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3.4: Análisis de Circuito Paralelo

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    85841
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    La ley actual de Kirchhoff (KCL) es la regla operativa para los circuitos paralelos. Afirma que la suma de todas las corrientes que entran y salen de un nodo debe ser igual a cero. Como alternativa, se puede afirmar como la suma de corrientes que entran en un nodo debe ser igual a la suma de corrientes que salen de ese nodo. Como una pseudo fórmula:

    \[\sum I \rightarrow = \sum I \leftarrow \label{3.6} \]

    Una situación similar ocurre en los circuitos paralelos de CA a la vista de los circuitos de la serie AC; es decir, que parece que KCL (como KVL) está “roto”. Es decir, una suma simplista de las magnitudes de las corrientes podría no equilibrarse. Una vez más, esto se debe a que la suma debe ser una suma vectorial, prestando atención a los ángulos de fase de cada corriente separada.

    Es posible accionar un circuito paralelo con múltiples fuentes de corriente. Estas fuentes sumarán en gran medida de la misma manera que agregan las fuentes de voltaje en serie, es decir, se debe considerar polaridad y fase. Ordinariamente, las fuentes de voltaje con valores diferentes no se colocan en paralelo ya que esto viola la regla básica de los circuitos paralelos (el voltaje es el mismo en todos los componentes).

    La regla del divisor de corriente sigue siendo válida para circuitos paralelos de CA. Dados dos componentes,\(Z_1\) y\(Z_2\), y una corriente que los alimenta\(I_T\), la corriente a través de uno de los componentes será igual a la corriente total multiplicada por la relación del componente opuesto sobre la suma de la impedancia del par.

    \[i_1 = i_T \frac{Z_2}{Z_1 + Z_2} \label{3.7} \]

    Esta regla es conveniente ya que no es necesario calcular la impedancia equivalente paralela, pero recuerde, es válida solo cuando solo hay dos componentes involucrados.

    Al analizar un circuito paralelo, si está siendo accionado por una fuente de voltaje, entonces este mismo voltaje debe aparecer en cada uno de los componentes individuales. La ley de Ohm puede entonces ser utilizada para determinar las corrientes individuales. Según KCL, la corriente total que sale de la fuente debe ser igual a la suma de estas corrientes individuales. Por ejemplo, en el circuito que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\), el voltaje\(E\) debe aparecer a través de ambos\(R\) y\(L\). Por lo tanto, las corrientes deben ser\(i_L = E / X_L\) y\(i_R = E / R\), y\(i_{total} = i_L + i_R\). \(i_{total}\)también se puede encontrar determinar la impedancia equivalente paralela de\(R\) y\(X_L\), y luego dividirlo en\(E\). Esta técnica también se puede utilizar a la inversa para determinar un valor de resistencia o reactancia que producirá una corriente total dada: dividir la fuente por la corriente produce la impedancia paralela equivalente. Como ya se conoce uno de los dos, el componente conocido puede ser utilizado para determinar el valor del componente desconocido a través de la Ecuación 3.3.3.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Determine las corrientes en el circuito mostrado en la Figura\(\PageIndex{1}\) si la fuente es pico de\(10\angle 0^{\circ}\) voltios,\(X_L = j2 k\Omega\) y\(R = 1 k\Omega\)

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Un circuito RL paralelo simple.

    El mismo voltaje debe aparecer en todos los elementos en una conexión paralela. En este caso eso es pico de\(10\angle 0^{\circ}\) voltios. Las dos corrientes ramificadas se encuentran a través de la ley de Ohm:

    \[i_L = \frac{v}{Z} \nonumber \]

    \[i_L = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{j2 k\Omega} \nonumber \]

    \[i_L = 5E-3\angle −90^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_R = \frac{v}{Z} \nonumber \]

    \[i_R = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{1k \Omega} \nonumber \]

    \[i_R = 10E-3\angle 0^{\circ} A \nonumber \]

    La corriente fuente es la suma de estas dos corrientes, o\(11.18E−3\angle −26.6^{\circ}\) amperios. Esto se puede verificar determinando la impedancia paralela equivalente y luego aplicando la ley de Ohm:

    \[Z_T = \frac{Z_1\times Z_2}{Z_1+Z_2} \nonumber \]

    \[Z_T = \frac{1k \Omega\times j 2k \Omega}{1k \Omega+j 2k \Omega} \nonumber \]

    \[Z_T = 894\angle 26.6^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Como nota al margen, en forma rectangular esto es\(800 + j400\), lo que significa que esta combinación paralela equivale a una combinación en serie de una resistencia de 800 ohmios y una reactancia inductiva de 400 ohmios. Continuando con la ley de Ohm, tenemos:

    \[i_{Source} = \frac{v}{Z_T} \nonumber \]

    \[i_{Source} = \frac{10\angle 0^{\circ} V}{894\angle 26.6^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_{Source} = 11.18E-3\angle −26.6^{\circ} A \nonumber \]

    Un diagrama fasor de las corrientes se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\), a continuación.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Diagrama fasor de corrientes en el circuito de la Figura\(\PageIndex{1}\).

    Medición de corriente en el laboratorio

    En este punto surge una pregunta práctica; ¿cómo verificamos estas corrientes en el laboratorio? Después de todo, la herramienta de medición preeminente es el osciloscopio, y estos están diseñados para medir voltaje, no corriente. Si bien es posible obtener sondas de medición de corriente, un método simple para medir la corriente es usar una pequeña resistencia de detección de corriente con una configuración de osciloscopio estándar. Ya hemos visto que el voltaje a través de una resistencia debe estar en fase con la corriente a través de ella. Por lo tanto,

    sea cual sea el ángulo de fase que veamos en el voltaje de una resistencia, su ángulo de fase actual debe ser el mismo. La idea es simplemente insertar una resistencia en la rama de la que deseamos medir la corriente. Siempre y cuando la resistencia sea mucho menor que la impedancia vista en el resto de esa rama, tendrá poco impacto en el valor preciso de la corriente. Luego podemos colocar una sonda a través de esta resistencia de detección para leer su voltaje. Entonces se usa la ley de Ohm para determinar la magnitud de la corriente, mientras que el ángulo de fase se obtiene directamente del osciloscopio (nuevamente, porque el voltaje de la resistencia de detección debe estar en fase con su corriente, y así el ángulo de fase de voltaje es igual al ángulo de fase actual). Esta técnica se ilustrará en la parte de simulación del siguiente problema de ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Determinar las corrientes de derivación en el circuito de la Figura\(\PageIndex{3}\).

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    El primer paso es determinar la reactancia capacitiva.

    \[X_C =− j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]

    \[X_C =− j \frac{1}{2 \pi 500 Hz 250 nF} \nonumber \]

    \[X_C \approx − j 1273\Omega \nonumber \]

    Tanto la resistencia como el condensador verán pico de 20 voltios desde la fuente. Sus corrientes se pueden determinar a través de la ley de Ohm:

    \[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]

    \[i_C = \frac{20 V}{1273\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_C \approx 15.71E-3\angle 90^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]

    \[i_R = \frac{20 V}{220\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_R \approx 90.91E-3\angle 0^{\circ} A \nonumber \]

    La corriente fuente es la suma de estas dos corrientes, o\(92.26E−3\angle 9.8^{\circ}\) amperios. La corriente de fuente también se puede determinar dividiendo la tensión de fuente por la impedancia paralela equivalente, de la siguiente manera.

    \[Z_T = \frac{Z_1 \times Z_2}{Z_1+Z_2} \nonumber \]

    \[Z_T = \frac{220 \Omega\times (− j 1273\Omega)}{220 \Omega − j 1273 k \Omega} \nonumber \]

    \[Z_T = 216.8\angle −9.8^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[i_{Source} = \frac{v}{Z_T} \nonumber \]

    \[i_{Source} = \frac{20 \angle 0^{\circ} V}{216.8\angle −9.8^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_{Source} = 92.26E-3\angle 9.8^{\circ} A \nonumber \]

    Una gráfica en el dominio del tiempo de las corrientes se ilustra en la Figura\(\PageIndex{4}\) junto con una gráfica fasora en la Figura\(\PageIndex{5}\). Tenga en cuenta que la corriente de la fuente está cerca tanto en amplitud como en fase a la corriente de la resistencia. En comparación, la corriente del condensador es considerablemente más pequeña y con un evidente desplazamiento de fase principal.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Formas de onda de corriente para el circuito de la Figura\(\PageIndex{3}\).
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    Figura\(\PageIndex{5}\): Diagrama fasor para el circuito de la Figura\(\PageIndex{3}\).

    Simulación por Computadora

    El circuito de la Figura\(\PageIndex{3}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Resistencias individuales de 2 ohmios se utilizan para detectar las corrientes en las ramas de resistencia y condensador. Estas resistencias de detección se insertan directamente sobre el suelo para mayor comodidad de medición. De esta manera no se necesita una medición diferencial.

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    Figura\(\PageIndex{6}\): Circuito de la Figura\(\PageIndex{3}\) en un simulador con resistencias detectoras de corriente añadidas.

    El valor de una resistencia de detección debe ser considerablemente menor que la impedancia de la rama en la que se inserta. Dos órdenes de magnitud (es decir, menos del 1%) serían un buen lugar para comenzar. Si bien valores aún más pequeños aumentarán la precisión, desde un punto de vista práctico en el laboratorio, tales valores de resistencia pequeños producirían voltajes extremadamente pequeños que serían difíciles de medir con gran precisión.

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    Figura\(\PageIndex{7}\): Resultados de simulación para el circuito de la Figura\(\PageIndex{6}\).

    Luego se realiza un análisis transitorio básico como se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). Los resultados de la simulación están muy de acuerdo con la gráfica de la Figura\(\PageIndex{4}\). Tenga en cuenta que las “corrientes” de resistencia y condensador trazadas son, de hecho, las tensiones a través de las resistencias de detección asociadas (nodos 2 y 3) divididas por 2 (ohmios), en aplicación directa de la ley de Ohm. La simulación no solo verifica los resultados calculados antes, sino que también valida el concepto de usar pequeñas resistencias de detección de corriente en el laboratorio.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Determinar las corrientes de derivación en el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\). Utilice la tensión de origen como referencia\((\angle 0^{\circ})\).

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    Figura\(\PageIndex{8}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    Si bien este circuito se dibuja un poco diferente a los ejemplos anteriores, sigue siendo un circuito paralelo simple con solo dos nodos. Por lo tanto, cada elemento ve un potencial pico de 2 voltios. La ley de Ohm bastará para encontrar las corrientes de tres componentes. Estos se agregan luego para encontrar la corriente de origen. Sus direcciones de referencia son de derecha a izquierda dada la polaridad de la fuente.

    \[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]

    \[i_C = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{12 \angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_C \approx 0.1667\angle 90^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_L = \frac{v}{X_L} \nonumber \]

    \[i_L = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{8\angle 90 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_L = 0.25 \angle −90 ^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]

    \[i_R = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{10\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_R = 0.2\angle 0^{\circ} A \nonumber \]

    La suma de estas tres corrientes es aproximadamente\(0.2167\angle −22.6^{\circ}\) amperios. Este valor se puede verificar encontrando la impedancia paralela combinada. Usando la Ecuación 3.3.3 se puede demostrar que esta impedancia es\(9.231\angle 22.6^{\circ} \Omega\). Así,

    \[i_{Source} = \frac{v}{Z} \nonumber \]

    \[i_{Source} = \frac{2\angle 0^{\circ} V}{9.231\angle 22.6^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_{Source} \approx 0.2167\angle −22.6^{\circ} A \nonumber \]

    Un diagrama de fasores que muestra la suma vectorial de las corrientes se ilustra en la Figura\(\PageIndex{9}\).

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    Figura\(\PageIndex{9}\): Diagrama fasor de corriente para el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\).

    Tenga en cuenta que\(i_C\) y\(i_L\) están en perfecta oposición como se esperaba. Restar la magnitud de\(i_C\) de nos\(i_L\) deja con la componente vertical precisa de la corriente fuente.

    Si un circuito paralelo es accionado por una fuente de corriente, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{10}\), existen dos métodos básicos de resolución para las corrientes componentes. El primer método es usar la regla divisora actual. Si se desea, el voltaje del componente se puede encontrar usando la ley de Ohm. Un método alternativo consiste en encontrar primero la impedancia equivalente paralela y luego usar la ley de Ohm para determinar el voltaje (recuerde, al ser un circuito paralelo, solo hay un voltaje común). Dado el voltaje, la ley de Ohm se puede utilizar para encontrar la corriente a través de un componente. Para encontrar la corriente a través de la otra, se puede aplicar la ley de Ohm por segunda vez o se puede usar KCL; restando la corriente a través del primer componente de la corriente de fuente. Si hay más de dos componentes, por lo general el segundo método sería el curso de acción más eficiente.

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Red paralela impulsada por una fuente de corriente.

    Vale la pena señalar que ambos métodos descritos anteriormente producirán las respuestas correctas. Uno no es “más correcto” que el otro. Podemos considerar cada uno de estos como una ruta de solución separada; es decir, un método para llegar al punto final deseado. En general, cuanto más complejo sea el circuito, más caminos de solución habrá. Esto es bueno porque un camino puede ser más obvio para ti que otro. También te permite un medio de comprobación cruzada de tu trabajo.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Determinar las corrientes en el circuito de la Figura\(\PageIndex{10}\) si la fuente es de 300 miliamperios pico a 10 kHz,\(R\) es\(750 \Omega\) y\(L\) es 15 mH.

    El primer paso es determinar la reactancia inductiva.

    \[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]

    \[X_L = j 2\pi 10 kHz15 mH \nonumber \]

    \[X_L \approx j 942.4\Omega \nonumber \]

    La regla del divisor de corriente se puede utilizar para encontrar la corriente a través de la resistencia.

    \[i_R = i_{Source} \frac{X_L}{R+X_L} \nonumber \]

    \[i_R = 0.3\angle 0^{\circ} A \frac{942.4\angle 90 ^{\circ} \Omega}{750\angle 0^{\circ} \Omega +942.4\angle 90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_R = 0.2347\angle 38.5 ^{\circ} A \nonumber \]

    KVL se puede utilizar para encontrar la corriente restante a través del inductor ya que la corriente de origen debe ser igual a la suma de las corrientes del inductor y resistencia. Por lo tanto:

    \[i_L = i_{Source} − i_R \nonumber \]

    \[i_L = 0.3\angle 0^{\circ} A −0.2347\angle 38.5^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_L = 0.1868\angle −51.5^{\circ} A \nonumber \]

    Este valor también podría haberse obtenido aplicando la regla divisoria actual por segunda vez:

    \[i_L = i_{Source} \frac{R}{R+X_L} \nonumber \]

    \[i_L = 0.3\angle 0^{\circ} A \frac{750\angle 0^{\circ} \Omega}{750\angle 0^{\circ} \Omega +942.4\angle 90 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_L = 0.1868\angle −51.5^{\circ} A \nonumber \]

    En la Figura se muestra una gráfica en el dominio del tiempo de las formas de onda actuales\(\PageIndex{11}\).

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    Figura\(\PageIndex{11}\): Formas de onda de corriente para el circuito de Ejemplo\(\PageIndex{4}\).

    A partir de la gráfica es evidente que las corrientes del inductor y la resistencia de hecho se suman a la corriente de la fuente. Además, la corriente a través del inductor está rezagada, como se esperaba.

    Simulación por Computadora

    El circuito de Ejemplo\(\PageIndex{4}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\). Se han agregado un par de resistencias de detección de corriente de 1 ohmio. Al usar 1 ohm, el voltaje de detección tendrá la misma magnitud que la corriente, sin necesidad de escalado.

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    Figura\(\PageIndex{12}\): Circuito de Ejemplo\(\PageIndex{4}\) en un simulador.

    Se realiza un análisis transitorio, trazando los voltajes en los nodos 2 y 3 junto con su suma (la corriente fuente). Los resultados se muestran en la Figura\(\PageIndex{3}\). La parcela se retrasa un milisegundo para evitar el transitorio inicial de encendido. Los resultados están totalmente de acuerdo con la gráfica de la Figura\(\PageIndex{11}\).

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    Figura\(\PageIndex{13}\): Resultados de la simulación de respuesta transitoria para el circuito del Ejemplo\(\PageIndex{5}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Determinar las corrientes de derivación en el circuito de la Figura\(\PageIndex{14}\). Utilice la fuente actual como referencia de tiempo (i.e.,\(\angle 0^{\circ}\)).

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    Figura\(\PageIndex{14}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{5}\).

    En lugar de usar divisores de corriente repetidos aquí, podemos encontrar la impedancia equivalente y luego aplicar la ley de Ohm para determinar el voltaje del sistema. Cada corriente de derivación se puede obtener dividiendo este voltaje por la impedancia de esa rama; una rápida aplicación de la ley de Ohm.

    La impedancia del sistema se calcula a través de la Ecuación\ ref {3.4} de la siguiente manera:

    \[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \frac{1}{Z_3}} \nonumber \]

    \[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 12\Omega} + \frac{1}{j 8\Omega} + \frac{1}{10\Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{total} = 9.231\angle 22.6^{\circ} \Omega \nonumber \]

    El voltaje del sistema se encuentra usando la ley de Ohm. A medida que la dirección de referencia de la fuente de corriente fluye hacia abajo hacia el suelo, las corrientes ramificadas fluirán hacia arriba. Esto hace que su referencia de voltaje sea negativa con respecto a tierra (es decir, + a − de abajo hacia arriba). Podemos lidiar con esto describiendo la fuente de corriente como negativa (es decir, que fluye fuera del nodo superior). La fuente se puede escribir como cualquiera\(−1\angle 0^{\circ}\) o como\(1\angle 180^{\circ}\), no hace ninguna diferencia.

    \[v = i_{source} \times Z_{total} \nonumber \]

    \[v =−1\angle 0^{\circ} A\times 9.231\angle 22.6^{\circ} \nonumber \]

    \[v \approx −9.231\angle 22.6 ^{\circ} V \nonumber \]

    Este potencial también puede escribirse como\(9.231\angle −157.4^{\circ}\) voltios (recuerde, una inversión es lo mismo que un desplazamiento de fase de 180 grados).

    Y ahora para las corrientes de rama:

    \[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]

    \[i_C = \frac{9.231\angle −157.4^{\circ} V}{12\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_C \approx 0.7692\angle −67.4 ^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_L = \frac{v}{X_L} \nonumber \]

    \[i_L = \frac{9.231\angle −157.40^{\circ} V}{8\angle 90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_L = 1.154\angle 112.6^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]

    \[i_R = \frac{9.231\angle −157.4^{\circ} V}{10\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_R = 0.9231\angle −157.4 ^{\circ} A \nonumber \]

    La suma de estas tres corrientes es aproximadamente\(1\angle 180^{\circ}\) amperios (i.e.,\(−1\angle 0^{\circ}\)), el valor de la fuente de corriente, como se esperaba.

    Un diagrama fasor de las corrientes se grafica en la Figura\(\PageIndex{15}\).

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    Figura\(\PageIndex{15}\): Diagrama fasor de corriente para el circuito de la Figura\(\PageIndex{13}\).

    Ahora por lo furtivo. En caso de que no te hayas dado cuenta, los componentes de este circuito son idénticos a los de la Figura\(\PageIndex{8}\) con la excepción de la fuente. Como consecuencia, los ángulos de fase y las magnitudes de las corrientes de ramificación a través de los tres componentes permanecerán sin cambios entre sí. Debido al cambio tanto en la magnitud como en la dirección de la fuente, toda la gráfica fasora se ha girado 154.7 grados en el sentido de las agujas del reloj y todas las magnitudes se han alargado por la relación de los voltajes\((9.231 / 2)\). Esto es quizás más fácil de ver al enfocarse en el vector para\(i_{source}\) en la Figura\(\PageIndex{9}\). Gire ese vector en el sentido de las agujas del reloj, junto con todos los vectores, hasta\(i_{source}\) alinearse con el eje real negativo. El resultado es la gráfica de Figura\(\PageIndex{15}\), aunque con magnitudes recién alargadas.

    Si un circuito paralelo contiene múltiples fuentes de corriente, se pueden sumar (una suma vectorial, por supuesto) para generar una única fuente de corriente equivalente. El análisis procede entonces como antes. Esto se demuestra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{16}\), determine las corrientes a través del condensador, inductor y resistor, y también determine la tensión del sistema. \(i_1\)es\(0.5\angle 0^{\circ}\) amperios y\(i_2\) es\(3\angle 45^{\circ}\) amperios.

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    Figura\(\PageIndex{16}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

    El primer paso aquí es determinar la corriente efectiva que impulsa el circuito. Si tratamos el nodo superior como positivo,\(i_2\) es entrar (positivo) mientras\(i_1\) está saliendo (negativo). La combinación es:

    \[i_{total} = i_1 + i_2 \nonumber \]

    \[i_{total} = −0.5\angle 0^{\circ} A +3\angle 45^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_{total} = 2.67\angle 52.6^{\circ} A \nonumber \]

    Esta corriente tiene la misma dirección de referencia que la fuente dos. Un diagrama fasor del proceso se ilustra en la Figura\(\PageIndex{17}\) para ayudar a visualizar la adición del vector.

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    Figura\(\PageIndex{17}\): Diagrama fasor de las fuentes de corriente combinadas para el circuito para Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

    El siguiente paso es encontrar la impedancia combinada para que podamos encontrar el voltaje aplicado.

    \[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \frac{1}{Z_3}} \nonumber \]

    \[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 100 \Omega} + \frac{1}{j 50\Omega} + \frac{1}{40 \Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{total} = 37.14\angle 21.8^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v = i_{source} \times Z_{total} \nonumber \]

    \[v = 2.67\angle 52.6^{\circ} A\times 37.14\angle 21.8^{\circ} \nonumber \]

    \[v \approx 99.16\angle 74.4^{\circ} V \nonumber \]

    Ahora aplicamos la ley de Ohm a cada uno de los componentes para determinar las corrientes de rama.

    \[i_C = \frac{v}{X_C} \nonumber \]

    \[i_C = \frac{99.16\angle 74.4^{\circ} V}{100\angle −90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_C \approx 0.9916\angle 164.4^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_L = \frac{v}{X_L} \nonumber \]

    \[i_L = \frac{99.16\angle 74.4^{\circ} V}{50 \angle 90^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_L = 1.983\angle −15.6^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_R = \frac{v}{R} \nonumber \]

    \[i_R = \frac{99.16\angle 74.4^{\circ} V}{40\angle 0^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_R = 2.479\angle 74.4 ^{\circ} A \nonumber \]

    La suma de estas tres corrientes es aproximadamente\(2.67\angle 52.6^{\circ}\) amperios. Esto equilibra la corriente neta de entrada de las dos fuentes, verificando KVL.


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