2.2: Propagación lineal de pulsos en medios isotrópicos
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Para medios dieléctricos no magnéticos, sin cargas libres y corrientes debido a las cargas libres, hay\(\vec{M} = \vec{0}, \vec{j} = \vec{0}, \rho = 0\). Obtenemos con\(\vec{D} = \epsilon (\vec{r}) \vec{E} = \epsilon_0 \epsilon_r (\vec{r}) \vec{E}\).
\[\vec{\nabla} \cdot (\epsilon (\vec{r}) \vec{E}) = 0. \nonumber \]
Además para los medios homogéneos, obtenemos\(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\) y la ecuación de onda (2.1.8) simplifica enormemente
\[\left ( \Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) \vec{E} = \mu_0 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P}. \label{eq2.2.2} \]
Esta es la ecuación de onda impulsada por la polarización en el medio. Si el medio es lineal y solo tiene una polarización inducida descrita por la susceptibilidad\(\chi (\omega) = \epsilon_r (\omega) - 1\), se obtiene en el dominio de la frecuencia
\[\hat{\vec{P}} (\omega) = \epsilon_0 \chi (\omega) \hat{\vec{E}} (\omega). \nonumber \]
Supuesto en Ecuación\ ref {eq2.2.2}
\[\left (\Delta + \dfrac{\omega^2}{c_0^2} \right )\hat{\vec{E}} (\omega) = -\omega^2 \mu_0 \epsilon_0 \chi (\omega) \hat{\vec{E}}, \nonumber \]
donde\(\hat{\vec{D}} = \epsilon_0 \epsilon_r (\omega) \hat{\vec{E}}\), y por lo tanto
\[\left (\Delta + \dfrac{\omega^2}{c_0^2} (1 + \chi (\omega)\right ) \widehat{\vec{E}} = 0, \nonumber \]
con el índice de refracción\(n\) y\(1 + \chi (\omega) = n^2\)
\[\left (\Delta + \dfrac{\omega^2}{c^2} \right ) \hat{\vec{E}} = 0 \nonumber \]
donde\(c = c_0/n\) está la velocidad de la luz en el medio.
Soluciones de ondas planas (ondas TEM-)
La solución compleja de onda plana de la Ecuación (2.2.6) viene dada por
\[\hat{\vec{E}}^{(+)} (\omega, \vec{r}) = \hat{\vec{E}}^{(+)} (\omega) e^{-j \vec{k} \cdot \vec{r}} = E_0 e^{-j \vec{k} \cdot \vec{r}} \cdot \vec{e} \nonumber \]
con
\[|\vec{k}|^2 = \dfrac{\omega^2}{c^2} = k^2. \nonumber \]
Así, la relación de dispersión viene dada por
\[k(\omega) = \dfrac{\omega}{c_0} n (\omega). \nonumber \]
Desde\(\vec{\nabla} \cdot \vec{E} = 0\), vemos eso\(\vec{k} \perp \vec{e}\). En el dominio del tiempo, obtenemos
\[\vec{E}^{(+)} (\vec{r}, t) = E_0 \vec{e} \cdot e^{j\omega t - j \vec{k} \cdot \vec{r}} \nonumber \]
con
\[k = 2\pi /\lambda, \nonumber \]
donde\(\lambda\) es la longitud de onda,\(\omega\) la frecuencia angular,\(\vec{k}\) el vector de onda,\(\vec{e}\) el vector de polarización y\(f = \omega /2\pi\) la frecuencia. De la Ecuación (2.1.2), obtenemos para el campo magnético
\[-j \vec{k} \times E_0 \vec{e} e^{j(\omega t - \vec{k} \vec{r})} = -j \mu_0 \omega \vec{H}^{(+)}, \nonumber \]
o
\[\vec{H}^{(+)} = \dfrac{E_0}{\mu_0 \omega} e^{j(\omega t - \vec{k}\vec{r})} \vec{k} \times \vec{e} = H_0 \vec{h} e^{j(\omega t - \vec{k}\vec{r})} \nonumber \]
con
\[\vec{h} = \dfrac{\vec{k}}{|k|} \times \vec{e} \nonumber \]
y
\[H_0 = \dfrac{|k|}{\mu_0 \omega} E_0 = \dfrac{1}{Z_F E_0}. \nonumber \]
La impedancia natural es
\[Z_F = \mu_0 c = \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\epsilon_0 \epsilon_r}} = \dfrac{1}{n} Z_{F_0} \nonumber \]
con la impedancia de espacio libre
\[Z_{F_0} = \sqrt{\dfrac{\mu_0}{\epsilon_0}} = 377 \Omega. \nonumber \]
Para una onda que se propaga hacia atrás con\(\vec{E}^{(+)} (\vec{r}, t) = E_0 \vec{e} \cdot e^{j \omega t + j \vec{k} \cdot \vec{r}}\) hay\(\vec{H}^{(+)} = H_0 \vec{h} e^{j (\omega t - \vec{k} \vec{r})}\) con
\[H_0 = -\dfrac{|k|}{\mu_0 \omega} E_0. \nonumber \]
Tenga en cuenta que los vectores\(\vec{e}, \vec{h}\) y\(\vec{k}\) forman un triédrico ortogonal,
\[\vec{e} \perp \vec{h}, \vec{k} \perp \vec{e}, \vec{k} \perp \vec{h}. \nonumber \]
Notaciones Complejas
\(\vec{E}, \vec{H}\)Los campos físicos son reales:
\[\vec{E} (\vec{r}, t) = \dfrac{1}{2}\left (\vec{E}^{(+)} (\vec{r}, t) + \vec{E}^{(-)} (\vec{r}, t)\right ) \nonumber \]
con\(\vec{E}^{(-)} (\vec{r}, t) = \vec{E}^{(+)} (\vec{r}, t)^*\). Se puede obtener una forma temporal general agregando diferentes componentes espectrales,
\[\vec{E}^{(+)} (\vec{r}, t) = \int_{0}^{\infty} \dfrac{d\omega}{2\pi} \hat{\vec{E}}^{(+)} (\omega) e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \nonumber \]
Correspondientemente, el campo magnético viene dado por
\[\vec{H} (\vec{r}, t) = \dfrac{1}{2} \left (\vec{H}^{(+)} (\vec{r}, t) + \vec{H}^{(-)} (\vec{r}, t) \right ) \nonumber \]
con\(\vec{H}^{(-)} (\vec{r}, t) = \vec{H}^{(+)} (\vec{r}, t)^*\). La solución general viene dada por
\[\vec{H}^{(+)} (\vec{r}, t) = \int_{0}^{\infty} \dfrac{d\omega}{2\pi} \hat{\vec{H}}^{(+)} (\omega) e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \nonumber \]
con
\[\hat{\vec{H}}^{(+)} (\omega) = \dfrac{E_0}{Z_F} \vec{h}. \nonumber \]
Vectores de Poynting, densidad de energía e intensidad para campos de onda plana
| Cantidad | Campos reales | Campos complejos\(\langle \rangle_t\) |
|---|---|---|
| Densidad de energía | \(w = \dfrac{1}{2} (\epsilon_0 \epsilon_r \vec{E}^2 + \mu_0 \mu_r \vec{H}^2)\) | \ (\ langle\ rangle_t\)” class="lt-eng-44643">\(w = \dfrac{1}{4} (\epsilon_0 \epsilon_r |\vec{E}^{(+)}|^2 + \mu_0 \mu_r |\vec{H}^{(+)}|^2)\) |
| Vector de poynting | \(\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}\) | \ (\ langle\ rangle_t\)” class="lt-eng-44643">\(\vec{T} = \dfrac{1}{2} \vec{E}^{(+)} \times (\vec{H}^{(+)})^*\) |
| Intensidad | \(I = |\vec{S}| = cw\) | \ (\ langle\ rangle_t\)” class="lt-eng-44643">\(I = |vec{T}| = cw\) |
| Contras de Energía | \(\dfrac{\partial w}{\partial t} + \vec{\nabla} \vec{S} = 0\) | \ (\ langle\ rangle_t\)” class="lt-eng-44643">\(\dfrac{\partial w}{\partial t} + \vec{\nabla} \vec{T} = 0\) |
Para\(\vec{E}^{(+)} (\vec{r}, t) = E_0 \vec{e}_x e^{j (\omega t - kz)}\) obtener la densidad de energía
\[w = \dfrac{1}{2} \epsilon_r \epsilon_0 |E_0|^2, \nonumber \]
el vector de poynting
\[\vec{T} = \dfrac{1}{2Z_F} |E_0|^2 \vec{e}_z \nonumber \]
y la intensidad
\[I = \dfrac{1}{2Z_F} |E_0|^2 = \dfrac{1}{2} Z_F |H_0|^2. \nonumber \]
Susceptibilidad dieléctrica
La polarización viene dada por
\[\vec{P}^{(+)} (\omega) = \dfrac{\text{dipole moment}}{\text{volume}} = N \cdot \langle \vec{p}^{(+)} (\omega)\rangle = \epsilon_0 \chi (\omega) \vec{E}^{(+)} (\omega), \nonumber \]
donde\(N\) es densidad de unidades elementales y\(\langle \vec{p} \rangle\) es el momento dipolo promedio de unidad (átomo, molécula,...).
Modelo de oscilador armónico clásico
El oscilador armónico amortiguado accionado por una fuerza eléctrica en una dimensión,\(x\), se describe por la ecuación diferencial
\[m \dfrac{d^2 x}{dt^2} + 2 \dfrac{\omega_0}{Q} m \dfrac{dx}{dt} + m \omega_0^2 x = e_0 E(t), \nonumber \]
donde\(E(t) = \hat{E} e^{j \omega t}\). Mediante el uso del ansatz\(x(t) = \hat{x} e^{j\omega t}\), obtenemos para la amplitud compleja del momento dipolo\(p = e_0 x(t) = \hat{p} e^{j\omega t}\)
\[\hat{p} = \dfrac{\tfrac{e_0^2}{m}}{(\omega_0^2 - \omega^2) + 2j \tfrac{\omega_0}{Q} \omega} \hat{E}. \nonumber \]
Por la susceptibilidad, obtenemos
\[\chi (\omega) = \dfrac{N \tfrac{e_0^2}{m} \tfrac{1}{\epsilon_0}}{(\omega_0^2 - \omega^2) + 2j \omega \tfrac{\omega_0}{Q}} \nonumber \]
y por lo tanto
\[\chi (\omega) = \dfrac{\omega_p^2}{(\omega_0^2 - \omega^2) + 2j \omega \tfrac{\omega_0}{Q}}\label{eq2.2.32} \]
con la frecuencia plasmática\(\omega_p\), determinada por\(\omega_p^2 = N e_0^2 /m \epsilon_0\). La Figura 2.1 muestra la parte real y la parte imaginaria de la susceptibilidad clásica (Ecuación\(\ref{eq2.2.32}\)).
Tenga en cuenta que hay un pequeño cambio de resonancia debido a la pérdida. Fuera de la resonancia, la parte imaginaria se acerca muy rápidamente a cero. No así la parte real, se acerca a un valor constante por\(\omega_p^2/\omega_0^2\) debajo de la resonancia, y se acerca a cero por encima de la resonancia, pero más lenta que la parte real, es decir, fuera de resonancia todavía hay una contribución al índice pero prácticamente ninguna pérdida.