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4.3: Oscilaciones de estabilidad y relajación

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    84916
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    ¿Cómo alcanza el láser el estado estacionario, una vez que se ha producido una perturbación?

    \[g = g_s + \Delta g \nonumber \]

    \[P = P_s + \Delta P \nonumber \]

    Sustitución en Eqs. (4.1.9-4.1.10) y la linealización lleva a

    \[\dfrac{d \Delta P}{dt} = \pm 2 \dfrac{P_s}{T_R} \Delta g \nonumber \]

    \[\dfrac{d \Delta g}{dt} = -\dfrac{g_s}{E_{sat}} \Delta P - \dfrac{1}{\tau_{stim}} \Delta g \nonumber \]

    donde\(\tfrac{1}{\tau_{stim}} = \tfrac{1}{\tau_L} (1 + \tfrac{P_s}{P_{sat}})\) está la vida estimulada. Las perturbaciones decaen o crecen como

    \[\left ( \begin{matrix} \Delta P \\ \Delta g \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} \Delta P_0 \\ \Delta g_0 \end{matrix} \right ) e^{st}. \nonumber \]

    lo que lleva al sistema de ecuaciones (usando\(g_s = l\))

    \[A \left ( \begin{matrix} \Delta P_0 \\ \Delta g_0 \end{matrix} \right ) = \left ( \begin{matrix} -s & 2 \dfrac{P_s}{T_R} \\ -\tfrac{T_R}{E_{sat} 2 \tau_p} & -\tfrac{1}{\tau_{stim}} - s \end{matrix} \right ) \left ( \begin{matrix} \Delta P_0 \\ \Delta g_0 \end{matrix} \right ) = 0 \nonumber \]

    Solo hay una solución, si el determinante de la matriz de coeficientes desaparece, i.e.

    \[s \left ( \dfrac{1}{\tau_{stim}} + s\right ) + \dfrac{P_s}{E_{sat} \tau_p} = 0, \nonumber \]

    que determina las tasas de relajación o frecuencias eigen del sistema linealizado

    \[s_{1/2} = -\dfrac{1}{2\tau_{stim}} \pm \sqrt{\left ( \dfrac{1}{2\tau_{stim}} \right)^2 - \dfrac{P_s}{E_{sat} \tau_p}}. \nonumber \]

    Al introducir el parámetro de la bomba\(r = 1 + \tfrac{P_s}{P_{sat}}\), que nos dice con qué frecuencia bombeamos el láser sobre el umbral, las frecuencias eigen se pueden reescribir como

    \[s_{1/2} = -\dfrac{1}{2\tau_{stim}} \left ( 1 \pm j \sqrt{\dfrac{4(r - 1)}{r} \dfrac{\tau_{stim}}{\tau_p} - 1} \right ), \nonumber \]

    \[= -\dfrac{r}{2\tau_L} \pm j \sqrt{\dfrac{(r - 1)}{\tau_L \tau_p} - \left ( \dfrac{r}{2\tau_L} \right )^2} \nonumber \]

    Hay varias conclusiones que sacar:

    • (i): El estado estacionario\((0, g_0)\) para\(g_0 < l\) y\((P_s, g_s)\) para\(g_0 > l\) son siempre estables, es decir\(\text{Re} \{s_i\} < 0\).
    • (ii): Para los láseres bombeados por encima del umbral,\(r > 1\), la tasa de relajación se vuelve compleja, es decir, hay oscilaciones de relajación
      \[s_{1/2} = - \dfrac{1}{2\tau_{stim}} \pm j \sqrt{\dfrac{1}{\tau_{stim} \tau_p}} \nonumber \]
      con frecuencia\(\omega_R\) igual a la media geométrica de la vida útil estimulada inversa y la vida útil del fotón
      \[\omega_R = \sqrt{\dfrac{1}{\tau_{stim} \tau_p}} \nonumber \]
      Definitivamente hay un rango de parámetros de potencias de bombeo para láser con larga vida útil en estado superior, es decir,\(\tfrac{r}{4\tau_L} < \tfrac{1}{\tau_p}\)
    • Si el láser puede bombearse lo suficientemente fuerte, es decir,\(r\) puede hacerse lo suficientemente grande como para que la vida útil estimulada sea tan corta como el tiempo de decaimiento de la cavidad, las oscilaciones de relajación desaparecen.

    La razón física de las oscilaciones de relajación y las inestabilidades posteriores es que la ganancia reacciona lentamente en el campo de luz, es decir, la vida útil estimulada es larga en comparación con el tiempo de decaimiento de la cavidad.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\) diode-pumped Nd: YAG-Laser

    \[\lambda_0 = 1064\ nm, \sigma = 4 \cdot 10^{-20} cm^2, A_{eff} = \pi (100 \mu m \times 150 \mu m), r = 50\nonumber \]

    \[\tau_L = 1.2 ms, l = 1%, T_R = 10ns\nonumber \]

    De la Eq. (4.1.4) obtenemos:

    \[I_{sat} = \dfrac{hf_L}{\sigma \tau_L} = 3.9 \dfrac{kW}{cm^2}, P_{sat} = I_{sat} A_{eff} =1.8 W, P_s = 91.5W\nonumber \]

    \[\tau_{stim} = \dfrac{\tau_L}{r} = 24 \mu s, \tau_p = 1 \mu s, \omega_R = \sqrt{\dfrac{1}{\tau_{stim} \tau_p}} = 2\cdot 10^5 s^{-1}. \nonumber \]

    La Figura 4.4 muestra las fluctuaciones típicamente observadas de la salida de un láser de estado sólido con un tiempo de vida superior largo de varios 100 μs en el dominio de tiempo y frecuencia.

    También se puede definir un factor de calidad para las oscilaciones de relajación por la relación de imaginario a parte real de las frecuencias eigen complejas 4.29

    \[Q = \sqrt{\dfrac{4\tau_L}{\tau_p} \dfrac{(r - 1)}{r^2}},\nonumber \]

    que puede ser tan grande como varios miles para láseres de estado sólido con largas vidas de estado superior en el rango de milisegundos.

    Imagen eliminada debido a restricciones de derechos de autor.

    Por favor vea:

    Keller, U., Física láser ultrarrápida, Instituto de Electrónica Cuántica, Instituto Federal Suizo de Tecnología, ETH Hönggerberg—HPT, CH-8093 Zurich, Suiza.

    Figura 4.4: Oscilaciones de relajación típicamente observadas en el dominio de tiempo y frecuencia.


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