5.7: Ondas Planas a Incidencia Oblicua en un Caso de Límite Plano

En esta sección, consideramos el problema de la reflexión y transmisión desde un límite plano entre medios semi-infinitos para una onda plana uniforme magnética transversal (TM). Antes de intentar esta sección, se recomienda una revisión de las Secciones 5.1 (“Ondas Planas a Incidencia Normal en un Límite Plano entre Medios sin Perdida”) y 5.5 (“Descomposición de una Onda en Componentes TE y TM”). También, tenga en cuenta que esta sección tiene mucho en común con la Sección 5.6 (“Ondas Planas a Incidencia Oblicua en un Límite Plano: Caso TE”), y se recomienda intentar primero el caso TE.

En esta sección, consideramos el escenario ilustrado en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Onda plana uniforme TM oblicuamente incidente en el límite plano entre dos regiones materiales semiinfinitas. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

El límite entre las dos regiones semiinfinitas y sin pérdidas se encuentra en el\(z=0\) plano. La ola es incidente de la Región 1. La intensidad del campo magnético\(\widetilde{\bf H}^i_{TM}\) de esta onda viene dada por

\[\widetilde{\bf H}^i_{TM}({\bf r}) = \hat{\bf y} H^i_{TM} e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}} \label{m0164_eHi} \]

En esta expresión,\({\bf r}\) se encuentra la posición en la que\(\widetilde{\bf H}^i_{TM}\) se evalúa. También,

\[{\bf k}^i = \hat{\bf k}^i \beta_1 \nonumber \]

donde\(\hat{\bf k}^i\) es el vector unitario que indica la dirección de propagación y\(\beta_1=\omega\sqrt{\mu_1 \epsilon_1}\) es la constante de propagación de fase en la Región 1. \(\widetilde{\bf H}^i_{TM}\)sirve como el “estímulo” en este problema, y todas las demás contribuciones al campo total pueden expresarse en términos de parámetros asociados a la Ecuación\ ref {M0164_Ehi}.

La presencia de ondas planas uniformes reflejadas y transmitidas se deduce de nuestra experiencia con el escenario de incidencia normal (Sección 5.1). Ahí, como aquí, la simetría del problema indica que los componentes reflejados y transmitidos del campo magnético tendrán la misma polarización que la del campo eléctrico incidente. Esto se debe a que no hay nada presente en el problema que pueda dar cuenta de un cambio en la polarización. Así, los campos reflejados y transmitidos también serán TM. Entonces postulamos la siguiente expresión para la onda reflejada:

\[\widetilde{\bf H}^r({\bf r}) = -\hat{\bf y} B e^{-j{\bf k}^r\cdot{\bf r}} \label{m0164_eHr} \]

donde\(B\) hay que determinar una constante desconocida, posiblemente de valor complejo y

\[{\bf k}^r = \hat{\bf k}^r \beta_1 \nonumber \]

indica la dirección de propagación.

El lector puede preguntarse por qué hemos elegido\(-\hat{\bf y}\), en contraposición a\(+\hat{\bf y}\), como polarización de referencia para\(\widetilde{\bf H}^r\). De hecho, cualquiera\(+\hat{\bf y}\) o\(-\hat{\bf y}\) podría ser utilizado. No obstante, la elección es importante porque la forma de los resultados que obtengamos en esta sección —específicamente, el coeficiente de reflexión— se determinará con respecto a esta convención específica, y será incorrecta con respecto a la convención opuesta. Elegimos\(-\hat{\bf y}\) porque tiene una ventaja particular que señalaremos al final de este apartado.

Continuando, postulamos la siguiente expresión para la onda transmitida:

\[\widetilde{\bf H}^t({\bf r}) = \hat{\bf y} C e^{-j{\bf k}^t\cdot{\bf r}} \label{m0164_eHt} \]

donde\(C\) hay que determinar una constante desconocida, posiblemente de valor complejo y

\[{\bf k}^t = \hat{\bf k}^t \beta_2 \nonumber \]

donde\(\hat{\bf k}^t\) es el vector unitario que indica la dirección de propagación y\(\beta_2=\omega\sqrt{\mu_2 \epsilon_2}\) es la constante de propagación de fase en la Región 2.

En este punto, las incógnitas en este problema son las constantes\(B\) y\(C\), así como las direcciones desconocidas\(\hat{\bf k}^r\) y\(\hat{\bf k}^t\). Podemos establecer una relación entre\(H^i_{TM}\),\(B\), y\(C\) mediante la aplicación de condiciones de límite en\(z=0\). Primero, presumimos que no hay corriente impresionada en el límite. Así, la componente tangencial de la intensidad total del campo magnético debe ser continua a través del límite. Para aplicar esta condición límite, definamos\(\widetilde{\bf H}_1\) y seamos\(\widetilde{\bf H}_2\) los campos magnéticos totales en las Regiones 1 y 2, respectivamente. El campo total en la Región 1 es la suma de campos incidentes y reflejados, por lo que

\[\widetilde{\bf H}_1({\bf r}) = \widetilde{\bf H}^i_{TM}({\bf r}) + \widetilde{\bf H}^r({\bf r}) \nonumber \]

El campo en la Región 2 es simplemente

\[\widetilde{\bf H}_2({\bf r}) = \widetilde{\bf H}^t({\bf r}) \nonumber \]

Además, observamos que todos los componentes del campo magnético ya son tangentes al límite. Así, la continuidad de la componente tangencial del campo magnético a través del límite requiere\(\widetilde{\bf H}_1({\bf r}_0)=\widetilde{\bf H}_2({\bf r}_0)\), donde\({\bf r}_0\triangleq\hat{\bf x}x+\hat{\bf y}y\) desde\(z=0\) en el límite. Por lo tanto,

\[\widetilde{\bf H}^i_{TM}({\bf r}_0) + \widetilde{\bf H}^r({\bf r}_0) = \widetilde{\bf H}^t({\bf r}_0) \nonumber \]

Ahora empleando Ecuaciones\ ref {M0164_ehi},\ ref {M0164_ehr}, y\ ref {M0164_EHT}, obtenemos:

\[\hat{\bf y}H^i_{TM}e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}_0} - \hat{\bf y}B e^{-j{\bf k}^r\cdot{\bf r}_0} = \hat{\bf y}C e^{-j{\bf k}^t\cdot{\bf r}_0} \label{m0164_eBCH} \]

Dejando caer el vector (\(\hat{\bf y}\)) ya que es el mismo en cada término, obtenemos:

\[H^i_{TM}e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}_0} - B e^{-j{\bf k}^r\cdot{\bf r}_0} = C e^{-j{\bf k}^t\cdot{\bf r}_0} \label{m0164_eBCH2} \]

Para que esto sea cierto en cada punto\({\bf r}_0\) de la frontera, debe ser cierto que

\[{\bf k}^i\cdot{\bf r}_0 = {\bf k}^r\cdot{\bf r}_0 = {\bf k}^t\cdot{\bf r}_0 \label{m0164_eSL} \]

Esencialmente, estamos requiriendo que las fases de cada campo en las Regiones 1 y 2 se emparejen en cada punto a lo largo del límite. Cualquier otra elección resultará en una violación de las condiciones de los límites en algún momento a lo largo del límite. Esta expresión nos permite resolver para las direcciones de propagación de los campos reflejados y transmitidos, lo que haremos posteriormente. Nuestra prioridad por ahora será resolver para los coeficientes\(B\) y\(C\).

Aplicando la Ecuación\ ref {M0164_ESL}, observamos que la Ecuación\ ref {M0164_EBCH2} se reduce a:

\[H^i_{TM} - B = C \label{m0164_eBCH3} \]

Se necesita una segunda ecuación ya que actualmente solo tenemos una ecuación (Ecuación\ ref {M0164_EBCh3}) y dos incógnitas (\(B\)y\(C\)). La segunda ecuación se obtiene aplicando las condiciones de límite apropiadas al campo eléctrico. El campo eléctrico asociado a cada uno de los componentes del campo magnético se identifica en la Figura\(\PageIndex{1}\). Tenga en cuenta que las orientaciones de los vectores de campo eléctrico pueden confirmarse usando las relaciones de onda plana: Específicamente, el producto cruzado de los campos eléctrico y magnético debe apuntar en la dirección de propagación. Las expresiones para cada uno de los componentes del campo eléctrico se determinan formalmente a continuación.

A partir de las relaciones de onda plana, determinamos que la intensidad del campo eléctrico incidente es

\[\widetilde{\bf E}^i({\bf r}) = -\eta_1 \hat{\bf k}^i \times \widetilde{\bf H}^i_{TM} \label{m0164_eEi} \]

donde\(\eta_1=\sqrt{\mu_1 / \epsilon_1}\) está la impedancia de onda en la Región 1. Para avanzar se requiere que expresemos\(\hat{\bf k}^i\) en el sistema global de coordenadas fijas. Aquí está:

\[\hat{\bf k}^i = \hat{\bf x}\sin\psi^i + \hat{\bf z}\cos\psi^i \nonumber \]

Así:

\[\widetilde{\bf E}^i({\bf r}) = \left( \hat{\bf x}\cos\psi^i - \hat{\bf z}\sin\psi^i \right) \eta_1 H^i_{TM} e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}} \label{m0164_eEi2} \]

De igual manera determinamos que el campo eléctrico reflejado tiene la forma:

\[\widetilde{\bf E}^r({\bf r}) = -\eta_1 \hat{\bf k}^r \times \widetilde{\bf H}^r \label{m0164_eEr} \]

En el sistema global de coordenadas:

\[\hat{\bf k}^r = \hat{\bf x}\sin\psi^r - \hat{\bf z}\cos\psi^r \label{m0164_ehkr} \]

Así:

\[\widetilde{\bf E}^r({\bf r}) = \left( \hat{\bf x}\cos\psi^r + \hat{\bf z}\sin\psi^r \right) \eta_1 B e^{-j{\bf k}^r\cdot{\bf r}} \label{m0164_eEr2} \]

El campo magnético transmitido tiene la forma:

\[\widetilde{\bf E}^t({\bf r}) = -\eta_2 \hat{\bf k}^t \times \widetilde{\bf H}^t \label{m0164_eEt} \]

En el sistema global de coordenadas:

\[\hat{\bf k}^t = \hat{\bf x}\sin\psi^t + \hat{\bf z}\cos\psi^t \label{m0164_ehkt} \]

Así:

\[\widetilde{\bf E}^t({\bf r}) = \left( \hat{\bf x}\cos\psi^t - \hat{\bf z}\sin\psi^t \right) \eta_2 C e^{-j{\bf k}^t\cdot{\bf r}} \label{m0164_eEt2} \]

El campo eléctrico total en la Región 1 es la suma de campos incidentes y reflejados, por lo que

\[\widetilde{\bf E}_1({\bf r}) = \widetilde{\bf E}^i({\bf r}) + \widetilde{\bf E}^r({\bf r}) \nonumber \]

El campo eléctrico en la Región 2 es simplemente

\[\widetilde{\bf E}_2({\bf r}) = \widetilde{\bf E}^t({\bf r}) \nonumber \]

El componente tangencial de la intensidad total del campo eléctrico debe ser continuo a través del límite. Expresado en términos de las cantidades ya establecidas, esta condición límite requiere:

\[\hat{\bf x}\cdot\widetilde{\bf E}^i({\bf r}_0) + \hat{\bf x}\cdot\widetilde{\bf E}^r({\bf r}_0) = \hat{\bf x}\cdot\widetilde{\bf E}^t({\bf r}_0) \nonumber \]

donde “\(\hat{\bf x}\cdot\)” selecciona el componente del campo eléctrico que es tangente al límite. Evaluando esta expresión, obtenemos:

\[\begin{align} &+\left(\cos\psi^i\right) \eta_1 H^i_{TM} e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}_0} \nonumber \\ &+\left(\cos\psi^r\right) \eta_1 B e^{-j{\bf k}^r\cdot{\bf r}_0} \nonumber \\ = &+\left(\cos\psi^t\right) \eta_2 C e^{-j{\bf k}^t\cdot{\bf r}_0} \end{align} \nonumber \]

Ahora empleando la condición de “coincidencia de fase” expresada en la Ecuación\ ref {M0164_ESL}, encontramos:

\[\begin{align} &+\left(\cos\psi^i\right) \eta_1 H^i_{TM} \nonumber \\ &+\left(\cos\psi^r\right) \eta_1 B \nonumber \\ = &+\left(\cos\psi^t\right) \eta_2 C \label{m0164_eBCE3}\end{align} \]

Las ecuaciones\ ref {M0164_EBCh3} y\ ref {M0164_EBCE3} comprenden un sistema lineal de ecuaciones con incógnitas\(B\) y\(C\). Este sistema de ecuaciones se resuelve fácilmente de la\(B\) siguiente manera. Primero, usa la Ecuación\ ref {M0164_EBCh3} para eliminar\(C\) en la Ecuación\ ref {M0164_EBCE3}. El resultado es:

\[\begin{align} &+\left(\cos\psi^i\right) \eta_1 H^i_{TM} \nonumber \\ &+\left(\cos\psi^r\right) \eta_1 B \nonumber \\ = &+\left(\cos\psi^t\right) \eta_2 \left( H^i_{TM} - B \right)\end{align} \nonumber \]

Resolviendo esta ecuación para\(B\), obtenemos:

\[B = \frac{-\eta_1\cos\psi^i+\eta_2\cos\psi^t}{+\eta_1\cos\psi^r+\eta_2\cos\psi^t} ~ H^i_{TM} \nonumber \]

Podemos expresar este resultado de la siguiente manera:

\[B = \Gamma_{TM} H^i_{TM} \nonumber \]

donde hemos hecho la definición

\[\Gamma_{TM} \triangleq \frac{-\eta_1\cos\psi^i+\eta_2\cos\psi^t}{+\eta_1\cos\psi^r+\eta_2\cos\psi^t} \label{m0164_eGTM} \]

Ahora podemos expresar la solución completa en términos de la intensidad del campo eléctrico. Primero hacemos la sustitución\(E^i_{TM} \triangleq \eta_1 H^i_{TM}\) en la Ecuación\ ref {M0164_EEI2}, rindiendo:

\[\widetilde{\bf E}^i({\bf r}) = \left( \hat{\bf x}\cos\psi^i - \hat{\bf z}\sin\psi^i \right) E^i_{TM} e^{-j{\bf k}^i\cdot{\bf r}} \nonumber \]

El factor\(\eta_1 B\) en la Ecuación\ ref {M0164_EER2} se convierte\(\Gamma_{TM}E^i_{TM}\), así obtenemos:

\[\begin{aligned} \widetilde{\bf E}^r({\bf r}) = &\left( \hat{\bf x}\cos\psi^r + \hat{\bf z}\sin\psi^r \right) \nonumber \\ &\cdot\Gamma_{TM} E^i_{TM} e^{-j{\bf k}^r\cdot{\bf r}} \end{aligned} \nonumber \]

Así, vemos\(\Gamma_{TM}\) es el coeficiente de reflexión para la intensidad del campo eléctrico.

Volviendo a la Ecuación\ ref {M0164_EBCH3}, ahora encontramos

\[\begin{align} C &= H^i_{TM}-B \nonumber \\ &= H^i_{TM}-\Gamma_{TM} H^i_{TM} \nonumber \\ &= \left(1-\Gamma_{TM}\right) H^i_{TM} \nonumber \\ &= \left(1-\Gamma_{TM}\right) E^i_{TM}/\eta_1\end{align} \nonumber \]

Posteriormente, la Ecuación\ ref {M0164_EET2} se convierte en

\[\begin{align} \widetilde{\bf E}^t({\bf r}) = &\left( \hat{\bf x}\cos\psi^t - \hat{\bf z}\sin\psi^t \right) \nonumber \\ &\cdot \left(1-\Gamma_{TM}\right) \frac{\eta_2}{\eta_1} E^i_{TM} e^{-j{\bf k}^t\cdot{\bf r}} \end{align} \nonumber \]

Esta solución está completa excepto que aún no hemos determinado\(\hat{\bf k}^r\), que ahora está completamente determinada por\(\psi^r\) medio de la Ecuación\ ref {m0164_ehkr}, y\(\hat{\bf k}^t\), que ahora está completamente determinada por\(\psi^t\) medio de la Ecuación\ ref {m0164_ehkt}. Es decir, aún no hemos determinado las direcciones de propagación\(\psi^r\) para la onda reflejada y\(\psi^t\) para la onda transmitida. Sin embargo,\(\psi^r\) y se\(\psi^i\) puede encontrar usando la Ecuación\ ref {M0164_ESL}. Aquí simplemente indicaremos el resultado, y en la Sección 5.8 realizaremos esta parte de la derivación en detalle y con mayor atención a las implicaciones. Uno encuentra:

\[\psi^r = \psi^i \label{m0164_epsir} \]

es decir, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. También,

\[\psi^t = \arcsin\left(\frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\psi^i\right) \label{m0164_epsit} \]

Los lectores astutos pueden notar que hay algo a pescado en la Ecuación\ ref {m0164_epsit}. A saber, parece posible que el argumento de\(\arcsin\) sea mayor que uno. Esta rareza se aborda en la Sección 5.8.

Ahora volvamos a la siguiente pregunta, planteada cerca del inicio de esta sección: ¿Por qué elegir\(-\hat{\bf y}\), en contraposición a\(+\hat{\bf y}\), como la polarización de referencia para\({\bf H}^r\), como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\)? Para responder a esta pregunta, primero tenga en cuenta que\(\Gamma_{TM}\) (Ecuación\ ref {M0164_EGTM}) se convierte en el coeficiente de reflexión para la incidencia normal (TEM) cuando\(\psi^i=\psi^t=0\). Si hubiéramos elegido\(+\hat{\bf y}\) como polarización de referencia para\({\bf H}^r\), habríamos obtenido una expresión para\(\Gamma_{TM}\) que tenga el signo opuesto para la incidencia de TEM. ¹ No hay nada malo en esta respuesta, pero es incómodo tener diferentes valores del coeficiente de reflexión para un mismo escenario físico. Al elegir\(-\hat{\bf y}\), el coeficiente de reflexión para el caso de incidencia oblicua calculado para\(\psi^i=0\) converge al coeficiente de reflexión previamente calculado para el caso de incidencia normal. Es importante estar al tanto de este tema, ya que ocasionalmente se encuentra con trabajos en los que se ha empleado la polarización de referencia opuesta (“\(+\hat{\bf y}\)”).

Finalmente, tenga en cuenta que la Ecuación\ ref {m0164_epsir} nos permite eliminar\(\psi^r\) de la Ecuación\ ref {M0164_EGTM}, rindiendo:

\[\boxed{ \Gamma_{TM} = \frac{-\eta_1\cos\psi^i+\eta_2\cos\psi^t}{+\eta_1\cos\psi^i+\eta_2\cos\psi^t} } \label{m0164_eGTM2} \]

Así, obtenemos lo que quizás sea el hallazgo más importante de esta sección:

El coeficiente de reflexión del campo eléctrico para la incidencia de TM oblicua\(\Gamma_{TM}\),, viene dado por la Ecuación\ ref {M0164_EGTm2}.

El siguiente ejemplo demuestra la utilidad de este resultado.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Power transmission at an air-to-glass interface (TM case)

La figura\(\PageIndex{2}\) ilustra una onda plana TM incidente desde el aire sobre el límite plano con una región de vidrio.

Figura\(\PageIndex{2}\): Onda plana uniforme TM incidente del aire al vidrio. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

El vidrio exhibe una permitividad relativa de 2.1. Determinar la potencia reflejada y transmitida en relación con el incidente de energía en el límite.

Solución

La potencia reflejada en relación con el incidente de potencia es\(\left|\Gamma_{TM}\right|^2\) mientras que la potencia transmitida en relación con el incidente de potencia es\(1-\left|\Gamma_{TM}\right|^2\). \(\Gamma_{TM}\)puede calcularse usando la Ecuación\ ref {M0164_EGTM2}. Calcular las cantidades que entran en esta expresión:

\[\eta_1 \approx \eta_0 \cong 376.7~\Omega ~~ \mbox{(air)} \nonumber \]

\[\eta_2 \approx \frac{\eta_0}{\sqrt{2.1}} \cong 260.0~\Omega ~~ \mbox{(glass)} \nonumber \]

\[\psi^i = 30^{\circ} \nonumber \]

Nota

\[\frac{\beta_1}{\beta_2} \approx \frac{\omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}{\omega\sqrt{\mu_0\cdot2.1\epsilon_0}} \cong 0.690 \nonumber \]

por lo

\[\psi^t = \arcsin\left(\frac{\beta_1}{\beta_2}\sin\psi^i\right) \cong 20.2^{\circ} \nonumber \]

Ahora sustituyendo estos valores en la Ecuación\ ref {M0164_EGTM2}, obtenemos

\[\Gamma_{TM} \cong -0.1442 \nonumber \]

(¿Recibió una respuesta más cercana a\(-0.1323\)? Si es así, probablemente no utilizó la precisión suficiente para representar resultados intermedios. Este es un buen ejemplo de un problema en el que tres cifras significativas para los resultados que se utilizan en cálculos posteriores no son suficientes.)

Ahora se determina que la fracción de poder reflejada en relación con el incidente de energía es\(\left|\Gamma_{TM}\right|^2\cong 0.021\); es decir, aproximadamente\(2.1\%\). \(1-\left|\Gamma_{TM}\right|^2\cong 97.9\%\)de la potencia se transmite al vidrio.

Obsérvese que el resultado obtenido en el ejemplo anterior es diferente del resultado de una onda TE incidente desde la misma dirección (Ejemplo\(\PageIndex{2}\)). En otras palabras:

La fracción de potencia reflejada y transmitida desde el límite plano entre medios disímiles depende de la polarización de la onda incidente en relación con el límite, así como del ángulo de incidencia.

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1. La obtención de este resultado es una excelente manera para que el alumno confirme su comprensión de la derivación presentada en esta sección. ↩