Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

4.4: Análisis de Circuito Serie-Paralelo

  • Page ID
    85805
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dada la infinita variedad de configuraciones serie-paralelo, hay innumerables formas de resolver cualquier circuito dado para una corriente o voltaje en particular. Existen muchas rutas de solución. Esto es bueno, porque si bien es posible que no veas un camino en particular, hay otros que también brindarán resultados correctos. El único problema es qué camino es más eficiente o conveniente para usted. Supongamos que estamos tratando de encontrar\(v_b\) en el circuito de Figura\(\PageIndex{1}\). ¿Cómo podríamos abordar este problema?

    clipboard_ea53c9ef722537c91d436de43fe6876ca.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Circuito RLC serie-paralelo.

    Una ruta sería encontrar la impedancia total vista por la fuente de voltaje,\(Z_{total}\). Dividir el voltaje de la fuente por esta impedancia nos da la corriente de fuente. Luego podríamos realizar un divisor de corriente entre las ramas del condensador y del inductor-resistor para encontrar la corriente del inductor. Una vez que se encuentra esa corriente, se puede multiplicar por la reactancia inductiva a encontrar\(v_b\). Como alternativa, habiendo encontrado la impedancia total, podríamos calcular el divisor de voltaje entre los tres componentes de la derecha y\(R_1\) encontrar\(v_a\). Sabiendo\(v_a\), un segundo divisor de voltaje entre\(X_L\) y nos\(R_2\) da\(v_b\). Una tercera posibilidad sería encontrar la corriente fuente y utilizarla para encontrar\(v_a\), tal vez encontrando la caída a través\(R_1\) y restando eso de la fuente,\(E\). Una vez que\(v_a\) se encuentra, se puede utilizar un divisor de voltaje para encontrar\(v_b\). Sin duda hay otras vías de solución que funcionarán aquí. Algunos son más “computacionalmente caros” que otros, pero mientras puedas identificar uno de ellos, las respuestas están al alcance. Recuerde, cuanto más grande se vuelve el circuito, mayor es el número de posibles rutas de solución. Sin embargo, no caigas en la trampa de confiar en el mismo “truco” para cada circuito. Es útil resolver estos circuitos utilizando una variedad de técnicas como medio para verificar los resultados y afilar tu conjunto de habilidades.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Determinar\(v_b\) para el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\) si la frecuencia de la fuente es de 100 Hz.

    clipboard_ee581a05e4161874c2224b8d9a5fab4da.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    Lo primero que hay que hacer es encontrar la reactancia capacitiva.

    \[X_C =− j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]

    \[X_C =− j \frac{1}{2 \pi 100 Hz 75 nF} \nonumber \]

    \[X_C \approx − j 21.22 k\Omega \nonumber \]

    Esta reactancia está en paralelo con la\(\Omega\) resistencia de 27 k. Su combinación es:

    \[Z_{rc} = \frac{R\times jX_C}{R − jX_C} \nonumber \]

    \[Z_{rc} = \frac{27 k\Omega \times (− j 21.22 k \Omega )}{27 k\Omega − j 21.22 k\Omega} \nonumber \]

    \[Z_{rc} \approx 16.68E3\angle −51.8^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Esta impedancia forma un divisor de voltaje con la\(\Omega\) resistencia de 27 k para crear\(v_b\).

    \[v_b = e_{source} \frac{Z_{rc}}{R+Z_{rc}} \nonumber \]

    \[v_b = 90 \angle 0^{\circ} V \frac{16.68E3\angle −51.8\Omega}{47k \Omega +16.68E3\angle −51.8 ^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[v_b \approx 25.5\angle −38.9^{\circ} V \nonumber \]

    En la Figura se muestra una gráfica en el dominio del tiempo\(v_b\) y la tensión de la fuente\(\PageIndex{3}\).

    clipboard_e5db41d256cf372678d0a98e962e141c2.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Gráfica de tensiones en el dominio del tiempo para el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\).

    Simulación por Computadora

    Para verificar los resultados del ejemplo anterior, el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\) se introduce en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\).

    clipboard_e32e6fff7b869d723e2df2053607d696f.png
    Figura\(\PageIndex{4}\): El circuito de Ejemplo\(\PageIndex{1}\) en el simulador.

    Se ejecuta un análisis de dominio temporal o transitorio, examinando\(v_b\) y el voltaje de la fuente. Nodo 2 corresponde a\(v_b\). Los resultados se muestran en la Figura\(\PageIndex{5}\).

    clipboard_e9f0d80d7c921771f0b77c86ab7b950bb.png
    Figura\(\PageIndex{5}\): Análisis transitorio del circuito del Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    La trama se retrasa un ciclo completo para superar el transitorio de encendido inicial. Las amplitudes resultantes y el desplazamiento de fase se alinean perfectamente con la gráfica de valores teóricos en la Figura\(\PageIndex{3}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\), determinar\(v_{ab}\).

    clipboard_ecbe6f9545806f4d4c770168f1c482320.png
    Figura\(\PageIndex{6}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    Este circuito se puede analizar como un par de divisores de voltaje. Por definición,\(v_{ab} = v_a − v_b\). Numerar las resistencias de arriba a abajo nos da:

    \[v_a = e_{source} \frac{R_2}{R_1+R_2} \nonumber \]

    \[v_a = 100\angle 0^{\circ} V \frac{40 k \Omega}{10k \Omega +10 k\Omega} \nonumber \]

    \[v_a = 80 \angle 0^{\circ} V \nonumber \]

    \[v_b = e_{source} − \frac{j X_C}{− jX_C+jX_L} \nonumber \]

    \[v_b = 100\angle 0^{\circ} V \frac{− j 800\Omega}{− j 800 \Omega + j 1 k\Omega} \nonumber \]

    \[v_b = 400\angle 180^{\circ} V \nonumber \]

    Esto también puede escribirse como\(−400\angle 0^{\circ} \). Ahora restamos los dos voltajes para encontrar\(v_{ab}\).

    \[v_{ab} = v_a −v_b \nonumber \]

    \[v_{ab} = 80 \angle 0^{\circ} V −400\angle 180^{\circ} V \nonumber \]

    \[v_{ab} = 480\angle 0^{\circ} V \nonumber \]

    Tenga en cuenta que\(v_{ab}\) es casi cinco veces mayor que el voltaje de la fuente. Esto se debe principalmente a que en\(v_b\) sí misma es cuatro veces la magnitud de la fuente. Debido a que\(X_L\) y\(X_C\) son relativamente cercanos en tamaño, se cancelan en gran medida cuando se colocan en serie. Esto produce una pequeña reactancia neta que crea una gran corriente. Esta considerable corriente produce entonces grandes voltajes a través de estos componentes. Cuanto más cercanas sean las magnitudes de\(X_L\) y\(X_C\), mayores serán las tensiones\(L\) y de los\(C\) componentes. Examinaremos este efecto en detalle cuando discutamos la resonancia en el Capítulo 8.

    Para verificar este resultado, podemos calcular el voltaje a través del inductor y verificar si KVL está satisfecho.

    \[v_{inductor} = e_{source} \frac{j X_L}{− jX_C+jX_L} \nonumber \]

    \[v_{inductor} = 100\angle 0^{\circ} V \frac{j 1k \Omega}{− j 800 \Omega + j 1k \Omega} \nonumber \]

    \[v_{inductor} = 500\angle 0^{\circ} V \nonumber \]

    Agregar el\(v_b\) de\(−400\angle 0^{\circ}\) voltios a de hecho\(v_{inductor}\) produce el voltaje de fuente de\(100\angle 0^{\circ}\) voltios.

    Esto se puede ver gráficamente en la Figura\(\PageIndex{7}\). Primero, tenga en cuenta que el voltaje del inductor está en fase con el voltaje de la fuente. Esto se debe a que la rama LC parece ser inductiva neta, produciendo una corriente que retarda 90 grados el voltaje de la fuente. Esta misma corriente fluye a través del inductor, es decir, su voltaje conduce esta corriente 90 grados, y así el voltaje del inductor está en fase con el voltaje de la fuente. La corriente de retardo también fluye a través del condensador, lo que produce un retraso adicional de 90 grados para el voltaje del condensador (es decir,\(v_b\)) o 180 grados en total. Combinando el voltaje de inductor grande con un voltaje de condensador que es casi tan grande pero efectivamente invertido produce el voltaje de fuente más pequeño.

    clipboard_ebfc057f3138060dadd99738b0ef76e4f.png
    Figura\(\PageIndex{7}\): Gráfica en el dominio del tiempo del circuito de la Figura\(\PageIndex{6}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    En el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\), determinar la corriente que fluye hacia abajo a través del inductor. Utilice la fuente como referencia (\(\angle 0^{\circ}\)).

    clipboard_e12c7fd6e61ffe7f6c44e956e5b1850fb.png
    Figura\(\PageIndex{8}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    Un enfoque posible para esto es encontrar la impedancia total equivalente que impulsa la fuente para encontrar la corriente de la fuente. Luego se puede usar un divisor de corriente entre el inductor y el par de condensadores (los tres están en paralelo). Otra opción sería encontrar la impedancia de los tres componentes reactivos y luego usar la regla del divisor de voltaje para encontrar\(v_a\).

    Una vez que\(v_a\) se encuentra, la corriente del inductor se puede encontrar usando la ley de Ohm. Cada una de estas rutas de solución requiere tanto trabajo como la otra, por lo que no hay preferencia clara. Como acabamos de usar la regla del divisor de voltaje en el ejemplo anterior, esta vez usemos la regla del divisor de corriente.

    Vamos a necesitar la reactancia capacitiva combinada para el divisor de corriente, y también la necesitaremos para encontrar la impedancia total, así que hagamos eso primero.

    \[X_{Ctotal} = \frac{1}{\frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{X_{C2}}} \nonumber \]

    \[X_{Ctotal} = \frac{1}{\frac{1}{− j 4 k\Omega} + \frac{1}{− j 8k \Omega}} \nonumber \]

    \[X_{Ctotal} = 2667\angle −90^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Este valor está en paralelo con la reactancia inductiva, y ese combo está en serie con la resistencia, produciendo la impedancia total.

    \[Z_{CL} = \frac{1}{\frac{1}{X_{Ctotal}} + \frac{1}{X_L}} \nonumber \]

    \[Z_{CL} = \frac{1}{\frac{1}{− j 2667\Omega} + \frac{1}{j 1k \Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{CL} = 1600\angle 90^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[Z_{total} = R+Z_{CL} \nonumber \]

    \[Z_{total} = 2 k\Omega +1600\angle 90^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[Z_{total} = 2561\angle 38.7^{\circ} \Omega \nonumber \]

    La corriente fuente se encuentra usando la ley de Ohm.

    \[i_{source} = \frac{e_{source}}{Z_{total}} \nonumber \]

    \[i_{source} = \frac{40\angle 0^{\circ} V}{2561\angle 38.7^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_{source} = 15.6E-3\angle −38.7^{\circ} A \nonumber \]

    Ahora aplicamos un divisor de corriente entre\(X_{Ctotal}\) y el inductor.

    \[i_{inductor} = i_{source} \frac{X_{Ctotal}}{X_{Ctotal}+X_L} \nonumber \]

    \[i_{inductor} = 15.6E-3\angle −38.7^{\circ} A \frac{− j 2667\Omega}{− j 2667\Omega +j 1000\Omega} \nonumber \]

    \[i_{inductor} = 24.99E-3\angle −38.7^{\circ} A \nonumber \]

    Una vez más vemos una corriente de rama que es mayor en magnitud que la corriente fuente. Esta corriente debe producir un voltaje inductor de

    \[v_{inductor} = i_{inductor} \times X_L \nonumber \]

    \[v_{inductor} = 24.99E-3\angle −38.7 ^{\circ} A\times 1000\angle 90 ^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_{inductor} = 24.99 \angle 51.3^{\circ} V \nonumber \]

    El voltaje a través de la resistencia es

    \[v_R = i_{source} \times R \nonumber \]

    \[v_R =15.6E-3 \angle −38.7^{\circ} A \times 2000\angle 0^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_R = 31.2\angle −38.7^{\circ} V \nonumber \]

    KVL indica que la suma de\(v_R\) y\(v_{inductor}\) debe ser igual a la fuente de\(40\angle 0^{\circ}\) voltios, y lo hace (dentro de los límites de redondeo).

    Ahora es el momento de algunos ejemplos que utilizan fuentes de corriente.

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Determinar\(v_a\),\(v_b\) y\(v_{ab}\) en el circuito de la Figura\(\PageIndex{9}\). Utilice la fuente como ángulo de referencia de 0 grados.

    clipboard_e483381e6829bd4f9de0fb5d50fe3ccf3.png
    Figura\(\PageIndex{9}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{4}\).

    Para encontrar\(v_b\) podemos determinar la impedancia equivalente de las dos resistencias y el inductor y multiplicarla por la corriente fuente. La resistencia y el inductor más a la derecha están en serie, cediendo\(10 + j20 \Omega\). Esto es en paralelo con la\(\Omega\) resistencia 18.

    \[Z_b = \frac{R_1\times Z_{LR}}{R_1 +Z_{LR}} \nonumber \]

    \[Z_b = \frac{18\Omega \times (10+j 20 \Omega )}{18\Omega +(10+j 20 \Omega )} \nonumber \]

    \[Z_b = 11.7\angle 27.9^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_b = i_{source} \times Z_b \nonumber \]

    \[v_b = 2\angle 0^{\circ} A\times 11.7 \angle 27.9^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_b = 23.4 \angle 27.9^{\circ} V \nonumber \]

    El voltaje a través del condensador es\(v_{ab}\). Esto lo podemos encontrar a través de la ley de Ohm. Dada la dirección de referencia de la fuente de corriente, la polaridad de referencia de voltaje del condensador es de + a − de izquierda a derecha.

    \[v_{ab} = i_{source} \times X_C \nonumber \]

    \[v_{ab} = 2\angle 0^{\circ} A\times 18\angle −90^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_{ab} = 36\angle −90^{\circ} V \nonumber \]

    Por último,\(v_a\) es solo\(v_{ab}\) plus\(v_b\) basado en KVL.

    \[v_{a} = v_{ab} + v_b \nonumber \]

    \[v_{a} = 36 \angle −90^{\circ} V+23.4 \angle 27.9^{\circ} V \nonumber \]

    \[v_{a} = 32.48\angle −50.5^{\circ} V \nonumber \]

    En la Figura se muestra un diagrama de fasores\(\PageIndex{10}\). Gráficamente, se puede ver que restando\(v_b\) de\(v_a\) rendimientos\(v_{ab}\), como se esperaba. Recuerde, este es un circuito seriesparallel y por lo tanto no vemos necesariamente ángulos de 0 grados o 90 grados entre los diversos voltajes como se encuentra en circuitos simples solo en serie.

    clipboard_ecadd3023abbb566e7de8c6667b02a3fa.png
    Figura\(\PageIndex{10}\): Gráfica de voltaje fasor para el circuito de la Figura\(\PageIndex{9}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{11}\), determine\(v_b\) si la fuente de 1 amperio se usa como referencia (\(\angle 0^{\circ}\)) y la fuente de 3 amperios tiene un ángulo de fase\(30^{\circ}\) rezagado.

    clipboard_e774b3955961378ce2398cfa6edf7f7f7.png
    Figura\(\PageIndex{11}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{5}\).

    Las dos fuentes de corriente están en paralelo y se pueden combinar entre sí. Sin embargo, debemos ser un poco cuidadosos con respecto a la polaridad. En primer lugar, un “ángulo de fase\(30^{\circ}\) rezagado” significa que la segunda fuente es\(3\angle −30^{\circ}\) amperios. Junto con esto, su dirección de referencia es opuesta a la de la primera fuente. Esto significa que la segunda fuente es negativa o invertida 180 grados con respecto a la fuente uno. Así, podemos tratarlo como una fuente descendente de\(−3\angle −30^{\circ}\) amperios, o\(3\angle 150^{\circ}\) amperios, lo que preferimos. Ahora que ambos están configurados como que tienen una dirección de referencia hacia abajo, simplemente los sumamos juntos.

    \[i_{total} = i_1+i_2 \nonumber \]

    \[i_{total} = 1\angle 0^{\circ} A+3\angle 150^{\circ} A \nonumber \]

    \[i_{total} = 2.192\angle 136.8^{\circ} A \nonumber \]

    Como alternativa, podríamos restar\(3\angle −30^{\circ}\) amperios de la primera fuente en función de las direcciones de referencia, y señalar que la dirección resultante de la combinación es la misma que la de la primera fuente. Otra opción sería invertir la dirección de referencia de la primera fuente. Esto produciría una dirección ascendente con un valor de\(2.192\angle −43.2^{\circ}\) amperios.

    Habiendo simplificado el circuito a una sola fuente de corriente, debería ser obvio que el inductor está en serie con la\(\Omega\) resistencia 22, y esa combinación está en paralelo tanto con el condensador como con la\(\Omega\) resistencia 33. Encontrar esa impedancia paralela nos permitiría encontrar\(v_a\). Sabiendo\(v_a\), un divisor de voltaje entre el combo inductor/resistor en serie cederá\(v_b\). Algo importante a tener en cuenta es que, dada la dirección de referencia descendente de la fuente de corriente equivalente, KCL indica que la dirección de la corriente a través de los demás componentes debe ser ascendente, es decir, que ambas\(v_a\) y\(v_b\) negativas con respecto a tierra.

    \[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{X_C} + \frac{1}{R_1 + X_L} + \frac{1}{R_2}} \nonumber \]

    \[Z_{total} = \frac{1}{\frac{1}{− j 80\Omega} + \frac{1}{22 \Omega +j 50 \Omega} + \frac{1}{33\Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{total} = 26.38\angle 6.45^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_a =−i_{total} \times Z_{total} \nonumber \]

    \[v_a =−2.192\angle 136.8^{\circ} A\times 26.38\angle 6.45^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[v_a = 57.8\angle −36.8^{\circ} V \nonumber \]

    Si hubiéramos invertido la dirección de referencia de la fuente de corriente, usando\(2.192\angle −43.2^{\circ}\) amperios en su lugar, no se requeriría el signo menos inicial y llegaríamos al mismo resultado. Continuando,

    \[v_b = v_a \left( \frac{R_1}{R_1+X_L} \right) \nonumber \]

    \[v_b = 57.8\angle −36.8^{\circ} V \frac{22\Omega}{22\Omega +j 50\Omega} \nonumber \]

    \[v_b = 23.29\angle −103^{\circ} V \nonumber \]

    Análisis a través del dominio de la frecuencia

    En su mayor parte, hemos examinado la respuesta de un circuito a una sola frecuencia de excitación. En muchos sistemas electrónicos, como en el campo de las comunicaciones, numerosas frecuencias están presentes simultáneamente. Recordemos del Capítulo 1 cómo formas de onda complejas como ondas cuadradas, ondas triangulares o señales musicales se pueden construir a partir de una serie de ondas sinusoidales. En tales sistemas, los componentes reactivos se comportan como valores diferentes a las diversas frecuencias simultáneamente. Por ejemplo, un condensador puede tener una reactancia de\(−j400 \Omega \) para una señal de 100 Hz mientras que al mismo tiempo ofrece una reactancia de\(−j40 \Omega \) para una señal de 1 kHz. Es esta calidad dinámica la que nos permite diseñar circuitos para suprimir o bloquear ciertos componentes de frecuencia, o seleccionar frecuencias específicas de un amplio rango o espectro de componentes de frecuencia.

    Introduciremos este concepto analizando primero el circuito a un par de frecuencias específicas y luego emplear un simulador para realizar un análisis de dominio de frecuencia (a veces llamado análisis de CA) para trazar curvas de respuesta complejas de voltaje frente a frecuencia. El concepto de respuesta en el dominio de la frecuencia se ampliará en los próximos trabajos, particularmente en el Capítulo 10.

    Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

    Considera el circuito que se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\). Supongamos que la fuente es una onda sinusoidal pico de un voltio. Determine los voltajes\(v_a\),\(v_b\) y\(v_c\) si la frecuencia de la fuente es de 10 kHz. Repita esto para una frecuencia de entrada de 10 Hz.

    clipboard_e8473eeee91df3702b88e175eb60eafec.png
    Figura\(\PageIndex{12}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{6}\).

    Si tratamos\(E\) como la entrada y\(v_c\) como la salida final, este circuito se comporta como una serie de divisores de voltaje dependientes de la frecuencia en cascada. En términos generales, a bajas frecuencias las reactancias capacitivas serán mayores que las resistencias asociadas, y la mayor parte del voltaje de entrada llegará al nodo\(c\). A altas frecuencias, las reactancias capacitivas serán pequeñas, lo que dará como resultado una considerable división de voltaje en cada nodo. De esta manera, sólo un pequeño porcentaje de la entrada llegará a la salida final. Es decir, este circuito filtrará o eliminará altas frecuencias de la entrada con considerable efecto, mucho más que una sola red RC.

    Primero, necesitamos encontrar las tres reactancias capacitivas a 10 kHz. Comenzando por la izquierda, encontramos

    \[X_C =− j \frac{1}{2 \pi f C} \nonumber \]

    \[X_C =− j \frac{1}{2 \pi 10Hz 1\mu F} \nonumber \]

    \[X_C \approx − j 15.92 \Omega \nonumber \]

    Las otras reactancias capacitivas funcionan hacia\(−j31.83 \Omega \) y\(−j79.58 \Omega \). El voltaje\(v_a\) puede ser determinado por un divisor de voltaje entre la\(\Omega\) resistencia de 1 k y la combinación serie-paralelo de los cinco componentes restantes. Primero, el 5 k\(\Omega\) está en serie con el 200 nF. Esa combinación es en paralelo con la 500 nF, que a su vez está en serie con la\(\Omega\) resistencia de 2 k. Por último, ese grupo de cuatro está en paralelo con el condensador de 1\(\mu\) F.

    Las resistencias y capacitores se numeran de izquierda a derecha en las siguientes ecuaciones. Necesitaremos cada una de las impedancias de segmento para los cálculos posteriores.

    \[Z_{right3} = \frac{1}{\frac{1}{X_{C2}} + \frac{1}{Z_{right2}}} \nonumber \]

    \[Z_{right3} = \frac{1}{\frac{1}{− j31.83\Omega} + \frac{1}{5000 − j 79.58 \Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{right3} = 31.83\angle −89.6^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[Z_{right4} = R_2+Z_{right3} \nonumber \]

    \[Z_{right4} = 2000\Omega +31.83\angle −89.6^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[Z_{right4} = 2000\angle −0.91^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[Z_{right5} = \frac{1}{\frac{1}{X_{C1}} + \frac{1}{Z_{right4}}} \nonumber \]

    \[Z_{right5} = \frac{1}{\frac{1}{− j 15.92 \Omega} + \frac{1}{2000\angle −.91^{\circ} \Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{rightt} = 15.92\angle −89.5^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Por fin llegamos a\(v_a\):

    \[v_a = e_{source} \frac{Z_{right5}}{R_1+Z_{right5}} \nonumber \]

    \[v_a = 1\angle 0^{\circ} V \frac{15.92\angle −89.5^{\circ} \Omega}{1000\Omega +15.92\angle −89.5^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[v_a = 15.92\angle −88.6^{\circ} mV \nonumber \]

    Para encontrar\(v_b\) realizamos un divisor de voltaje entre la\(\Omega\) resistencia de 2 k y\(Z_{right3}\) usando\(v_a\) como entrada.

    \[v_b = v_a \frac{Z_{right3}}{R_2+Z_{right3}} \nonumber \]

    \[v_b = 15.92\angle −88.6^{\circ} mV \frac{31.83\angle −89.6^{\circ} \Omega}{2000\Omega +31.83\angle −89.6^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[v_b = 253.3\angle −177.3 ^{\circ} \mu V \nonumber \]

    Finalmente, para\(v_c\) encontrarnos realizamos un divisor de voltaje entre la\(\Omega\) resistencia de 5 k y el condensador de 200 nF usando\(v_b\) como entrada.

    \[v_c = v_b \frac{X_{C3}}{R_3+X_{C3}} \nonumber \]

    \[v_c = 253.3\angle −177.3^{\circ} \mu V \frac{− j 79.58\Omega}{5000\Omega − j 79.58\Omega} \nonumber \]

    \[v_c = 4.03\angle 93.6^{\circ} \mu V \nonumber \]

    Obviamente, solo un pequeño porcentaje de la señal fuente se encuentra en el nodo\(c\) a esta frecuencia.

    Repitiendo este proceso a 10 Hz produce reactancias capacitivas de\(−j15.92 k\Omega\),\(−j31.83 k\Omega \) y\(−j79.58 k\Omega \). En este nivel, la cantidad de señal perdida a través de cada segmento es intrascendente. Por ejemplo, para el segmento final, la relación del divisor de voltaje funciona para:

    \[\frac{v_c}{v_b} = \frac{X_{C3}}{R_3+X_{C3}} \nonumber \]

    \[\frac{v_c}{v_b} = \frac{− j 79.58 k \Omega}{5000\Omega − j 79.58 k \Omega } \nonumber \]

    \[\frac{v_c}{v_b} = 0.998\angle −3.6^{\circ} \nonumber \]

    En otras palabras, se pierde un mero 0.2% de la señal y hay un modesto desplazamiento de\(−3.6^{\circ}\) fase. Los resultados en los otros nodos son similares y se dejan como ejercicio. Así vemos que las frecuencias bajas están permitidas a través de esta red mientras se atenúan las frecuencias altas.

    Simulación por Computadora

    Si bien los resultados de Ejemplo\(\PageIndex{6}\) deberían ser convincentes en cuanto al rendimiento del circuito, también debería ser obvio que determinar los voltajes para cualquier conjunto de frecuencias fuente sería un ejercicio tedioso. Afortunadamente, existen otras técnicas que pueden emplearse, como las examinadas en el Capítulo 10. Por ahora, sin embargo, volveremos nuestra atención a un simulador. La mayoría de los simuladores ofrecen un análisis de CA o análisis de dominio de frecuencia que creará dos gráficas enlazadas; una para la magnitud de voltaje y otra para la fase. Comenzamos ingresando el circuito de la Figura\(\PageIndex{12}\) en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\). A pesar de que el esquema muestra una frecuencia de fuente de 1 kHz, el análisis de CA nos permitirá especificar las frecuencias de inicio y finalización para las gráficas. En este caso, usaremos los puntos de 10 Hz y 10 kHz especificados en el ejemplo. Los resultados se muestran en la Figura\(\PageIndex{14}\).

    clipboard_ef66dc9e02d69035972ee016946410274.png
    Figura\(\PageIndex{13}\): El circuito de la Figura\(\PageIndex{12}\) en un simulador.
    clipboard_e774227a875a6f11d5191de949bf9fda3.png
    Figura\(\PageIndex{14}\): Gráfica de voltaje en el dominio de la frecuencia para el circuito de la Figura\(\PageIndex{12}\).

    El gráfico superior traza los voltajes en los nodos\(a\)\(b\) y a\(c\) través de la frecuencia. Es obvio que, a medida que aumenta la frecuencia, disminuye el voltaje en cada nodo. El gráfico inferior traza el desplazamiento de fase en cada uno de los nodos y es evidente que el desplazamiento de fase aumenta en la dirección negativa a medida que aumenta la frecuencia. Esto se espera porque, a medida que aumenta la frecuencia, la reactancia capacitiva disminuye, haciendo que cada combinación paralela parezca más capacitiva, y acercándose a −90 grados cada una. Una comprobación rápida de las magnitudes y fases de voltaje a 10 Hz indica que se pierde muy poca señal en los tres nodos y que los desplazamientos de fase son cercanos a cero. Además, a 10 kHz, hay una pérdida de señal considerable a través de cada sección, con cada sección produciendo casi −90 grados, tal como se calcula. Quizás lo único curioso aquí es el cambio abrupto en el desplazamiento de fase que se muestra en el nodo\(c\) alrededor de los 300 Hz (traza roja). Esto es solo un artefacto del software de trazado. Si un ángulo va más allá de\(\pm\) 180 grados, el valor se gira hacia atrás para mantener el valor dentro de\(\pm\) 180. Por ejemplo, −185 grados es lo mismo que +175 grados.

    La combinación de elementos reactivos puede ser un medio muy efectivo para seleccionar un cierto rango de frecuencias, como se ilustra adicionalmente en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

    En el capítulo 2 presentamos el concepto de una red de crossover de altavoces. La idea era “dirigir” las bajas frecuencias al woofer (transductor de baja frecuencia) y las frecuencias altas al tweeter (transductor de alta frecuencia). Un avance en ese sistema simple es usar una combinación de condensadores e inductores en lugar de una simple red RC o RL. Una posible configuración se ilustra en la Figura\(\PageIndex{15}\). A altas frecuencias, la reactancia capacitiva será pequeña mientras que la reactancia inductiva será grande. Así, prácticamente toda la señal de entrada llegará al altavoz. Por el contrario, a bajas frecuencias las reactancias capacitivas serán grandes y la reactancia inductiva pequeña, dando como resultado que casi ninguna de las señales de entrada llegue al altavoz. En algún lugar en el medio, una porción significativa de la señal la atravesará. Este punto se conoce como la frecuencia de cruce. Si el voltaje de la fuente es pico de 1 voltio, determine el voltaje desarrollado a través de un\(\Omega\) altavoz 8 a una frecuencia de 2.6 kHz para este circuito.

    clipboard_e233709b2fa6d7debfdd1e3dba0dbaca2.png
    Figura\(\PageIndex{15}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{7}\).

    Primero, necesitamos determinar las reactancias a la frecuencia de interés.

    \[X_{C1} =− j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]

    \[X_{C1} =− j \frac{1}{2\pi 2.6kHz 5\mu F} \nonumber \]

    \[X_{C1} \approx − j12.24 \Omega \nonumber \]

    El segundo condensador es tres veces más grande y por lo tanto su reactancia será de un tercio más, o\(−j4.08 \Omega \). Para el inductor,

    \[X_L = j 2\pi f L \nonumber \]

    \[X_L = j 2\pi 2.6 kHz 360\mu H \nonumber \]

    \[X_L\approx j 5.88\Omega \nonumber \]

    Ahora que tenemos las reactancias, la tensión del altavoz se puede calcular a través de un par de divisores de voltaje. Para encontrar el voltaje del altavoz primero encontraremos el voltaje desarrollado a través del inductor. Para encontrar eso, necesitamos encontrar la impedancia combinada de los tres componentes a la derecha.

    \[Z_{right3} = \frac{1}{\frac{1}{X_L} + \frac{1}{Z_{right2}}} \nonumber \]

    \[Z_{right3} = \frac{1}{\frac{1}{j 5.88\Omega} + \frac{1}{8 − j 4.08\Omega}} \nonumber \]

    \[Z_{right3} = 6.44\angle 50.3^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Ahora para que el divisor de voltaje encuentre\(v_{inductor}\).

    \[v_{inductor} = e_{source} \frac{Z_{right3}}{Z_{right3} + X_{C1}} \nonumber \]

    \[v_{inductor} = 1\angle 0^{\circ} V \frac{6.44\angle 50.3^{\circ} \Omega}{ 6.44 \angle 50.3^{\circ} \Omega − j 12.24 \Omega} \nonumber \]

    \[v_{inductor} = 0.77\angle 110.8^{\circ} V \nonumber \]

    Y ahora el divisor de voltaje final para encontrar\(v_{loudspeaker}\).

    \[v_{loudspeaker} = v_{inductor}\frac{Z_{loudspeaker}}{Z_{loudspeaker}+X_{C2}} \nonumber \]

    \[v_{loudspeaker} = 0.77\angle 110.8^{\circ} \mu V \frac{8\Omega}{ 8\Omega − j 4.08\Omega} \nonumber \]

    \[v_{loudspeaker} = 0.686\angle 137.9 ^{\circ} V \nonumber \]

    A esta frecuencia particular el altavoz ve alrededor de 2/3rds de la tensión de la fuente. Para cualquier frecuencia más alta, el altavoz verá una mayor parte de la fuente de 1 voltio y para cualquier frecuencia más baja, el altavoz verá menos. A frecuencias muy bajas, solo pueden pasar unos pocos microvoltios.

    Simulación por Computadora

    Para obtener una mejor idea de la tensión del altavoz en función de la frecuencia, el circuito de la Figura\(\PageIndex{15}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{16}\).

    clipboard_e1510a67f2786a1ca73b38e9d2e52bd4b.png
    Figura\(\PageIndex{16}\): El circuito de la Figura\(\PageIndex{15}\) en un simulador.

    Se realiza una simulación de análisis de CA con la salida mostrada en la Figura\(\PageIndex{17}\).

    clipboard_ec28d8e932f3729319a28004089ef0d36.png
    Figura\(\PageIndex{17}\): Gráfica en el dominio de la frecuencia de la tensión del altavoz para el circuito de la Figura\(\PageIndex{15}\).

    Tanto las gráficas de magnitud como de fase corroboran el voltaje calculado del altavoz a 2.6 kHz. La gráfica de magnitud muestra que el voltaje del altavoz está muy cerca del nivel de entrada a frecuencias superiores a aproximadamente 3 kHz. Por debajo de esta frecuencia, el voltaje del altavoz se desenrolla considerablemente. Abajo a 100 Hz, bien en la región de graves, menos de 100 microvoltios, o menos de 0.01% de la entrada, llega al altavoz. Este circuito haría para una red crossover efectiva a un tweeter de alta frecuencia.

    Para concluir, vale la pena señalar que un altavoz exhibe una impedancia compleja en lugar de un simple valor resistivo, sin embargo, modelarlo como una\(\Omega\) resistencia 8 es suficiente para ilustrar el funcionamiento de este circuito. Analizaremos más de cerca la impedancia de los altavoces y otros dispositivos en los próximos capítulos.


    This page titled 4.4: Análisis de Circuito Serie-Paralelo is shared under a CC BY-NC-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by James M. Fiore via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.