2.5: Acerca de los inductores prácticos
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Hasta este punto, los inductores han sido tratados como componentes ideales, es decir, inductancia pura. En realidad, todos los inductores tienen alguna resistencia asociada a ellos debido a la resistencia del cable utilizado para hacer la bobina. Esto se llama ESR, o Resistencia en Serie Equivalente. También se denota como\(R_{coil}\). Idealmente, esta resistencia será lo suficientemente pequeña como para ignorarla, pero en última instancia colocará un límite en el rendimiento de cualquier circuito que utilice un inductor.
Si bien es posible medir la resistencia de un inductor usando un DMM, esto no producirá un valor preciso en todas las frecuencias. De hecho, a medida que aumente la frecuencia, la ESR también aumentará. Esto se debe al efecto de la piel. A frecuencias más altas, la corriente no se distribuye por igual a lo largo de la sección transversal de un conductor. De hecho, tiende a “abrazar” la superficie exterior o “piel” del conductor. Esto reduce el área transversal efectiva y con ello aumenta la resistencia 1. En general, a medida que aumenta la frecuencia, también lo hace\(R_{coil}\). Desafortunadamente, la situación se complica aún más por la capacitancia distribuida que se convertirá en un problema a frecuencias aún más altas. En consecuencia, los fabricantes darán una “\(Q\)parcela”, como la que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
El\(Q\) factor de calidad de un inductor se puede definir en términos de la energía máxima almacenada en el dispositivo frente a la energía disipada por ciclo. Manteniendo el tiempo constante, podemos relacionarlo con el poder a través de la relación\(i^2R\). La corriente necesariamente es la misma tanto para los componentes reactivos como resistivos, por lo tanto el\(Q\) de la bobina es igual a la relación de su reactancia a su resistencia a la frecuencia de interés.
\[Q_{coil} = \frac{X_L}{R_{coil}} \label{2.4} \]
Dónde
\(Q_{coil}\)es el factor de calidad del inductor,
\(X_L\)es la magnitud de la reactancia inductiva a la frecuencia de interés,
\(R_{coil}\)es la resistencia del inductor a la frecuencia de interés.
En general, cuanto más alto sea\(Q_{coil}\), mejor. Como puede verse en la Figura\(\PageIndex{1}\), no\(Q_{coil}\) es una constante. En efecto, aumenta con la frecuencia hasta alcanzar un pico, momento en el que comienza a caer.
Cuando se trata de inductores prácticos, el efectivo se\(Q_{coil}\) puede determinar a partir de un gráfico si se conoce la frecuencia de operación. Una vez que\(Q_{coil}\) se encuentra el, el valor efectivo de se\(Q_{coil}\) puede encontrar en la Ecuación\ ref {2.4}. Este valor se puede colocar en serie con el inductor ideal para crear un resultado más preciso. Para el análisis, este par a veces se dibuja con una caja a su alrededor para denotar que no\(Q_{coil}\) es una resistencia física separada, sino que es la resistencia efectiva del inductor.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentre el voltaje a través del inductor en el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\). Supongamos que el voltaje de la fuente es\(20\angle 0^{\circ}\) pico a pico a una frecuencia de 20 kHz. \(L\)es igual a 10 mH,\(Q_{coil}\) es 50, y\(R_1\) es\(600 \Omega\).
Recuerde, el inductor consiste en ambos elementos dentro de la caja discontinua. Primero, encuentra la magnitud de la reactancia inductiva.
\[| X_L | = 2\pi f L \nonumber \]
\[| X_L | = 2\pi 20 kHz 10 mH \nonumber \]
\[| X_L | = 1257 \Omega \nonumber \]
Ahora podemos encontrar\(R_{coil}\) a través de la Ecuación\ ref {2.4}:
\[Q_{coil} = \frac{X_L}{R_{coil}} \nonumber \]
Por lo tanto,
\[R_{coil} = \frac{X_L}{Q_{coil}} \nonumber \]
\[R_{coil} = \frac{1257}{50} \nonumber \]
\[R_{coil} = 25.1 \Omega \nonumber \]
La impedancia del inductor es\(25.1 + j1257 \Omega\), o\(1257\angle 88.9^{\circ} \Omega\). La impedancia total es\(600 + 25.1 + j1257 \Omega\), o\(1404\angle 63.6^{\circ} \Omega\). Podemos usar un divisor de voltaje para encontrar el voltaje del inductor.
\[v_{ind} = e \frac{Z_{ind}}{Z_{Total}} \nonumber \]
\[v_{ind} = 20 \angle 0^{\circ} Vpp \frac{1257\angle 88.9^{\circ} \Omega}{1404 \angle 63.6^{\circ} \Omega} \nonumber \]
\[ v_{ind} = 17.9\angle 25.3^{\circ} Vpp \nonumber \]
Vale la pena señalar que, debido a la resistencia de la bobina, la corriente y el voltaje del inductor no están precisamente 90\(^{\circ}\) desfasados, sino 88.9\(^{\circ}\). Esa es una desviación pequeña pero mensurable.
Referencias
1 Recordemos eso\(R = \rho l / A\). Una disminución en el área\(A\) da como resultado un aumento de la resistencia,\(R\).