''/\epsilon'\). Aplicando esta aproximación a la Ecuación\ ref {M0156_EGE}, obtenemos:

\ begin {alineado}
\ gamma &\ approx j\ omega\ sqrt {\ mu\ épsilon^ {\ prime}}\ izquierda (1-j\ frac {\ epsilon^ {\ prime\ prime}} {2\ épsilon^ {\ prime}}\ derecha)\\
&\ aprox j\ omega\ sqrt {\ mu\ épsilon^ {\ prime}} +\ omega\ sqrt {\ mu\ epsilon^ {\ prime}} +\ omega\ sqrt {\ mu\ epsilon^ rt {\ mu\ épsilon^ {\ prime}}\ frac {\ épsilon^ {\ prime\ prime}} {2\ épsilon^ {\ prime}}
\ end {alineado}

En este punto, somos capaces de identificar una expresión para la constante de propagación de fase:

\[\boxed{ \beta \triangleq \mbox{Im}\left\{\gamma\right\} \approx \omega\sqrt{\mu\epsilon'} ~~~\mbox{(poor conductor)} } \nonumber \]

Notablemente, encontramos que\(\beta\) para un conductor pobre es aproximadamente igual a\(\beta\) para un dieléctrico ideal.

Para la constante de atenuación, encontramos

\[\boxed{ \alpha \triangleq \mbox{Re}\left\{\gamma\right\} \approx \omega\sqrt{\mu\epsilon'}\frac{\epsilon''}{2\epsilon'} ~~~\mbox{(poor conductor)} } \label{m0156_ealpha1} \]

Alternativamente, esta expresión puede escribirse de la siguiente forma:

\[\alpha \approx \frac{1}{2}\beta\frac{\epsilon''}{\epsilon'} ~~~\mbox{(poor conductor)} \nonumber \]

Suponiendo que\(\epsilon_c\) está determinado completamente por la pérdida óhmica, entonces

\[\frac{\epsilon''}{\epsilon'} = \frac{\sigma}{\omega\epsilon} \nonumber \]

Bajo esta condición, la Ecuación\ ref {m0156_ealpha1} puede ser reescrita:

\[\alpha \approx \omega\sqrt{\mu\epsilon'}\frac{\sigma}{2\omega\epsilon} ~~~\mbox{(poor conductor)} \nonumber \]

Dado que\(\epsilon'=\epsilon\) bajo estos supuestos, la expresión simplifica a

\[\alpha \approx \frac{\sigma}{2}\sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} = \frac{1}{2}\sigma\eta ~~~\mbox{(poor conductor)} \nonumber \]

donde\(\eta\triangleq\sqrt{\mu/\epsilon'}\) está la impedancia de onda presumiendo material sin pérdidas. Este resultado es notable por dos razones: Primero, los factores de\(\omega\) han sido eliminados, por lo que no hay dependencia de la frecuencia separada de la dependencia de frecuencia de los parámetros constitutivos\(\sigma\),\(\mu\), y\(\epsilon\). Estos parámetros varían lentamente con la frecuencia, por lo que el valor de\(\alpha\) para un conductor pobre también varía lentamente con la frecuencia. Segundo, vemos\(\alpha\) es proporcional a\(\sigma\) y\(\eta\). Esto hace que sea bastante fácil anticipar cómo la constante de atenuación se ve afectada por los cambios en la conductividad y la impedancia de onda en conductores pobres.

Por último, ¿cuál es la impedancia de onda en un conductor pobre? En contraste con\(\eta\),\(\eta_c\) es potencialmente de valor complejo y puede depender de\(\sigma\). En primer lugar, recuerde:

\[\eta_c = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \cdot \left[ 1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'} \right]^{-1/2} \nonumber \]

Aplicando la misma aproximación aplicada a\(\gamma\) anterior, esto puede escribirse

\[\eta_c \approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \cdot \left[ 1-j\frac{\epsilon''}{2\epsilon'} \right]~~~\mbox{(poor conductor)} \nonumber \]

Vemos eso para un mal conductor, Re\(\left\{\eta_c\right\}\approx\eta\) y que Im\(\left\{\eta_c\right\}\ll\mbox{Re}\left\{\eta_c\right\}\). La aproximación habitual en este caso es simplemente

\[\boxed{ \eta_c \approx \eta ~~~\mbox{(poor conductor)} } \nonumber \]