5.4: Teoremas de Thévenin y Norton
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Estos teoremas están relacionados en que permiten simplificar redes lineales complejas hasta una sola fuente con una impedancia interna asociada. Simplifican el análisis al verificar un circuito con múltiples cargas posibles.
Teorema de Thévenin
El teorema de Thévenin lleva el nombre de Léon Charles Thévenin. Afirma que:
\[\text{Any single port linear network can be reduced to a simple voltage source, } E_{th}, \text{ in series with an internal impedance } Z_{th}. \nonumber \]
Es importante señalar que un equivalente de Thévenin es válido sólo a una frecuencia particular. Si se cambia la frecuencia del sistema, los valores de reactancia e impedancia cambiarán y los\(Z_{th}\) valores resultantes\(E_{th}\) y se alterarán. En consecuencia, estos equivalentes generalmente no son apropiados para un circuito que utiliza múltiples fuentes con diferentes frecuencias 1. Un ejemplo genérico de un equivalente de Thévenin se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\).
La frase “red de puerto único” significa que el circuito original está cortado de tal manera que solo existen dos conexiones al resto del circuito. Ese resto puede ser un solo componente o un gran subcircuito multicomponente. \(E_{th}\)es el voltaje de circuito abierto en el puerto y\(Z_{th}\) es la impedancia mirando hacia atrás en el puerto (es decir, el equivalente que ahora impulsa el resto). Como hay muchas formas de cortar un circuito típico, hay muchos equivalentes posibles de Thévenin. Considera el circuito que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\).
Supongamos que queremos encontrar el equivalente Thévenin que impulsa\(R_2\). Cortamos el circuito inmediatamente a la izquierda de\(R_2\). Es decir, El primer paso es hacer el corte, quitando el resto del circuito. En este caso el resto es justo\(R_2\). Luego determinamos el voltaje de salida de circuito abierto en los puntos de corte (es decir, en el puerto abierto). Este voltaje se llama el voltaje Thévenin,\(E_{th}\). Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). En un circuito como este, se pueden utilizar técnicas básicas de análisis serie-paralelo para encontrar\(E_{th}\). En este circuito, debido a la apertura, no fluye corriente a través del inductor\(L\), y por lo tanto no se desarrolla voltaje a través de él. Por lo tanto,\(E_{th}\) debe ser igual al voltaje desarrollado a través del condensador,\(C\).
La segunda parte es encontrar la impedancia Thévenin,\(Z_{th}\). Comenzando con el circuito de “corte”, reemplace todas las fuentes con su impedancia interna ideal (cortocircuitando así las fuentes de voltaje y abriendo las fuentes de corriente). Desde la perspectiva del punto de corte, mire hacia atrás en el circuito y simplifique para determinar su impedancia equivalente. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\). Mirando desde donde se hizo el corte (lado derecho), vemos que\(R_1\) y\(X_C\) están en paralelo, y esta combinación es entonces en serie con\(X_L\). Así,\(Z_{th}\) es igual a\(jX_L + (R1 || −jX_C)\).
Como se señaló anteriormente, el circuito original podría cortarse de varias maneras diferentes. Podríamos, por ejemplo, querer determinar el equivalente Thévenin que impulsa\(C\) en el circuito original de la Figura\(\PageIndex{2}\). La nueva ubicación del puerto aparece en la Figura\(\PageIndex{5}\).
Claramente, esto dará como resultado valores diferentes para ambos\(E_{th}\) y\(Z_{th}\). Por ejemplo,\(Z_{th}\) es ahora\(R_1 || (R_2 + jX_L)\).
Un error común es encontrar\(Z_{th}\) desde la perspectiva equivocada, es decir, encontrar la impedancia que impulsa la fuente. Esto es rotundamente incorrecto. Recuerden,\(Z_{th}\) se encuentra buscando en el puerto y simplificando lo que se ve desde ahí. Una forma de recordar esto es que es posible crear equivalentes para circuitos multifuente. En ese caso, no hay una sola fuente de accionamiento, por lo que encontrar su impedancia de carga no tiene sentido.
Medición del Equivalente de Thévenin en el Laboratorio
En una situación de laboratorio, el equivalente Thévenin se puede encontrar de manera rápida y eficiente con las herramientas adecuadas. Primero, el circuito se “corta”, dejando sólo la porción a ser Thévenized. El voltaje en los puntos de corte se mide con un osciloscopio. Esto es\(E_{th}\). Todas las fuentes son luego reemplazadas por su impedancia interna, idealmente cortocircuitando fuentes de voltaje y abriendo fuentes de corriente 2. Luego se puede conectar un medidor de impedancia LCR al puerto para leer\(Z_{th}\). Si no hay disponible un medidor de impedancia, entonces las fuentes se dejan en su lugar y se coloca una caja de sustitución LCR en los puntos de corte. La caja se ajusta para que el voltaje a través de ella sea igual a la mitad de\(E_{th}\). Por la regla del divisor de voltaje, el valor de la caja de sustitución debe ser igual a\(Z_{th}\). En este caso, la caja de sustitución dará un valor de inductancia o capacitancia que luego se puede convertir en una reactancia dada la frecuencia.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{6}\), determinar el equivalente Thévenin que acciona la\(\Omega\) resistencia 300 y encontrar\(v_c\). Supongamos que el ángulo de origen es\(0^{\circ}\).
Primero, encontremos\(E_{th}\), el voltaje de salida de circuito abierto. Cortamos el circuito para que se elimine la\(\Omega\) resistencia 300. Después determinamos el voltaje en los puntos de corte. Este circuito se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\).
No hay corriente que fluya a través del inductor debido a la apertura. Por lo tanto, el voltaje a través del inductor es cero. En consecuencia,\(E_{th}\) es el voltaje a través del condensador, y eso se puede encontrar con un divisor de voltaje.
\[E_{th} = E \frac{X_C}{X_C +R_1} \nonumber \]
\[E_{th} = 10 \angle 0^{\circ} V \frac{− j 200\Omega}{− j 200\Omega +100 \Omega} \nonumber \]
\[E_{th} = 8.944\angle −26.6^{\circ} V \text{ or } 8 − j 4 V \nonumber \]
Para encontrar\(Z_{th}\), reemplazamos la fuente por un corto y luego miramos hacia atrás desde los puntos de corte. El circuito equivalente se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\). El inductor está en serie con la combinación paralela de la resistencia y el condensador.
\[Z_{left2} = \frac{R \times jX_C}{R − jX_C} \nonumber \]
\[Z_{left2} = \frac{100 \Omega \times (− j 200 \Omega )}{100 \Omega − j 200 \Omega} \nonumber \]
\[Z_{left2} = 89.44\angle −26.6^{\circ} \Omega \nonumber \]
\[Z_{th} = Z_{left2} + X_L \nonumber \]
\[Z_{th} = 89.44\angle −26.6 ^{\circ} \Omega + j 50\Omega \nonumber \]
\[Z_{th} = 80.62\angle 7.12^{\circ} \Omega or 80 +j 10\Omega \nonumber \]
El equivalente completado se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\).
El voltaje a través de la\(\Omega\) resistencia 300 se puede encontrar directamente:
\[v_{R2} = E_{th} \frac{R_2}{Z_{th} + R_2} \nonumber \]
\[v_{R2} = 8 − j 4 V \frac{300\Omega}{80+j 10\Omega +300\Omega} \nonumber \]
\[v_{R2} = 7.06\angle −28.1^{\circ} V \nonumber \]
Este valor se puede verificar siguiendo una simplificación serie-paralelo estándar. Por ejemplo, la impedancia de los tres componentes más a la derecha\((181.4\angle −53.97^{\circ} \Omega )\) forma un divisor de voltaje con la\(\Omega\) resistencia 100 y la fuente de 10 voltios. Esto lleva a\(v_b\)\((7.156\angle −18.61^{\circ}\) voltios). Entonces se puede usar un segundo divisor entre\(v_b\), el inductor y la\(\Omega\) resistencia 300 para encontrar\(v_c\), que es\(7.06\angle −28.1^{\circ}\) voltios como se esperaba. La gran ventaja de usar el equivalente Thévenin es que podemos encontrar fácilmente\(v_c\) para cualquier otro valor de carga porque solo necesitamos analizar el circuito equivalente más simple en lugar del original.
El teorema de Thévenin también se puede utilizar en circuitos multi-fuente. La técnica para encontrar\(Z_{th}\) no cambia, sin embargo, el hallazgo\(E_{th}\) es un poco más complicado, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentra\(v_b\) para el circuito de Figura\(\PageIndex{10}\) usando el teorema de Thévenin.
Este circuito es similar al utilizado en el Ejemplo 5.3.2 (Figura 5.3.5). La diferencia aquí es que la segunda fuente utiliza la misma frecuencia que la primera fuente. Los valores de reactancia son:
\[X_L = j314.2 \Omega \nonumber \]
\[X_C = −j212.2 \Omega \nonumber \]
El voltaje a través de los 2 k\(\Omega\) es\(v_b\), así que trataremos esa resistencia como la carga para definir el circuito equivalente. Esto se vuelve a dibujar en la Figura\(\PageIndex{11}\).
Para encontrar\(Z_{th}\), abreviamos las dos fuentes. Nos quedamos con el inductor y el condensador en paralelo. Si esto resulta confuso, recuerde que estamos mirando de nodo\(b\) a suelo (los puntos de corte), para que no estén en serie. Es decir, si una corriente de detección ingresa en el nodo\(b\), podría dividirse a izquierda y derecha, indicando caminos paralelos, no una conexión en serie.
\[Z_{th} = \frac{− jX_C \times jX_L}{− jX_C +jX_L} \nonumber \]
\[Z_{th} = \frac{− j 212.2\Omega \times j 314.2 \Omega}{− j 212.2 \Omega + j 314.2 \Omega} \nonumber \]
\[Z_{th} = − j 653.7\Omega \nonumber \]
Tenemos algunas opciones para encontrar\(E_{th}\). Se podría usar superposición, requiriendo cada circuito un divisor de voltaje. Como alternativa, el equivalente es básicamente un bucle en serie en lo que respecta a hallazgo\(v_b\). Así, podríamos encontrar el voltaje a través del inductor y restarlo de la fuente izquierda (asumiendo una dirección de corriente de referencia en sentido horario). Encontrar el voltaje del inductor requiere un divisor de voltaje o encontrar la corriente. Ninguno de los dos enfoques es considerablemente menos trabajo que el otro, y probablemente sea una buena idea meterse en un poco más de práctica usando superposición, así que...
Considerando la fuente izquierda, abreviamos la fuente correcta y encontramos\(v_b\).
\[v_{bR} = E_1 \frac{X_C}{X_C +X_L} \nonumber \]
\[v_{bR} = 10 \angle 0^{\circ} V \frac{−j 212.2\Omega}{− j 212.2\Omega +j 314.2 \Omega} \nonumber \]
\[v_{bR} = 20.84\angle 180 ^{\circ} V \text{ or } −20.84\angle 0^{\circ} V \nonumber \]
Para la fuente correcta, cortocircuitamos la fuente izquierda y encontramos\(v_b\). Después agregamos las dos contribuciones para encontrar el voltaje final. Tenga en cuenta que ambas fuentes producirán una polaridad de referencia de + a − de arriba a abajo.
\[v_{bL} = E_2 \frac{X_C}{X_C + X_L} \nonumber \]
\[v_{bL} = 2\angle 0^{\circ} V \frac{j 314.2\Omega}{− j 212.2 \Omega +j 314.2 \Omega} \nonumber \]
\[v_{bL} = 6.16\angle 0^{\circ} V \nonumber \]
La suma de los dos es\(−20.84\angle 0^{\circ} + 6.16\angle 0^{\circ}\), o\(14.68\angle 180^{\circ}\) voltios. El equivalente Thévenin es una fuente de\(14.68\angle 180^{\circ}\) voltios en serie con una impedancia de\(−j653.7 \Omega \).
Para encontrar el voltaje a través de la\(\Omega\) resistencia de 2 k, lo aplicamos al circuito equivalente y resolvemos.
\[v_b = E_{th} \frac{R}{R +Z_{th}} \nonumber \]
\[v_b = 14.68\angle 180 ^{\circ} V \frac{2 k\Omega}{ 2k \Omega +(− j 653.7\Omega )} \nonumber \]
\[v_b = 13.95\angle −161.9^{\circ} V \nonumber \]
Simulación por Computadora
Para verificar los resultados del ejemplo anterior, el circuito de la Figura\(\PageIndex{10}\) se captura en un simulador, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{12}\).
A continuación, se realiza un análisis transitorio, trazando la tensión en el nodo 2, que corresponde\(v_b\) en el circuito original. El resultado se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\). La gráfica se retrasa 0.1 segundos para superar el transitorio de encendido inicial.
Tanto la amplitud como la fase de la forma de onda de simulación coinciden con los resultados calculados.
Teorema de Norton
El teorema de Norton lleva el nombre de Edward Lawry Norton. Es la versión fuente actual del teorema de Thévenin. En otras palabras, las redes complejas se pueden reducir a una sola fuente de corriente con una impedancia interna paralela. Formalmente, el teorema de Norton afirma:
\[\text{Any single port linear network can be reduced to a simple voltage source, } I_n, \text{ in parallel with an internal impedance } Z_n. \nonumber \]
El proceso de encontrar un equivalente de Norton es muy similar a encontrar un equivalente de Thévenin. Primero, la impedancia Norton es la misma que la impedancia Thévenin. Segundo, en lugar de encontrar el voltaje de salida de circuito abierto, se encuentra la corriente de salida de cortocircuito. Esta es la corriente de Norton. Debido a la equivalencia que ofrecen las conversiones de origen, si se puede crear un equivalente de Thévenin para una red, entonces debe ser posible crear un equivalente de Norton. De hecho, si se encuentra un equivalente de Thévenin, se puede realizar una conversión de origen en él para producir el equivalente de Norton.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Vamos a reexaminar Ejemplo\(\PageIndex{1}\), esta vez creando un circuito equivalente a Norton. Para mayor comodidad, el circuito original de la Figura\(\PageIndex{6}\) se repite en la Figura\(\PageIndex{14}\). Una vez más, el objetivo será determinar el equivalente que impulsa la\(\Omega\) resistencia 300 y encontrar vc.
Como se señaló, la impedancia Norton\(Z_n\),, es la misma que\(Z_{th}\). Eso fue\(80 + j10 \Omega \). La corriente Norton,\(I_n\), es la corriente de cortocircuito a través de los puntos de corte. Podemos pensar en esto como reemplazar la resistencia de carga con un amperímetro. Esto es lo mismo que la corriente a través del inductor. En esta situación, el condensador y el inductor están en paralelo y producen una impedancia de\(j66.67 \Omega \). Así, la corriente fuente es:
\[i_{source} = \frac{E}{R +Z_{LC}} \nonumber \]
\[i_{source} = \frac{10\angle 0^{\circ}}{100\Omega +j 66.67\Omega} \nonumber \]
\[i_{source} = 83.2E-3\angle −33.7^{\circ} A \nonumber \]
Esto se divide entre el condensador y el inductor. Usando la regla divisora actual encontramos:
\[i_n = i_{inductor} = I_{source} \frac{X_C}{X_C+X_L} \nonumber \]
\[i_n = 83.2 \angle −33.7^{\circ} A \frac{− j 200\Omega}{− j 200 \Omega +j 50\Omega} \nonumber \]
\[i_n = 0.1109\angle −33.7 ^{\circ} A \nonumber \]
Se puede aplicar una conversión de origen para verificar este valor. La fuente de voltaje resultante es\(8 − j4\) voltios, precisamente el valor del equivalente Thévenin.
En última instancia, decidir entre usar los equivalentes Thévenin o Norton es una cuestión de gusto personal y conveniencia. Funcionan igual de bien.
Referencias
1 Es posible que un equivalente pueda ser válido en un rango específico de frecuencias, pero no se mantendrá para todas las frecuencias.
2 Un generador de señal de laboratorio típico tiene una impedancia\(\Omega\) interna de 50, y usar este valor sería más preciso que simplemente reemplazar la fuente con un cable de cortocircuito.