Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

2.3: Impedancia en serie

  • Page ID
    85868
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Quizás el primer problema práctico que enfrentamos es determinar la impedancia efectiva de un bucle de la serie RLC. Para los arrancadores, las resistencias en serie simplemente agregan. Las reactancias también agregan pero hay que tener cuidado con el signo. La reactancia inductiva y la reactancia capacitiva se cancelarán parcialmente entre sí. Así, la impedancia en forma rectangular es la suma de los componentes resistivos para la porción real, más la suma de las reactancias para la porción imaginaria (\(j\)). A menudo nos resultará conveniente expresar este valor en forma polar.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    ¿Cuál es la impedancia de la red mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\) a una frecuencia de 15 kHz?

    clipboard_e61845c3b3ceabc88cb8b6257db69040f.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    Primero necesitamos encontrar el valor de la reactancia capacitiva.

    \[X_C = − j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]

    \[X_C = − j \frac{1}{2\pi 15kHz 910 pF} \nonumber \]

    \[X_C = − j 11.66 k \Omega \nonumber \]

    Como solo hay una resistencia y un condensador, el resultado en forma rectangular es\(47 k −j11.66 k\Omega\). En forma polar esto es:

    \[\text{Magnitude } = \sqrt{\text{Real}^2+\text{Imaginary}^2} \nonumber \]

    \[\text{Magnitude } = \sqrt{47k^2+(−11.66 k)^2} \nonumber \]

    \[\text{Magnitude } = 48.42 k \nonumber \]

    \[\theta = \tan^{−1} \left( \frac{\text{Imaginary}}{\text{Real}} \right) \nonumber \]

    \[\theta = \ tan^{−1} \left( \frac{−11.66 k}{47 k} \right) \nonumber \]

    \[\theta = −13.9^{\circ}\nonumber \]

    Es decir, en forma polar\(Z = 48.42E3\angle −13.9^{\circ} \Omega\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Determinar la impedancia efectiva del circuito mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\) si la frecuencia de la fuente es de 2 kHz. Repita esto para frecuencias fuente de 200 Hz y 20 kHz. Finalmente, expresar los resultados tanto en forma rectangular como polar.

    clipboard_e3a724133ab5fa84f62250186ecdecc5d.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    El primer paso es encontrar los valores de reactancia a 2 kHz.

    \[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]

    \[X_L = j 2\pi 2000Hz 15mH \nonumber \]

    \[X_L = j 188.5 \Omega \nonumber \]

    \[X_C = − j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]

    \[X_C = − j \frac{1}{2\pi 2000 Hz 270 nF} \nonumber \]

    \[X_C = − j 294.7 \Omega \nonumber \]

    Combina reales con reales y\(j\) términos con\(j\) términos.

    \[Z = R+ j X_L − j X_C \nonumber \]

    \[Z = 500+ j 188.5 − j 294.7 \Omega \nonumber \]

    \[Z \approx 500− j 106.2\Omega = 511.2\angle −12^{\circ} \Omega \nonumber \]

    A 200 Hz\(X_C\) será diez veces más grande y\(X_L\) será diez veces menor.

    \[X_C = −j2947 \Omega \nonumber \]

    \[X_L = j18.85 \Omega \nonumber \]

    \[Z = 500 + j18.85 −j2947 \Omega \nonumber \]

    \[Z \approx 500 −j2928 \Omega = 2970\angle −80.3^{\circ} \Omega \nonumber \]

    A 20 kHz\(X_C\) será diez veces más pequeño y\(X_L\) será diez veces más grande.

    \[X_C = −j29.47 \Omega \nonumber \]

    \[X_L = j1885 \Omega \nonumber \]

    \[Z = 500 + j1885 −j29.47 \Omega \nonumber \]

    \[Z \approx 500 + j1856 \Omega = 1922\angle 74.9^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Para ayudar a visualizar esta impedancia compleja, es útil construir una gráfica fasorial como se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). Esto lo haremos para el caso inicial de 2 kHz. El componente resistivo es el vector horizontal de longitud 500 (amarillo). \(X_L\)es recto hacia arriba (azul) en\(188.5\angle 90^{\circ}\), y\(X_C\) es recto hacia abajo (rojo) en\(294.7\angle −90^{\circ}\). Al copiar el\(X_L\) vector y luego desplazarlo hacia abajo y junto a\(X_C\), se puede ver la diferencia entre los dos componentes reactivos (componente púrpura directamente encima de la\(X_L\) copia). Esta Figura\(\PageIndex{2}\) Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\). suma reactiva luego se copia y se desplaza a la derecha para unir el componente resistivo para mostrar el resultado final. Esto es\(511.2\angle −12^{\circ} \Omega\) (verde), como se esperaba.

    clipboard_e539019085ecdb0ccf077db9d10ed0107.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Construcción de la gráfica de impedancia para la red de la Figura\(\PageIndex{2}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Determinar la impedancia de la red mostrada en la Figura\(\PageIndex{4}\). Si la frecuencia de entrada es de 1 kHz, determine los valores del condensador y del inductor.

    clipboard_e68f5b82a774d4cc661310893d3592a53.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    Los valores de reactancia ya están dados, por lo que simplemente los agregamos para determinar la impedancia en forma rectangular. Combine reales con reales y\(j\) términos con\(j\) términos, y luego conviértelos a forma polar.

    \[Z = R+j X_L − j X_C \nonumber \]

    \[Z = 750+j 600 − j 200 \Omega \nonumber \]

    \[Z = 750+j 400 \Omega = 850\angle 28.1^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Para encontrar la capacitancia y la inductancia, simplemente reorganizamos las fórmulas de reactancia y resolvemos. Primero, el inductor:

    \[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]

    \[L = \frac{| X_L |}{2\pi f} \nonumber \]

    \[L = \frac{ 600\Omega}{2\pi 1kHz} \nonumber \]

    \[L \approx 95.5 mH \nonumber \]

    Y ahora para el condensador:

    \[X_C = − j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]

    \[C = \frac{1}{2\pi f | X_C | } \nonumber \]

    \[C = \frac{1}{2\pi 1 kHz 200 \Omega} \nonumber \]

    \[C = 796 nF \nonumber \]

    En la Figura se muestra una gráfica de la suma del vector de impedancia\(\PageIndex{5}\). Observe cómo los tres componentes se combinan gráficamente para llegar a\(Z\).

    clipboard_ea05cb611d1f7caf4e36a29685a875dd3.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): Gráfica de impedancia para la red de Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    This page titled 2.3: Impedancia en serie is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by James M. Fiore via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.