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5.5: Descomposición de una Onda en Componentes TE y TM

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    Una amplia gama de problemas en electromagnetismo implica la dispersión de una onda plana por un límite plano entre medios diferentes. La Sección 5.1 (“Ondas Planas a Incidencia Normal en un Límite Plano Entre Medios Sin Perdida”) abordó el caso especial en el que la onda llega en una dirección que es perpendicular al límite (es decir, “incidencia normal”). El análisis del caso de incidencia normal se simplifica por el hecho de que las direcciones de los vectores de campo asociados con lo reflejado y transmitido son las mismas (excepto posiblemente con un cambio de signo) que las de la onda incidente. Para el caso más general en el que la onda incidente es oblicuamente incidente (es decir, no necesariamente normalmente incidente), las direcciones de los vectores de campo generalmente serán diferentes. Esta complejidad añadida se maneja fácilmente si tomamos el esfuerzo de representar la onda incidente como la suma de dos ondas que tienen polarizaciones particulares. Estas polarizaciones se denominan eléctricas transversales (TE) y magnéticas transversales (TM). En esta sección se describen estas polarizaciones y el método para la descomposición de una onda plana en componentes TE y TM. Entonces estaremos preparados para abordar el caso de incidencia oblicua en una sección posterior.

    Para comenzar, definimos el sistema de coordenadas de rayos fijos que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

    m0166_fRayFixedCoordinateSystemIncident.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Sistema de coordenadas para la descomposición TE-TM. Dado que ambos\(\hat{\mathbf{k}}^{i}\) y se\(\hat{\bf{n}}\) encuentran en el plano de la página, este es también el plano de incidencia. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

    En esta figura,\(\hat{\bf k}^i\) se encuentra un vector unitario que indica la dirección en la que se propaga la onda incidente. La unidad normal\(\hat{\bf n}\) es perpendicular al límite, y apunta hacia la región desde la que incide la ola. Ahora hacemos la siguiente definición:

    El plano de incidencia es el plano en el que se encuentran tanto la normal a la superficie (\(\hat{\bf n}\)) como la dirección de propagación (\(\hat{\bf k}^i\)).

    La descomposición TE-TM consiste en encontrar los componentes de los campos eléctrico y magnético que son perpendiculares (“transversales”) al plano de incidencia. De las dos posibles direcciones que son perpendiculares al plano de incidencia, elegimos\(\hat{\bf e}_{\perp}\), definidas como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). De la figura, vemos que:

    \[\hat{\bf e}_{\perp} \triangleq \frac{ \hat{\bf k}^i \times \hat{\bf n} }{ \left| \hat{\bf k}^i \times \hat{\bf n} \right| } \label{m0166_eeperp} \]

    Definido de esta manera,\(\hat{\bf e}_{\perp}\) es un vector unitario que es perpendicular a ambos\(\hat{\bf k}^i\), y así puede servir como vector base de un sistema de coordenadas que se une al rayo incidente. El vector base restante para este sistema de coordenadas de rayos fijos se elige de la siguiente manera:

    \[\hat{\bf e}^i_{\parallel} \triangleq \hat{\bf e}_{\perp} \times \hat{\bf k}^i \nonumber \]

    Definido de esta manera,\(\hat{\bf e}^i_{\parallel}\) es un vector unitario que es perpendicular a ambos\(\hat{\bf e}_{\perp}\) y\(\hat{\bf k}^i\), y paralelo al plano de incidencia.

    Examinemos ahora una onda plana uniforme incidente en el nuevo sistema de coordenadas con rayos fijos. Comenzamos con la siguiente representación fasorial de la intensidad del campo eléctrico:

    \[\widetilde{\bf E}^i = \hat{\bf e}^i E_0^i e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}} \label{m0166_Ei} \]

    donde\(\hat{\bf e}^i\) es un vector unitario que indica la polarización de referencia,\(E_0^i\) es un escalar de valor complejo y\({\bf r}\) es un vector que indica la posición en la que\(\widetilde{\bf E}^i\) se evalúa. Podemos expresar\(\hat{\bf e}^i\) en el sistema de coordenadas de rayos fijos de la Figura de la\(\PageIndex{1}\) siguiente manera:

    \[\begin{align} \hat{\bf e}^i &= \left(\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf e}_{\perp}\right)\hat{\bf e}_{\perp} \nonumber \\ &+ \left(\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf e}^i_{\parallel}\right)\hat{\bf e}^i_{\parallel} \nonumber \\ &+ \left(\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf k}^i\right)\hat{\bf k}^i \end{align} \nonumber \]

    El vector de campo eléctrico siempre es perpendicular a la dirección de propagación, así que\(\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf k}^i=0\). Esto deja:

    \[\hat{\bf e}^i = \left(\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf e}_{\perp}\right)\hat{\bf e}_{\perp} + \left(\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf e}^i_{\parallel}\right)\hat{\bf e}^i_{\parallel} \nonumber \]

    Sustituyendo esta expresión en la Ecuación\ ref {M0166_EI}, obtenemos:

    \[\widetilde{\bf E}^i = \hat{\bf e}_{\perp} E_{TE}^i e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}} + \hat{\bf e}^i_{\parallel} E_{TM}^i e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}} \label{m0166_Ei2} \]

    donde

    \[\begin{align} E_{TE}^i &\triangleq E^i_0~\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf e}_{\perp} \\ E_{TM}^i &\triangleq E^i_0~\hat{\bf e}^i\cdot\hat{\bf e}^i_{\parallel}\end{align} \nonumber \]

    El primer término en la Ecuación\ ref {M0166_eI2} es el componente eléctrico transversal (TE) de\(\widetilde{\bf E}^i\), así llamado porque es el componente que es perpendicular al plano de incidencia. El segundo término en la Ecuación\ ref {M0166_eI2} es el componente magnético transversal (TM) de\(\widetilde{\bf E}^i\). El término “TM” se refiere al hecho de que el campo magnético asociado a este componente del campo eléctrico es perpendicular al plano de incidencia. Esto es evidente ya que el vector de campo magnético es perpendicular tanto a la dirección de propagación como al vector de campo eléctrico.

    Resumiendo:

    El componente TE es el componente para el cual\(\widetilde{\bf E}^i\) es perpendicular al plano de incidencia.

    El componente TM es el componente para el cual\(\widetilde{\bf H}^i\) es perpendicular al plano de incidencia; es decir, el componente para el cual\(\widetilde{\bf E}^i\) es paralelo al plano de incidencia.

    Finalmente, observe que la onda total es la suma de sus componentes TE y TM. Por lo tanto, podemos analizar los componentes TE y TM por separado, y saber que el resultado para la onda combinada es simplemente la suma de los resultados para los componentes TE y TM.

    Como se indicó al inicio de esta sección, la utilidad de la descomposición TE-TM es que simplifica el análisis de la reflexión de onda. Esto se debe a que el análisis de los casos TE y TM es relativamente sencillo, mientras que el análisis directo de la dispersión de las ondas polarizadas arbitrariamente es relativamente difícil.

    Obsérvese que la nomenclatura “TE” y “TM” es de uso común pero no universal. A veces “TE” se conoce como polarización “perpendicular”, indicada usando el subíndice “\(\perp\)” o “s” (abreviatura de senkrecht, alemán para “perpendicular”). Correspondientemente, “TM” a veces se denomina polarización “paralela”, indicada usando el subíndice “\(\parallel\)” o “p.”

    También, tenga en cuenta que el componente TE y el componente TM a veces se denominan el modo TE y el modo TM, respectivamente. Si bien los términos “componente” y “modo” son sinónimos para los escenarios de onda de plano único considerados en esta sección, los términos no son sinónimos en general. Por ejemplo, la onda dentro de una guía de ondas puede consistir en múltiples modos TE únicos que comprenden colectivamente el componente TE del campo, y de manera similar la onda dentro de una guía de ondas puede consistir en múltiples modos TM únicos que comprenden colectivamente el componente TM del campo.

    Finalmente, considere lo que sucede cuando una onda plana es normalmente incidente sobre el límite; es decir, cuándo\(\hat{\bf k}^i=-\hat{\bf n}\). En este caso, la Ecuación\ ref {m0166_eeperp} indica que\(\hat{\bf e}_{\perp}=0\), por lo que la descomposición TE-TM es indefinida. La situación es simplemente que ambos\({\bf E}^i\) y ya\({\bf H}^i\) son ambos perpendiculares al límite, y no existe un solo plano que pueda identificarse de manera única como el plano de incidencia. Nos referimos a este caso como electromagnético transversal (TEM).

    Una onda que normalmente incide sobre una superficie plana se dice que es electromagnética transversal (TEM) con respecto a ese límite. No hay una descomposición única de TE-TM en este caso.

    El hecho de que no exista una descomposición única de TE-TM en el caso TEM no tiene ninguna consecuencia, ya que el caso TEM se maneja fácilmente como una condición separada (ver Sección 5.1).


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