8.3: Desglose en múltiples pulsos

En el tratamiento del modo de bloqueo con absorbedores saturables rápidos y lentos, solo nos concentramos en la estabilidad frente a las fluctuaciones de energía (bloqueo de modo Q-conmutado) y contra la ruptura de radiación cw o continuo. Otra inestabilidad frecuentemente observada es la ruptura en múltiples pulsos. La existencia de tal mecanismo es obvia si están presentes procesos de conformación de pulso de solitón. Si asumimos que el pulso está completamente conformado por los procesos de conformación de pulso en forma de solitario, el ancho de pulso FWHM viene dado por

\[\tau_{FWHM} = 1.76 \dfrac{4|D_2|}{\delta W}.\label{eq8.3.1} \]

donde\(W\) denota la energía del pulso. \(D_2\)la dispersión negativa y\(δ\) el coeficiente de modulación de autofase. Al aumentar la energía del pulso, por supuesto el absorbedor se satura más fuertemente, lo que conduce a pulsos más cortos que se ajustan al absorbedor saturable y a la fórmula del solitón. En cierto punto, el absorbedor se saturará y no puede proporcionar ninguna estabilización de pulso adicional. Sin embargo, la no linealidad de Kerr puede no saturarse aún y, por lo tanto, la fórmula del solitón dicta un ancho de pulso cada vez menor para aumentar la energía del pulso. Tal proceso continúa, hasta que el continuo se abre paso, porque la pérdida de solitón se vuelve mayor que la pérdida de continuo, o el pulso se descompone en dos pulsos. Los pulsos tendrán energía reducida por pulso y cada uno será más largo y experimentará una pérdida reducida debido al ancho de banda de ganancia finita. Debido a la energía de pulso reducida, cada uno de los pulsos sufrirá mayores pérdidas en el absorbedor, ya que ya no está tan fuertemente saturado como antes. Sin embargo, una vez que el absorbedor ya está sobresaturado por la solución de pulso único, también estará fuertemente saturado para la solución de doble pulso. La pérdida de filtro debida al ancho de banda de ganancia finita se reduce en gran medida para la solución de doble pulso. Como resultado, el pulso se dividirá en pulsos dobles. Para encontrar el punto de transición donde se produce la ruptura en múltiples pulsos, anotamos la pérdida de ida y vuelta por las pérdidas de ganancia y filtro y el absorbedor saturable según 6.35

\[l_m = \dfrac{D_f}{3\tau_m^2} + q_s (W_m), \nonumber \]

donde,\(q_s (W_m)\) es la pérdida de saturación experimentada por el pulso cuando se propaga a través del absorbedor saturable. Esta pérdida de saturación viene dada por

\[q_s (W) = \dfrac{1}{W} \int_{-\infty}^{+\infty} q(T, t)|A_s (t)|^2 dt.\label{eq8.3.3} \]

Esta expresión se puede evaluar fácilmente para el caso de un pulso de estado estacionario en forma de sech en el modelo de absorbedor saturable rápido con

\[q_{fast} (t) = \dfrac{q_0}{1 + \tfrac{|A(t)|^2}{P_A}}, \text{where } P_A = \dfrac{E_A}{\tau_A}. \nonumber \]

y el modelo de absorbedor saturable lento, donde se puede descuidar el término de relajación debido a\(\tau_A \gg \tau\).

\[q_{slow} (t) = q_0 \exp \left [-\dfrac{1}{E_A} \int_{-\infty}^{t} |A_s (t')|^2 dt' \right ]. \nonumber \]

Para el absorbedor lento 8.8 las pérdidas del absorbedor (\(\ref{eq8.3.3}\)) pueden evaluarse independientemente de la forma del pulso a ser

\[q_{s.slow} (W) = q_0 \dfrac{1 - \exp [-\tfrac{W}{E_A}]}{\tfrac{W}{E_A}}.\label{eq8.3.6} \]

Así, para un absorbedor lento las pérdidas dependen únicamente de la energía del pulso. Por el contrario, para un absorbedor rápido, se debe tener en cuenta la forma del pulso y, para un pulso en forma de sech, se obtiene [14]

\[q_{s, fast} (W) = q_0 \sqrt{\dfrac{1}{\alpha (1 + \alpha)}} \text{tanh}^{-1} [\sqrt{\dfrac{\alpha}{1 + \alpha}}], \text{ with} \alpha = \dfrac{W}{2P_A \tau},\label{eq8.3.7} \]

y la energía de pulso de un pulso de la solución de pulso múltiple. La energía se determina a partir del balance de pérdida de ganancia total

\[\dfrac{g_0}{1 + \tfrac{m W_m}{P_L T_R}} = l + l_m. \nonumber \]

La mayoría de las veces, las pérdidas saturables del absorbedor son mucho menores que las pérdidas debidas al acoplador de salida. En ese caso las pérdidas totales se fijan independientemente de la saturación del absorbedor y de las pérdidas del filtro. Entonces la potencia promedio no depende del número de pulsos en la cavidad. Si este es el caso, un pulso de la solución de doble pulso tiene aproximadamente la mitad de la energía de la solución de pulso único, y, por lo tanto, el ancho del pulso doble es dos veces más grande que el del pulso único según (\(\ref{eq8.3.1}\)). Luego, las pérdidas de filtro y absorbedor para la solución de pulso simple y doble son dadas por

\[l_1 = \dfrac{D_f}{3\tau_1^2} +q_s (W_1), \nonumber \]

\[l_2 = \dfrac{D_f}{12\tau_1^2} + q_s (\dfrac{W_1}{2}). \nonumber \]

La solución de un solo pulso es estable contra la ruptura en pulsos dobles siempre que

\[l_1 \le l_2 \nonumber \]

se cumple. Este es el caso, si la diferencia en las pérdidas de filtro entre la solución de pulso simple y doble es menor que la diferencia en las pérdidas del absorbedor saturable

\[\dfrac{D_f}{4\tau_1^2} < \Delta q_s (W) = q_s (\dfrac{W}{2}) - q_s (W).\label{eq8.3.12} \]

La Figura 8.12 muestra la diferencia en la absorción saturable para un solo pulso y una solución de pulso doble como una función de la relación entre la potencia pico de pulso único y la potencia de saturación para un absorbedor rápido y como una función de la relación entre la energía de pulso único y la energía de saturación para un lento absorbedor. Así, para ambos casos la relación óptima de saturación, en la que se produce la mayor discriminación entre pulsos simples y dobles y, por lo tanto, el pulso más corto antes de que se produzca la ruptura en múltiples pulsos, es de aproximadamente 3. Tenga en cuenta que para llegar a este número absoluto, asumimos que la cantidad de absoción saturable es neglegible en comparación con las otras pérdidas intracavitarias, de manera que el nivel de ganancia saturada y la dispersión de ganancia y filtro son fijos.

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Véase:
Kartner, F. X., J. A. d. Au, y U. Keller. “Bloqueo de modo con absorbedores saturables lentos y rápidos—

Cuál es la diferencia”. Temas Selectos en Electrónica Cuántica 4 (1998): 159.

Figura 8.12: Diferencia en la pérdida experimentada por un pulso en forma de sech en un absorbedor saturable lento (- - -) y rápido (____) para una energía de pulso o potencia pico dada, respectivamente.

En este punto óptimo de operación, la discriminación contra la ruptura múltiple de un absorbedor rápido es aproximadamente 50% mayor que el valor del absorbedor lento. Dado que las escalas mínimas de ancho de pulso con la raíz cuadrada de\(\Delta_{q_s} (W)\), ver Ecuación (\(\ref{eq8.3.12}\)), el ancho de pulso mínimo del absorbedor lento es solo aproximadamente 22% más largo que con un absorbedor saturable rápido igualmente fuerte. La Figura 8.12 también predice que un modo láser bloqueado por un absorbedor saturable rápido es mucho más estable contra la ruptura de múltiples pulsos que un absorbedor saturable lento si está sobresaturado. Esto se debe a que un absorbedor saturable rápido satura con la potencia pico del pulso en comparación con un absorbedor saturable lento, que satura con la energía del pulso. Cuando el pulso se descompone en un pulso el doble de tiempo con media energía en cada uno, la potencia pico de los pulsos individuales cambia en un factor de cuatro. Por lo tanto, la discriminación entre pulsos largos y cortos es mayor en el caso de un absorbedor saturable rápido, especialmente para una saturación fuerte. Obsérvese que la Figura 8.12 se basa en las fórmulas de saturación simples para absorbedores saturables rápidos y lentos Eqs. (\(\ref{eq8.3.6}\)) y (\(\ref{eq8.3.7}\)). Comparamos estas predicciones con simulaciones numéricas y observaciones experimentales realizadas con un láser Nd: vidrio [15] [16].

El láser Nd:vidrio descrito en la ref. [15] fue modebloqueado por un absorbedor saturable que mostró un rápido tiempo de recuperación de\(\tau_A = 200\) fs, una profundidad de modulación de\(q_0 = 0.005\) y una energía de saturación de\(E_A = 17\ nJ\). Los otros parámetros del láser se pueden encontrar en [16]. Sin la formación de pulsos solitonales (GDD y SPM están apagados), se prevé que el láser produzca alrededor de 200 fs pulsos cortos con un solo pulso por ida y vuelta, muy similar a lo que se discutió en el modo absorbedor saturable rápido bloqueando en el Capítulo 6. La dinámica se vuelve muy diferente si se incluyen en la simulación el GDD negativo y el SPM positivo (ver Figura 8.13)

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Véase:
Kartner, F. X., J. A. d. Au, y U. Keller. “Bloqueo de modo con absorbedores saturables lentos y rápidos—

Cuál es la diferencia”. Temas Selectos en Electrónica Cuántica 4 (1998): 159.

Figura 8.13: Cada traza muestra el perfil de intensidad de pulso obtenido después de 20,000 ciclos de ida y vuelta de cavidad en un láser de Nd: vidrio dioapupulado según [15]. Cuando el láser alcanza el régimen de doble pulso, los pulsos multipel están en constante movimiento uno con respecto al otro. El tren de pulsos resultante ya no es estacionario en ningún sentido.

Al aumentar la ganancia de señal pequeña, es decir, aumentar la energía del pulso, el solitón se acorta a 80 fs debido a la conformación del pulso similar al solitón, (Figura 8.13).

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Véase:
Kartner, F. X., J. A. d. Au, y U. Keller. “Bloqueo de modo con absorbedores saturables lentos y rápidos—

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Figura 8.14: Ancho de pulso de estado estacionario (\(\circledR\)) y producto de ancho de banda de tiempo (o) para un modeloláser Nd: vidrio bloqueado por un absorbedor saturable con un tiempo de recuperación de 200 fs con GDD y SPM incluidos, mostrados como una función de la energía del pulso intracavitario. El producto tiempo-ancho de banda solo es significativo en el régimen de pulso único, donde se muestra. Los pulsos son pulsos sech-limitados casi transformados. El ancho de pulso en el régimen de pulsos múltiples solo es único en la región de parámetros donde se logran múltiples pulsos de altura y ancho similares. Los pulsos se descomponen en múltiples pulsos cuando el absorbedor está aproximadamente tres veces saturado.

El ancho de pulso sigue muy bien la relación solitón (\(\ref{eq8.3.1}\)), (línea discontinua y punteada). Los pulsos se vuelven más cortos, en aproximadamente un factor de 2.5, que sin GDD y SPM antes de que el pulso se descomponga en pulsos dobles más largos. La ruptura del pulso en pulsos dobles ocurre cuando el absorbedor está aproximadamente dos veces saturado, cerca del punto donde se puede esperar el pulso más corto de acuerdo con la discusión anterior. Las figuras 8.13 muestran, que el punto de ruptura para los pulsos dobles también está muy cerca de la inestabilidad para la ruptura continua. De hecho, el primer tren de pulsos después de la ruptura a una pequeña ganancia de señal de\(g_0 = 0.09\) muestra la coexistencia de un pulso más largo y uno más corto, lo que indica ruptura continua. Pero los siguientes cinco rastros son pulsos dobles de igual altura y energía. Para una saturación aún más fuerte del absorbedor, los pulsos dobles se rompen en pulsos triples y así sucesivamente. Entonces la dinámica se vuelve aún más compleja. Este comportamiento se ha observado en detalle en un láser Nd: vidrio [15], (ver Figura 8.15), así como en láseres Cr4+:YAG [17]. Las simulaciones que se acaban de discutir coinciden con los parámetros de los experimentos Nd: Glass.

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Kartner, F. X., J. A. d. Au, y U. Keller. “Bloqueo de modo con absorbedores saturables lentos y rápidos—

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Figura 8.15: Ancho de pulso en un láser Nd: vidrio [15] en función de la energía almacenada intracavitaria, es decir, energía de pulso para un solo pulso por ida y vuelta. Puntos mea- valores seguros y ajustes de línea continua para una corriente de pulsos solitonlike de un solo y doble pulso.

La Figura 8.15 muestra claramente el escalado del ancho de pulso observado de acuerdo con la fórmula del solitón hasta que los pulsos se rompen en una relación de saturación de aproximadamente 2. Observe, que el tiempo de recuperación del absorbedor de 200 fs no es mucho más corto que el ancho de pulso logrado. Sin embargo, la relación óptima de saturación es cercana a la esperada de aproximadamente 3. La ruptura en pulsos puros dobles y triples se puede observar más claramente si se elige el tiempo de recuperación del absorbedor para que sea más corto, de manera que se evite la ruptura continua. La Figura 8.16 muestra los resultados finales de simulación obtenidos después de 20,000 viajes de ida y vuelta en la cavidad, si reducimos el tiempo de recuperación del absorbedor de 200 fs a 100 fs, nuevamente para diferentes ganancias de señal pequeña, por ejemplo, niveles de potencia intracavitaria y energías de pulso. Ahora, observamos una ruptura limpia de la solución de un solo pulso en pulsos dobles y a niveles de potencia intracavitaria aún más altos la ruptura en pulsos triples sin generación continua en el medio. Tenga en cuenta que el espaciamiento entre los pulsos es muy diferente de lo que se ha observado para el tiempo de respuesta de 200 fs. Esta separación dependerá de los detalles del absorbedor y también puede verse influenciada por la saturación de ganancia dinámica aunque en este caso solo sea un efecto muy pequeño [17].

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Kartner, F. X., J. A. d. Au, y U. Keller. “Bloqueo de modo con absorbedores saturables lentos y rápidos—

Cuál es la diferencia”. Temas Selectos en Electrónica Cuántica 4 (1998): 159.

Figura 8.16: Cada traza muestra el perfil de intensidad de pulso obtenido después de 20,000 ciclos de ida y vuelta de cavidad para un absorbedor con un tiempo de respuesta\(\tau_A = 100\) fs para diferentes valores de la ganancia de señal pequeña. Las simulaciones siempre se inician con un pulso inicial de 1 ps que se muestra como la primera traza. Tenga en cuenta que solo las soluciones de un solo pulso son estacionarias.