6.1: Velocidad de fase y grupo

La velocidad de fase es la velocidad a la que un punto de fase constante viaja a medida que la onda se propaga. ¹ Para una onda sinusoidalmente variable, esta velocidad es fácil de cuantificar. Para ver esto, considera la ola:

\[A\cos\left(\omega t -\beta z + \psi \right) \label{m0176_ewzt} \]

donde\(\omega=2\pi f\) es la frecuencia angular,\(z\) es la posición, y\(\beta\) es la constante de propagación de fase. En cualquier momento dado, la distancia entre puntos de fase constante es de una longitud de onda\(\lambda\). Por lo tanto, la velocidad de fase\(v_p\) es

\[v_p = \lambda f \label{m0176_evp} \]

Ya que\(\beta=2\pi/\lambda\), esto también puede escribirse de la siguiente manera:

\[\boxed{ v_p = \frac{\omega}{\beta} } \label{m0176_evp2} \]

Señalando que\(\beta=\omega\sqrt{\mu\epsilon}\) por simple cuestión, también podemos expresarnos\(v_p\) en términos de los parámetros constitutivos\(\mu\) y de la\(\epsilon\) siguiente manera:

\[v_p = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} \label{m0176_evpm} \]

Ya que\(v_p\) en este caso depende únicamente de las propiedades constitutivas\(\mu\) y\(\epsilon\), es razonable ver la velocidad de fase también como una propiedad de la materia.

Un elemento central del concepto de velocidad de fase es la uniformidad en el espacio y el tiempo. Ecuaciones\ ref {m0176_evp} -\ ref {m0176_evpm} presumen una onda que tiene la forma de Ecuación\ ref {m0176_ewzt}, que exhibe precisamente el mismo comportamiento en todo el tiempo posible\(t\) de\(-\infty\) a\(+\infty\) y sobre todo posible\(z\) de\(-\infty\) a\(+\infty\). Esta uniformidad en todo el espacio y el tiempo impide el uso de dicha onda para enviar información. Para enviar información, la fuente de la onda necesita variar al menos un parámetro en función del tiempo; por ejemplo\(A\) (resultando en modulación de amplitud),\(\omega\) (resultando en modulación de frecuencia) o\(\psi\) (resultando en modulación de fase). En otras palabras, la información sólo puede transmitirse haciendo que la onda no sea uniforme en algún aspecto. Además, algunos materiales y estructuras pueden causar cambios en\(\psi\) u otras combinaciones de parámetros que varían con la posición o el tiempo. Los ejemplos incluyen dispersión y propagación dentro de guías de onda. Independientemente de la causa, variar los parámetros\(\omega\) o\(\psi\) en función del tiempo significa que la distancia instantánea entre puntos de fase constante puede ser muy diferente de\(\lambda\). Así, la frecuencia instantánea de variación en función del tiempo y la posición puede ser muy diferente de\(f\). En este caso, las ecuaciones\ ref {m0176_evp} -\ ref {m0176_evpm} no necesariamente proporcionan un valor significativo para la velocidad de propagación.

Se requiere algún otro concepto para describir la velocidad de propagación de tales ondas. Ese concepto es la velocidad de grupo\(v_g\), definida de la siguiente manera:

La velocidad de grupo\(v_g\),, es la relación entre el cambio aparente de frecuencia\(\omega\) y el cambio asociado en la constante de propagación de fase\(\beta\); es decir,\(\Delta\omega/\Delta\beta\).

Dejando que\(\Delta\beta\) se vuelvan esfumantemente pequeños, obtenemos

\[\boxed{ v_g \triangleq \frac{\partial\omega}{\partial\beta} } \label{m0176_evg} \]

Observe la similitud con la definición de velocidad de fase en la Ecuación\ ref {m0176_evp2}. La velocidad de grupo se puede interpretar como la velocidad a la que se propaga una perturbación en la ola. La información puede ser transportada como perturbaciones significativas en relación con una condición de estado estacionario, por lo que la velocidad de grupo es también la velocidad de la información en una onda.

Nota La ecuación\ ref {m0176_evg} produce el resultado esperado para las ondas en forma de Ecuación\ ref {m0176_ewzt}:

\[\begin{align} v_g &= \left(\frac{\partial\beta}{\partial\omega}\right)^{-1} = \left(\frac{\partial}{\partial\omega}\omega\sqrt{\mu\epsilon}\right)^{-1} \nonumber \\ &= \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} = v_p\end{align} \nonumber \]

En otras palabras, la velocidad de grupo de una onda en forma de Ecuación\ ref {m0176_ewzt} es igual a su velocidad de fase.

Para observar una diferencia entre\(v_p\) y\(v_g\), de alguna manera\(\beta\) debe variar en función de algo que no sea justo\(\omega\) y los parámetros constitutivos. Nuevamente, la modulación (introducida por la fuente de la onda) y la dispersión (parámetros constitutivos dependientes de la frecuencia) son ejemplos en los que no necesariamente\(v_g\) es igual a\(v_p\). Aquí hay un ejemplo que involucra dispersión:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Phase and group velocity for a material exhibiting square-law dispersion

Una amplia clase de medios dispersivos no magnéticos exhiben permitividad relativa\(\epsilon_r\) que varía como el cuadrado de frecuencia en un rango estrecho de frecuencias centradas en\(\omega_0\). Para estos medios presumimos

\[\epsilon_r = K\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^2 \nonumber \]

donde\(K\) es una constante positiva de valor real. ¿Cuál es la velocidad de fase y grupo para una onda sinusoidalmente variable en este material?

Solución

Primero, nota

\[\begin{align} \beta &= \omega\sqrt{\mu_0\epsilon} = \omega\sqrt{\mu_0\epsilon_0}\sqrt{\epsilon_r} \nonumber \\ &= \frac{\sqrt{K}\cdot\omega^2}{\omega_0}\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \label{m0176_eex1beta}\end{align} \]

La velocidad de fase es:

\[v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{\omega_0}{\sqrt{K}\cdot\omega \sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \nonumber \]

Mientras que la velocidad del grupo es:

\[\begin{align*} v_g &= \frac{\partial\omega}{\partial\beta} = \left( \frac{\partial\beta}{\partial\omega} \right)^{-1} \\ &= \left( \frac{\partial}{\partial\omega} \frac{\sqrt{K}\cdot\omega^2}{\omega_0}\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \right)^{-1} \\ &= \left( 2\frac{\sqrt{K}\cdot\omega}{\omega_0}\sqrt{\mu_0\epsilon_0} \right)^{-1} \end{align*} \nonumber \]

Ahora simplificando usando la ecuación\ ref {m0176_eex1beta}:

\[\begin{align*} v_g &= \left( 2\frac{\beta}{\omega} \right)^{-1} \\ &= \frac{1}{2}\frac{\omega}{\beta} \\ &= \frac{1}{2}v_p\end{align*} \nonumber \]

Así, vemos que en este caso la velocidad del grupo es siempre la mitad de la velocidad de fase.

Otro ejemplo comúnmente encontrado para el que no\(v_g\) es necesariamente igual a\(v_p\) es la propagación de ondas guiadas; por ejemplo, ondas dentro de una guía de ondas. De hecho, tales ondas pueden exhibir una velocidad de fase mayor que la velocidad de la luz en un vacío,\(c\). Sin embargo, la velocidad del grupo permanece menor que\(c\), lo que significa que la velocidad a la que la información puede propagarse en una guía de ondas es menor que\(c\). No se violan leyes físicas, ya que el “límite de velocidad” universal\(c\) se aplica a la información, y no simplemente a los puntos de fase constante. (Consulte “Lectura adicional” al final de esta sección para obtener más información sobre este concepto.)

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1. Formalmente, “velocidad” es un vector que indica tanto la dirección como la velocidad de movimiento. Es una práctica común usar los términos “velocidad de fase” y “velocidad de grupo” aunque en realidad nos referimos simplemente a la velocidad de movimiento. La dirección es, por supuesto, en la dirección de propagación. ↩