6.7: Relaciones Generales para Ondas Unidireccionales

El análisis de ondas electromagnéticas en espacios cerrados —y en particular en guías de onda— es bastante difícil. La tarea se simplifica drásticamente si se puede suponer que la onda se propaga en una sola dirección; es decir, es unidireccional. Esto no implica necesariamente pérdida de generalidad. Por ejemplo: Dentro de una guía de ondas recta, las olas pueden viajar “hacia adelante” o “hacia atrás”. El principio de superposición permite considerar estos dos casos unidireccionales por separado, y luego simplemente sumar los resultados.

En esta sección se derivan las ecuaciones que relacionan los diversos componentes de una onda unidireccional. Las ecuaciones se derivarán en coordenadas cartesianas, anticipando la aplicación a guías de onda rectangulares. Sin embargo, la estrategia subyacente es de aplicación general.

Comenzamos con las ecuaciones de rizo de Maxwell:

\[\begin{align} \nabla\times\widetilde{\bf E} &= -j\omega\mu\widetilde{\bf H} \label{m0222_eMCE1} \\ \nabla\times\widetilde{\bf H} &= +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E} \label{m0222_eMCH1}\end{align} \]

Consideremos primero la Ecuación\ ref {M0222_EMCH1}. Resolviendo para\(\widetilde{\bf E}\), tenemos:

\[\widetilde{\bf E} = \frac{1}{j\omega\epsilon}\nabla\times\widetilde{\bf H} \label{m0222_eMCE2} \]

Se trata en realidad de tres ecuaciones; es decir, una para cada una de las\(\hat{\bf x}\)\(\hat{\bf y}\), y\(\hat{\bf z}\) componentes de\(\widetilde{\bf E}\), respectivamente. Para extraer estas ecuaciones, definamos los componentes de la siguiente manera:

\[\begin{align} \widetilde{\bf E} &= \hat{\bf x}\widetilde{E}_x + \hat{\bf y}\widetilde{E}_y + \hat{\bf z}\widetilde{E}_z \\ \widetilde{\bf H} &= \hat{\bf x}\widetilde{H}_x + \hat{\bf y}\widetilde{H}_y + \hat{\bf z}\widetilde{H}_z \end{align} \nonumber \]

Ahora aplicando la ecuación para curl en coordenadas cartesianas (Ecuación 12.2.7 en el Apéndice 12.2)

\ [\ nabla\ veces\ mathbf {A} =\ sombrero {\ mathbf {x}}\ izquierda (\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial z}\ derecha)
+\ hat {\ mathbf {y}}\ izquierda (\ frac {\ parcial A_ {x}} {parcial\ z} -\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial x}\ derecha)
+\ sombrero {\ mathbf {z}}\ izquierda (\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial A_ {x}} {\ parcial y}\ derecha)\ nonumber\]

encontramos:

\ begin {align}\ Widetilde {E} _x &=\ frac {1} {j\ omega\ épsilon}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial y} -\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _y} {\ parcial z}\ derecha)\ label {M0222_Eex}\\ tilde {E} _y &=\ frac {1} {j\ omega\ épsilon}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _x} {\ parcial z} -\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial x}\ derecha)\ etiqueta {M0222_eey}\\\ Widetilde {E} _z &=\ frac {1} {j\ omega\ épsilon}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _y} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _x}\ parcial y}\ derecha)\ etiqueta {M0222_Eez}\ end {align}

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la única dirección en la que viaja la ola es en la\(+\hat{\bf z}\) dirección. Si este es el caso, entonces\(\widetilde{\bf H}\), y posteriormente cada componente de\(\widetilde{\bf H}\), contiene un factor de\(e^{-jk_z z}\) dónde\(k_z\) está la constante de propagación de fase en la dirección de desplazamiento. Los factores restantes son independientes de\(z\); es decir, dependen solo de\(x\) y\(y\). Con esto en mente, descomponemos aún más componentes de la\(\widetilde{\bf H}\) siguiente manera:

\ begin {align}\ Widetilde {H} _x &=\ Widetilde {h} _x (x, y) e^ {-jk_z z}\ label {M0222_eHx}\\ tilde ancho {H} _y &=\ tilde ancho {h} _y (x, y) e^ {-jk_z}\ etiqueta {M0222_eHy}\\\ tilde ancho {H} _z &=\ tilde ancho {h} _z (x, y) e^ {-jk_z z}\ etiqueta {m0222_eHz}\ end {align}

donde\(\widetilde{h}_x(x,y)\)\(\widetilde{h}_y(x,y)\), y\(\widetilde{h}_z(x,y)\) representan los factores restantes. Una ventaja de esta descomposición es que las derivadas parciales con respecto a\(z\) reducir a operaciones algebraicas; es decir:

\ begin {align}\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _x} {\ parcial z} &= -jk_z\ Widetilde {h} _x (x, y) e^ {-jk_z z} = -jk_z\ Widetilde {H} _x\ label {M0222_EdzhX}\\ frac {\ parcial\ ancho de {H} _y} {\ parcial z} &= -jk_z\ Widetilde {h} _y (x, y) e^ {-jk_z z} = -jk_z\ Widetilde {H} _y\ etiqueta {M0222_Edzhy}\\ frac {\ parcial\ Widetilde { H} _z} {\ z parcial} &= -jk_z\ Widetilde {h} _z (x, y) e^ {-jk_z z} = -jk_z\ Widetilde {H} _z\ etiqueta {M0222_Edzhz}\ end {align}

Ahora sustituimos las Ecuaciones\ ref {M0222_EHx} -\ ref {M0222_eHz} en Ecuaciones\ ref {M0222_Eex} -\ ref {M0222_Eez} y luego usamos Ecuaciones\ ref {M0222_EdzhX} -\ ref {M0222_EdZhZ} para eliminar derivadas parciales con respecto a\(z\). Esto da como resultado:

\ begin {align}\ Widetilde {E} _x &=\ frac {1} {j\ omega\ epsilon}\ left (\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial y} + jk_z\ Widetilde {H} _y\ derecha)\ etiqueta {M0222_Eex2}\\ Widetilde {E} _y &=\ frac {1} {j\ omega\ épsilon}\ izquierda (- jk_z\ Widetilde {H} _x -\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial x}\ derecha)\\ tilde ancho {E} _z &=\ frac {1} {j\ omega\ épsilon}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _y} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _x} {\ parcial y}\ derecha)\ label {M0222_Eez2}\ end {align}

Aplicando el mismo procedimiento a la ecuación de curl para\(\widetilde{\bf H}\) (Ecuación\ ref {M0222_EMCE1}), se obtiene:

\ begin {align}\ Widetilde {H} _x &=\ frac {1} {-j\ omega\ mu}\ left (\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _z} {\ parcial y} + jk_z\ Widetilde {E} _y\ derecha)\ etiqueta {M0222_EHx2}\\\ Widetilde {H} _y &=\ frac {1} {-j\ omega\ mu}\ izquierda (- jk_z\ Widetilde {E} _x -\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _z} {\ parcial x}\ derecha)\ etiqueta {M0222_ehy2}\\\ Widetilde {H} _z &=\ frac {1} {-j\ omega\ mu}\ izquierda (\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _y} {\ parcial x} -\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _x} {\ parcial y}\ derecha)\ etiqueta {M0222_EHz2}\ final {align}

Las ecuaciones\ ref {M0222_Eex2} -\ ref {M0222_EHz2} constituyen un conjunto de ecuaciones simultáneas que representan las ecuaciones de rizo de Maxwell en el caso especial de una onda unidireccional (específicamente, una\(+\hat{\bf z}\) -viajera). Con solo un poco de manipulación algebraica de estas ecuaciones, es posible obtener expresiones para los\(\hat{\bf y}\) componentes\(\hat{\bf x}\) y de\(\widetilde{\bf E}\) y\(\widetilde{\bf H}\) que dependen solo de los\(\hat{\bf z}\) componentes de\(\widetilde{\bf E}\) y\(\widetilde{\bf H}\). Aquí están: ¹

\ begin {align}\ Widetilde {E} _x &=\ frac {-j} {k_ {\ rho} ^2}\ left (+k_z\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _z} {\ parcial x} +\ omega\ mu\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial} y derecha)\ etiqueta M0222_Eexu}\\\ tilde ancho {E} _y &=\ frac {+j} {k_ {\ rho} ^2}\ izquierda (-k_z\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _z} {\ parcial y} +\ omega\ mu\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial x}\ derecha)\ label {M0222_EEyu}\\\ tilde ancho {H} _x &=\ frac {+j} {k_ {\ rho} ^2}\ izquierda (\ omega\ épsilon\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _z} {parcial\ y} - k_z\ frac {\ parcial\ anchotilde {H} _z} {\ parcial x}\ derecha)\ label {M0222_eHxu}\\\ tilde ancho {H} _y &=\ frac {-j} {k_ {\ rho} ^2}\ left ( \ omega\ épsilon\ frac {\ parcial\ Widetilde {E} _z} {\ parcial x} + k_z\ frac {\ parcial\ Widetilde {H} _z} {\ parcial y}\ derecha)\ etiqueta {M0222_ehyu}\ end {align}

donde

\[k_{\rho}^2 \triangleq \beta^2 - k_z^2 \nonumber \]

¿Por qué definir un parámetro llamado “\(k_{\rho}\)”? Nota de la definición que\(\beta^2 = k_{\rho}^2 + k_z^2\). Además, señalar que esta ecuación es una expresión del teorema de Pitágoras, que relaciona las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Dado que\(\beta\) es la constante de propagación de fase “general”, y\(k_z\) es la constante de propagación de fase para la propagación en la\(\hat{\bf z}\) dirección en la guía de ondas,\(k_{\rho}\) debe estar asociada con la variación en los campos en direcciones perpendiculares a\(\hat{\bf z}\). En el sistema de coordenadas cilíndrico, esta es la\(\hat{\bf \rho}\) dirección, de ahí el subíndice “\(\rho\).” Veremos más adelante que\(k_{\rho}\) juega un papel especial en la determinación de la estructura de campos dentro de la guía de ondas, y esto proporciona una motivación adicional para identificar esta cantidad explícitamente en las ecuaciones de campo.

Resumiendo: Si sabes que la onda es unidireccional, entonces el conocimiento de los componentes de\(\widetilde{\bf E}\) y\(\widetilde{\bf H}\) en la dirección de propagación es suficiente para determinar cada uno de los componentes restantes de\(\widetilde{\bf E}\) y\(\widetilde{\bf H}\). Hay una captura, sin embargo: Para que esto arroje resultados sensibles,\(k_{\rho}\) puede que no sea cero. Entonces, irónicamente, estas expresiones no funcionan en el caso de una onda plana uniforme, ya que tal onda tendría\(\widetilde{E}_z=\widetilde{H}_z=0\) y\(k_z=\beta\) (so\(k_{\rho}=0\)), produciendo valores de cero dividido por cero para cada componente de campo restante. El mismo problema surge para cualquier otra onda electromagnética transversal (TEM). Para las ondas no TEM —y, en particular, las ondas unidireccionales en guías de ondas—\(\widetilde{E}_z\) o bien\(\widetilde{H}_z\) deben ser distintas de cero y\(k_{\rho}\) serán distintas de cero. En este caso, las Ecuaciones\ ref {M0222_EexU} -\ ref {M0222_eHyu} son tanto utilizables como útiles ya que permiten la determinación de todos los componentes de campo dados solo los\({\bf z}\) componentes.

De hecho, podemos aprovechar aún más esta simplicidad dando un paso adicional: Descomposición de la onda unidireccional en componentes eléctricos transversales (TE) y magnéticos transversales (TM). En este caso, TE significa simplemente eso\(\widetilde{E}_z=0\), y TM significa simplemente eso\(\widetilde{H}_z=0\). Para una onda que sea TE o TM, las ecuaciones\ ref {M0222_EexU} -\ ref {M0222_Ehyu} se reducen a un término cada una.

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1. Se anima a los estudiantes a derivarlos por sí mismos, solo se requiere álgebra. Consejo para comenzar: Para obtener\(\widetilde{E}_x\), comience con la ecuación\ ref {M0222_Eex2}, elimine\(\widetilde{H}_y\) usando la ecuación\ ref {M0222_eHy2}, y luego resuelva para\(\widetilde{E}_x\). ↩