7.2: Formas de onda de potencia
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El cálculo de la potencia en los sistemas de CA está algo más involucrado que el caso de CC debido a la fase entre la corriente y la tensión. Se ha afirmado en trabajos anteriores que la disipación de potencia es característica de las resistencias, y que los inductores y capacitores ideales no disipan la potencia. Mostraremos precisamente por qué este es el caso examinando tres casos distintos para circuitos de CA: impedancia puramente resistiva, puramente reactiva y compleja.
Carga resistiva
Primero, considere el caso de la carga puramente resistiva, es decir, una carga con un ángulo de fase de 0 grados. Para determinar la potencia, simplemente multiplicamos el voltaje por la corriente. Recordemos que la expresión básica para un voltaje de onda sinusoidal sin un desplazamiento de CC es:
\[v(t) = V \sin (2\pi f t +\theta ) \nonumber \]
donde
- \(v(t)\)es el voltaje en algún momento\(t\),
- \(V\)es el valor pico,
- \(f\)es la frecuencia,
- \(\theta \)es el desplazamiento de fase.
Sabemos que la corriente y el voltaje están siempre en fase para una resistencia, y así\(\theta \) es de cero grados. Por lo tanto, la expresión para una corriente sinusoidal es similar, utilizando\(I\) en lugar de\(V\) para la corriente de pico. Multiplicamos la corriente y el voltaje juntos para llegar a una expresión de potencia 1:
\[\begin{align} P(t) &= v(t)\times i(t) \\[4pt] &= V \sin (2\pi ft)\times I \sin (2\pi ft) \\[4pt] &= VI \left( \frac{1}{2} − \frac{1}{2} \cos (2\pi 2 ft) \right) \\[4pt] &= \frac{VI}{2} − \frac{VI}{2} \cos (2\pi 2 ft) \label{7.1} \end{align} \]
La expresión final se compone de dos partes; la primera parte que es fija (no una función del tiempo) y la segunda parte que consiste en una onda coseno negativa al doble de la frecuencia original. Esto se puede visualizar como una onda sinusoidal desplazada en el tiempo que está montando en un nivel de CC que es igual al valor máximo de la nueva sinusoide. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) usando picos de corriente y voltaje normalizados a la unidad. En esta figura, la forma de onda de corriente (verde) se dibuja ligeramente por encima de su valor verdadero para que pueda verse fácilmente junto a la forma de onda de voltaje rojo, por lo demás idéntica.
El producto de potencia se muestra en azul. A menos que la frecuencia sea ridículamente baja, el calentamiento de la resistencia responderá al valor promedio de esta forma de onda gracias a la constante de tiempo térmica del dispositivo. Debido a que las sinusoides son simétricas alrededor de cero, la disipación de potencia efectiva promediada a lo largo del tiempo será el valor de desplazamiento, o\(VI/2\). Por ejemplo, una fuente de pico de un voltio que entregue una corriente de pico de un amperio, como se muestra aquí, debería generar\(VI/2\), o 0.5 vatios. Esto comprueba muy bien con el cálculo RMS de aproximadamente 0.707 voltios RMS por 0.707 amperios RMS que también produce 0.5 vatios.
Carga reactiva
La situación es considerablemente diferente si la carga es puramente reactiva. Para una carga que consiste en solo un inductor, el voltaje conduce la corriente 90 grados. Esto equivale a una onda coseno. Una vez más, multiplicamos el voltaje por la corriente para llegar a una expresión de potencia:
\[\begin{align} P(t) &= V \cos 2\pi ft\times I \sin 2\pi ft \\[4pt] &= VI \left( \frac{1}{2} \sin 2\pi 2 ft \right) \\[4pt] &= \frac{VI}{2} \sin 2\pi 2 ft \label{7.2} \end{align} \]
Tenga en cuenta que esta expresión no contiene un término constante y solo contiene un término variable en el tiempo. En consecuencia, sin un desplazamiento, no hay disipación neta de potencia. El resultado se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Aquí la potencia se está generando y disipando alternativamente (es decir, los valores positivos indican disipación mientras que los valores negativos indican generación). En este sentido, se puede pensar que el elemento reactivo almacena y libera energía alternativamente a la manera de que un resorte ideal se comprime y luego se libera.
Carga de impedancia compleja
Finalmente, llegamos al caso de una carga compleja, parte resistiva y parte reactiva. Dado algún ángulo de fase\(\theta \), tenemos:
\[\begin{align} P(t) &= V \sin 2\pi ft\times I \sin (2\pi ft+\theta ) \\[4pt] &= VI \left( \frac{1}{2} \cos \theta − \frac{1}{2} \cos (2\pi 2 ft+\theta ) \right) \\[4pt] &= \frac{VI}{2} \cos \theta − \frac{VI}{2} \cos (2\pi 2 ft+\theta ) \label{7.3} \end{align} \]
Esta expresión contiene tanto un término constante como un término variable en el tiempo, como el caso de la carga puramente resistiva mostrada en la Ecuación\ ref {7.1}. Hay, sin embargo, una distinción importante. El término constante se multiplica por el coseno del ángulo de impedancia, un valor cuya magnitud oscila entre 0 y 1. Por lo tanto, a menos que\(\theta \) sea cero, el desplazamiento no será igual al valor pico de la porción sinusoidal. Este es un punto particularmente importante que se amplificará en un momento.
Las formas de onda de ejemplo\(\theta = 45^{\circ}\) que utilizan se muestran gráficamente en la Figura\(\PageIndex{3}\). La forma de onda de potencia cae ligeramente por debajo de cero pero no es simétrica alrededor del eje de tiempo. En consecuencia, hay cierta disipación de potencia pero no tanto como en el caso puramente resistivo. En definitiva, el promedio de potencia a largo plazo es ahora una función del ángulo de fase,\(\theta \). Como el coseno\(\theta \) puede oscilar entre 0 y 1, la potencia para el caso de impedancia compleja nunca será mayor que la de la versión puramente resistiva. En efecto, podemos ver que la Ecuación\ ref {7.3} es el caso general. Si la carga es puramente resistiva entonces\(\theta \) es cero, y la Ecuación\ ref {7.3} se reduce a la Ecuación\ ref {7.1}. Del mismo modo, si la carga es puramente reactiva entonces\(\theta \) es de\(\pm\) 90 grados, y la Ecuación\ ref {7.3} se reduce a la Ecuación\ ref {7.2}.
Si bien este análisis utilizó una carga inductiva, lo mismo puede decirse con respecto a la caja capacitiva (simplemente intercambie las etiquetas por las formas de onda de corriente y voltaje). Finalmente, en las ecuaciones anteriores,\(V\) y\(I\) están los valores pico. Si se utilizan valores RMS, no hay necesidad de dividir\(VI\) por 2.
En este punto podemos ver que las resistencias disipan la verdadera potencia pero que los componentes reactivos no lo hacen. Esto plantea un problema práctico, a saber, cómo llamar el producto de corrientevoltaje para cargas puramente reactivas o complejas. Es decir, no podemos agrupar los valores de corriente-voltaje para un inductor con los de una resistencia más de lo que simplemente agregaríamos las magnitudes de resistencia y reactancia. La solución práctica es que nos referimos a la “potencia” en componentes reactivos como potencia reactiva. La potencia reactiva utiliza el símbolo Q. Además, las unidades no son vatios, sino voltios-amperios reactivos, o más comúnmente, VAR 2. Continuando, para una impedancia compleja nos referimos a la potencia aparente. Utiliza el símbolo S y tiene unidades de voltios-amperios, abreviado VA. Se llama potencia aparente porque parece ser la potencia si ingenuamente multiplicas el valor obtenido de un voltímetro por el valor obtenido de un amperímetro. Esos dispositivos no contabilizarían el ángulo de fase entre el voltaje y la corriente, a diferencia de un medidor de potencia adecuado, y su producto no sería la verdadera potencia. Los diversos términos de poder se resumen en la Figura\(\PageIndex{4}\).
Cantidad | Símbolo | Unidad, Abreviatura |
---|---|---|
Poder | P | vatios, W |
Poder aparente | S | voltios-amperios, VA |
Potencia Reactiva | Q | voltios-amperios reactivos, VAR |
Algunos ejemplos son para ayudar a solidificar estos conceptos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Determinar la potencia disipada por la resistencia en el circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\). También encuentra la potencia aparente extraída por el circuito y la potencia reactiva del inductor. La frecuencia de la fuente es de 1 kHz.
El primer ítem es encontrar la reactancia del inductor.
\[X_L = 2\pi f L \nonumber \]
\[X_L = 2\pi 1 kHz 1 mH \nonumber \]
\[X_L = j 6.283 \Omega \nonumber \]
Hay varias formas de encontrar el poder. En un bucle serie como este, lo más directo es usar las\(i^2R\) formas. La corriente fuente se puede encontrar a través de la ley de Ohm. Como los cálculos de potencia utilizan valores RMS, primero encuentre el valor RMS de la tensión de fuente.
\[v_{RMS} = \frac{v_{peak}}{\sqrt{2}} \nonumber \]
\[v_{RMS} = \frac{ 10V}{\sqrt{2}} \nonumber \]
\[v_{RMS} \approx 7.07V \nonumber \]
\[i = \frac{v}{Z} \nonumber \]
\[i = \frac{7.07 V}{10+j 6.283\Omega} \nonumber \]
\[i = 0.5986\angle −32.1^{\circ} A \nonumber \]
Para los cálculos de potencia, solo usaremos las magnitudes del voltaje y la corriente. Aquí, el símbolo “\(| |\)” se refiere solo a la magnitud de la reactancia o impedancia.
\[P = i^2 R \nonumber \]
\[P = (0.5986A)^2 10\Omega \nonumber \]
\[P \approx 3.58 W \nonumber \]
\[Q = i^2 | X | \nonumber \]
\[Q = (0.5986 A)^2 6.283\Omega \nonumber \]
\[Q \approx 2.25 \text{ VAR, inductive} \nonumber \]
\[S = i^2 | Z | \nonumber \]
\[S = (0.5986 A)^2 |10+j 6.283\Omega | \nonumber \]
\[S \approx 4.23 \text{ VA, inductive} \nonumber \]
Simulación por Computadora
El circuito de la Figura\(\PageIndex{5}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Se ejecutan tres simulaciones de análisis de transitorios diferentes.
La primera simulación traza la corriente circulante (verde), el voltaje de la resistencia (rojo) y su producto (la potencia, en azul). Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\). Podemos ver que la corriente y el voltaje están perfectamente en fase, como se esperaba. Además, la forma de onda de potencia varía desde cero hasta aproximadamente 7 vatios. El promedio de esto es aproximadamente la mitad del pico a pico, o aproximadamente 3.5 vatios, tal como se calcula.
El valor de potencia también se puede calcular a partir del voltaje por la corriente como una comprobación cruzada. El voltaje a través de la resistencia se puede encontrar a través de la regla de voltaje, y su magnitud es de aproximadamente 5.986 voltios RMS. Al multiplicar esto por la corriente RMS, también se producirán 3.58 vatios.
Es instructivo comparar estas curvas con las generadas en la Figura\(\PageIndex{1}\) para el caso resistivo general. Los valores de corriente y voltaje en la Figura\(\PageIndex{1}\) se normalizaron a la unidad por lo que no parecen ser idénticos a los de la Figura\(\PageIndex{7}\), sin embargo, lo importante es que las relaciones de fase son las mismas junto con la posición de la forma de onda de potencia. En ambos casos la forma de onda de potencia varía desde un mínimo de cero hasta algún valor máximo. En consecuencia, su valor promedio debe ser la mitad de su valor pico a pico.
Se genera un segundo conjunto de gráficas para el inductor. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\). Nuevamente, compare este conjunto con las curvas vistas en la Figura\(\PageIndex{2}\) para el caso reactivo general. Podemos ver que la corriente (verde) está 90 grados desfasada con el voltaje del inductor (rojo) y rezagada, como se esperaba. Más importante aún, vemos que la forma de onda de potencia (azul) está centrada alrededor de cero. El promedio de ciclo completo de este es cero, lo que significa que no se disipa ninguna potencia. Pero, ¿cómo cuadra este con la potencia reactiva de 2.25 VAR que se calculó para el inductor? Una mirada cercana a la gráfica de potencia muestra que ese valor corresponde al valor máximo de la forma de onda de potencia reactiva (es decir, la mitad de su valor pico a pico).
Finalmente, se crea un tercer conjunto de curvas para el circuito en su conjunto. En otras palabras, ahora estamos tratando la combinación en serie del inductor y la resistencia como la carga. Los resultados se ilustran en la Figura\(\PageIndex{9}\).
El ángulo de fase de impedancia calculado fue rezagado a 32.1 grados. Podemos ver este mismo desplazamiento entre las formas de onda de voltaje (rojo) y corriente (verde). El bit interesante aquí es el desplazamiento y amplitud de la forma de onda de potencia (azul). La forma de onda tiene un valor pico a pico de aproximadamente 8.5 VA. Una vez más, el valor calculado para la potencia aparente\(S\),, funciona a la mitad del valor de pico a pico trazado. Este será el caso de\(P\),\(Q\) y\(S\). Además, resulta que si encontramos el promedio de ciclo completo de esta forma de onda, esos pequeños picos negativos restarían del área total y reducirían el valor. El resultado sería la verdadera potencia de 3.58 watts. Veremos esto más de cerca siguiendo otro ejemplo.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Determinar la potencia disipada por la resistencia en el circuito de la Figura\(\PageIndex{10}\). También encuentre la potencia aparente extraída por el circuito y la potencia reactiva del condensador. La frecuencia de la fuente es de 1 kHz.
El primer elemento es encontrar la reactancia del condensador.
\[X_C = \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]
\[X_C = \frac{1}{2\pi 1kHz 1\mu F} \nonumber \]
\[X_C = − j 15.92\Omega \nonumber \]
A diferencia del ejemplo anterior, utilizaremos las\(v^2 /R\) formas para el poder como alternativa. El valor RMS de la tensión de la fuente es de 7.07 voltios. Primero, encuentra\(v_R\).
\[v_R = E \frac{R}{R − jX_C} \nonumber \]
\[v_R = 7.07V \frac{10\Omega}{10 − j 15.92\Omega} \nonumber \]
\[v_R = 3.761\angle 57.9^{\circ} V \nonumber \]
El voltaje del condensador se encuentra a través de KVL:
\[v_C = E −v_R \nonumber \]
\[v_C = 7.07\angle 0^{\circ} −3.761\angle 57.9 ^{\circ} V \nonumber \]
\[v_C = 5.99\angle −32.1^{\circ} V \nonumber \]
Para las potencias, solo usamos la magnitud del voltaje.
\[P = \frac{v^2}{R} \nonumber \]
\[P = \frac{(3.761 V)^2}{10\Omega} \nonumber \]
\[P \approx 1.414W \nonumber \]
\[Q = \frac{i^2}{| X |} \nonumber \]
\[Q = \frac{(5.99 V)^2}{15.92\Omega} \nonumber \]
\[Q \approx 2.25 \text{ VAR, capacitive} \nonumber \]
\[S = \frac{E^2}{|Z |} \nonumber \]
\[S = \frac{(7.07 V)^2}{| 10 − j15.92 \Omega |} \nonumber \]
\[S \approx 2.66 \text{ VA, capacitive} \nonumber \]
Simulación por Computadora
Para verificar los resultados, el circuito de la Figura\(\PageIndex{10}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{11}\). Una vez más, se ejecutan tres simulaciones de análisis de transitorios diferentes; una para la resistencia, el condensador y el par juntos.
En la Figura\(\PageIndex{12}\) vemos los resultados de un análisis transitorio realizado en la resistencia. Podemos ver que el voltaje y la corriente están en fase. Además, la forma de onda de potencia oscila de cero hasta alrededor de 2.8 vatios más o menos. Esto corresponde a un valor promedio de poco menos de 1.5 vatios, y esto concuerda muy bien con el resultado calculado.
La figura\(\PageIndex{13}\) ilustra los resultados de un análisis transitorio realizado en el condensador. Como era de esperar, la corriente está liderando el voltaje 90 grados. También podemos ver que la forma de onda de potencia se balancea simétricamente alrededor de cero, lo que significa que no hay disipación neta de potencia. El valor pico está justo por debajo de 2.5 VAR, alineándose muy bien con el valor calculado.
Finalmente, en la Figura\(\PageIndex{14}\) tenemos los resultados de un análisis transitorio utilizando tanto el condensador como la resistencia como carga. La forma de onda de la corriente sigue liderando el voltaje, pero en menos de 90 grados. De hecho, conduce por aproximadamente 2/3rds de una división, algo más\(60^{\circ}\) o menos, que se ajusta muy bien al ángulo de impedancia esperado de\(−57.9^{\circ}\) (es decir, de\(10 − j15.92 \Omega \)). La forma de onda de potencia se encuentra ligeramente por debajo del eje horizontal indicando que no es ni potencia verdadera ni potencia reactiva, sino una combinación. El valor pico a pico es algo superior a 5 unidades, lo que indica una potencia aparente de poco más de 2.5 VA, nuevamente, tal como se esperaba.
Referencias
1 Una identidad trigonométrica útil aquí es\((\sin x)^2 = 1/2 - 1/2 \cos 2x\)
2 Para la forma plural, algunas fuentes usan “VARs” mientras que otras usan “VAR”. Vamos a utilizar este último.