9.7: Radiación de campo lejano de un dipolo de media onda

Una distribución de corriente simple e importante es la del dipolo delgado de media onda (HWD), que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Distribución de corriente del dipolo de media onda (HWD). (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

Esta es la distribución esperada en un cable recto delgado que tiene longitud\(L=\lambda/2\), donde\(\lambda\) está la longitud de onda. Esta distribución se describe matemáticamente de la siguiente manera:

\[\widetilde{I}(z) \approx I_0 \cos \left( \pi \frac{z}{L} \right) ~~~ \mbox{for} ~ \left|z\right|\le\frac{L}{2} \label{m0200_eHWD1} \]

donde\(I_0\) (SI unidades base de A) es una constante de valor complejo que indica la magnitud máxima de la corriente y su fase. Tenga en cuenta que la corriente es cero en los extremos del dipolo; es decir,\(\widetilde{I}(z) = 0\) para\(\left|z\right|= L/2\). Obsérvese también que esta distribución de “pulso coseno” es muy similar a la distribución triangular de la ESD, y recuerda a la variación sinusoidal de la corriente en una onda estacionaria.

Dado que\(L=\lambda/2\) para el HWD, la Ecuación\ ref {M0200_EHWD1} puede escribirse de manera equivalente:

\[\widetilde{I}(z) \approx I_0 \cos \left( 2\pi \frac{z}{\lambda} \right) \label{m0200_eHWD2} \]

El campo electromagnético irradiado por esta distribución de corriente podrá calcularse utilizando el método descrito en la Sección 9.6, en particular:

\[ \tilde{\mathbf{E}}(\mathbf{r}) \approx \hat{\theta} j \frac{\eta}{2} \frac{e^{-j \beta r}}{r}(\sin \theta) \cdot \left[ \frac{1}{\lambda} \int_{-L / 2}^{+L / 2} \tilde{I}\left(z^{\prime}\right) e^{+j \beta z^{\prime} \cos \theta} d z^{\prime}\right] \label{m0200_eESDE} \]

que es válido para puntos de campo\({\bf r}\) alejados del dipolo; es decir, para\(r\gg L\) y\(r\gg \lambda\). Para el HWD, la cantidad entre corchetes es

\[\frac{I_0}{\lambda}\int_{-\lambda/4}^{+\lambda/4} \cos \left( 2\pi \frac{z'}{\lambda} \right) e^{+j\beta z'\cos{\theta}} dz' \nonumber \]

La evaluación de esta integral es sencilla, pero tediosa. La integral reduce a

\[\frac{I_0}{\pi} \frac{\cos\left[\left(\pi/2\right)\cos\theta\right]}{\sin^2\theta} \nonumber \]

Sustitución en Ecuación\ ref {M0200_EESDE} rendimientos

\[\widetilde{\bf E}({\bf r}) \approx \hat{\bf \theta} j \frac{\eta I_0}{2\pi} \frac{\cos\left[\left(\pi/2\right)\cos\theta\right]}{\sin\theta} \frac{e^{-j\beta r}}{r} \nonumber \]

El campo magnético se puede determinar a partir de este resultado utilizando la ley de Ampere. Sin embargo, un método más sencillo es utilizar el hecho de que el campo eléctrico, el campo magnético y la dirección de propagación\(\hat{\bf r}\) son mutuamente perpendiculares y están relacionados por:

\[\widetilde{\bf H} = \frac{1}{\eta} \hat{\bf r} \times \widetilde{\bf E} \nonumber \]

Esta relación indica que el campo magnético será\(+\hat{\bf \phi}\) -dirigido.

La magnitud y polarización del campo radiado es similar a la del dipolo eléctrico corto (ESD; Sección 9.5). En la Figura se muestra una comparación de las magnitudes en cualquier plano radial que contenga el\(z\) eje\(\PageIndex{2}\).

Figura\(\PageIndex{2}\): Comparación de la magnitud del campo radiado de la HWD con la de un dipolo eléctrico corto también orientado a lo largo del eje z. Este resultado es para cualquier plano radial que incluya el eje z. (CC BY-SA 4.0; C. Wang)

Para cualquiera de las dos distribuciones de corriente, la magnitud máxima de los campos ocurre en el\(z=0\) plano. Para una corriente terminal dada\(I_0\), la magnitud máxima es mayor para el HWD que para el ESD. Ambas distribuciones de corriente producen magnitud cero a lo largo del eje del dipolo. Las características de polarización de los campos de ambas distribuciones de corriente son idénticas.

Lectura adicional:

• “Antena dipolo” (sección titulada “Dipolo de media onda”) en Wikipedia.