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7.3: Triángulo de poder

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    La sección anterior reveló que el ángulo de fase entre la corriente y el voltaje no se puede ignorar al calcular la potencia. Por ejemplo, si una fuente RMS de 120 voltios entrega 2 amperios de corriente, parece que entrega 240 vatios. Esto solo es cierto si la carga es puramente resistiva. Para una carga compleja, la verdadera potencia es algo menor. De hecho, como acabamos de ver, si la carga es puramente reactiva, no habrá verdadera potencia de carga en absoluto.

    Aunque trazar las formas de onda de corriente, voltaje y potencia es instructivo, puede ser algo engorroso. En su lugar, usamos un triángulo de poder como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). El eje horizontal representa la potencia verdadera,\(P\), en vatios. El eje vertical representa la potencia reactiva,\(Q\), en VAR. La combinación vectorial de\(P\) y\(Q\) da como resultado el poder aparente,\(S\), en VA. Recuerde, la potencia aparente es producto de las magnitudes de la corriente y voltaje. Esto es lo que la potencia “parece ser” basada en simples mediciones de corriente y voltaje de un DMM, versus un medidor de potencia adecuado. En el caso resistivo, no hay potencia reactiva y por lo tanto\(S\) y\(P\) son los mismos. En consecuencia, el\(S\) vector colapsa sobre el\(P\) vector. En un caso puramente reactivo, no hay verdadero poder y\(S\) y\(Q\) son los mismos; ambos vectores idénticos y verticales. Para el caso complejo,\(S\) es la suma vectorial de\(P\) y\(Q\). Este sencillo gráfico encapsula muy bien la relación entre los tres vectores. Además, dadas dos de las cuatro partes (tres magnitudes vectoriales y\( \theta \)) y con solo un poco de trigonometría, se pueden encontrar las otras dos partes.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): El triángulo de poder.

    Por ejemplo, conociendo los poderes reales y reactivos, el poder aparente se puede encontrar a través del teorema de Pitágoras. De igual manera, si se conocen la potencia aparente y el ángulo, las potencias reales y reactivas se pueden encontrar usando seno y coseno. Recuerde, la potencia aparente se puede encontrar a partir del producto de las magnitudes de voltaje y corriente RMS para cualquier impedancia compleja, y\( \theta \) es la misma que el ángulo de impedancia (es decir, el ángulo de voltaje menos el ángulo de corriente). Para su comodidad, algunas relaciones útiles del triángulo de poder se enumeran a continuación.

    \[S = v_{RMS} \times i_{RMS} \label{7.4} \]

    \[S = \sqrt{P^2+Q^2} \label{7.5} \]

    \[\theta = \tan^{-1} \frac{Q}{P} \text{ (i.e., the impedance angle)} \label{7.6} \]

    \[P = S \cos \theta \label{7.7} \]

    \[P = \sqrt{S^2−Q^2} \label{7.8} \]

    \[Q = S \sin \theta \label{7.9} \]

    \[Q = \sqrt{S^2−P^2} \label{7.10} \]

    Factor de potencia

    Como a menudo nos interesa el verdadero poder, vale la pena señalar que un reordenamiento de la Ecuación\ ref {7.7} muestra que la relación de potencia verdadera a potencia aparente es el coseno del ángulo de impedancia,\(P/S = \cos \theta \). Esto se conoce como el factor de potencia y se abrevia\(PF\). Por lo tanto,\(PF = \cos \theta\). Conociendo el ángulo de fase y la potencia aparente, se puede calcular la potencia verdadera. Si\(PF\) es positivo se dice que es un factor de potencia rezagado. Este es el caso de las cargas inductivas donde la corriente está retrasando el voltaje. Por el contrario, una carga capacitiva da como resultado un negativo o un avance\(PF\). Recordemos que para los condensadores, la corriente conduce el voltaje. El letrero solo se utiliza para indicar el avance o el retraso y será útil cuando examinemos la corrección del factor de potencia, en breve. Por ejemplo, si una fuente RMS de 100 voltios entrega 1 amperio para una potencia aparente de 100 VA y el ángulo de fase es\(−30^{\circ}\),\(PF\) es\(\cos (−30^{\circ})\) o 0.866 líder y la verdadera potencia son\(P = 100 \cos (−30^{\circ}) = 86.6\) vatios.

    \[PF = \frac{P}{S} = \cos \theta \text{ (positive is lagging and inductive)} \label{7.11} \]

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encontrar\(S\),\(P\) y\(Q\) en el circuito de Figura\(\PageIndex{2}\). \(E = 120\)voltios RMS. La frecuencia de la fuente es de 60 Hz.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    El primer paso es determinar la reactancia inductiva.

    \[X_L = 2\pi f L \nonumber \]

    \[X_L = 2\pi 60 Hz 150 mH \nonumber \]

    \[X_L = j 56.55\Omega \nonumber \]

    A partir de aquí podemos determinar la impedancia del sistema que, a su vez, nos permitirá determinar la corriente de fuente.

    \[Z = \frac{R\times jX_L}{R + jX_L} \nonumber \]

    \[Z = \frac{160\Omega \times ( j 56.55 \Omega )}{160 \Omega + j56.55\Omega} \nonumber \]

    \[Z = 53.3\angle 70.5^{\circ} \Omega \nonumber \]

    \[i_{source} = \frac{e_{source}}{Z} \nonumber \]

    \[i_{source} = \frac{120\angle 0^{\circ} V}{53.3\angle 70.5^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_{source} = 2.252\angle −70.5^{\circ} A \nonumber \]

    La potencia aparente es el producto de las magnitudes de voltaje y corriente del circuito.

    \[S = E\times i_{source} \nonumber \]

    \[S = 120 V\times 2.252 A \nonumber \]

    \[S = 270.1 \text{ VA, inductive} \nonumber \]

    \[P = S \cos \theta \nonumber \]

    \[P = 270.1 VA \cos 70.5^{\circ} \nonumber \]

    \[P = 90 W \nonumber \]

    \[Q = S \sin \theta \nonumber \]

    \[Q = 270.1 VA \sin 70.5^{\circ} \nonumber \]

    \[Q = 254.7 \text{ VAR, inductive} \nonumber \]

    Como comprobación cruzada, la verdadera potencia también se puede determinar al cuadrar el voltaje RMS y luego dividirlo por la\(\Omega \) resistencia 160. De igual manera, se\(X_L\) generará dividir el voltaje cuadrado por\(Q\).

    \[P = \frac{v_R^2}{R} \nonumber \]

    \[P = \frac{120 V^2}{160 \Omega} \nonumber \]

    \[P = 90 W \nonumber \]

    El triángulo de potencia para este circuito se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\).

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Triángulo de potencia para el circuito de la Figura\(\PageIndex{2}\).

    Corrección del factor de potencia

    Un problema con una carga reactiva es que la corriente es más alta de lo que necesita ser para lograr una cierta potencia de carga verdadera. Esto es derrochador y requeriría conductores más grandes. Para paliar estos problemas, se puede agregar una reactancia opuesta a la carga de manera que la carga resultante sea puramente resistiva. Esto se puede realizar determinando el\(Q\) valor original y luego agregando una reactancia suficiente para producir un adicional\(Q\) del signo opuesto dando como resultado la cancelación. A partir de ahí, es un paso corto para determinar la impedancia requerida. Entonces, conociendo la frecuencia, la capacitancia o inductancia requerida se puede encontrar usando la fórmula de reactancia apropiada. Esto se ilustra en el siguiente ejemplo.

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Buscar circuito\(PF\),\(S\),\(P\) y\(Q\) para Figura\(\PageIndex{4}\). \(E = 20\angle 0^{\circ}\)pico de voltios a una frecuencia de 10 kHz. También encontrar un componente apropiado que cuando se coloca de nodo\(a\) a tierra trae\(PF\) a la unidad.

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    La reactancia inductiva de 1 mH a 10 kHz es\(j62.83 \Omega \). Esto es en paralelo con la\(\Omega \) resistencia 100, que luego está en serie con la\(\Omega \) resistencia 20.

    \[Z = 20\Omega +(100\Omega || j 62.83\Omega ) \nonumber \]

    \[Z = 20\Omega +(28.3+j 45\Omega ) \nonumber \]

    \[Z = 66 \angle 43^{\circ} \Omega \nonumber \]

    Esta vez utilizaremos valores de pico para ilustrar la diferencia en comparación con el uso de valores RMS como en el ejemplo anterior. La corriente de origen es:

    \[i_{source} = \frac{E}{Z} \nonumber \]

    \[i_{source} = \frac{20\angle 0^{\circ} V}{66\angle 43^{\circ} \Omega} \nonumber \]

    \[i_{source} = 0.303\angle −43^{\circ} A \text{ peak} \nonumber \]

    Para encontrar\(S\), multiplique las magnitudes de voltaje y corriente de fuente. Como estos son valores pico, multiplique cada uno por 0.707 para llegar a RMS, o simplemente cortar la respuesta a la mitad (es decir,\(0.707^2\) es 0.5). Esta es la potencia aparente de todo el circuito.

    \[S = \frac{E\times i_{source}}{2} \nonumber \]

    \[S = \frac{20 V\times 0.303 A}{2} \nonumber \]

    \[S = 3.03 \text{ VA, inductive} \nonumber \]

    \[P = S \cos \theta \nonumber \]

    \[P = 3.03 VA \cos 43^{\circ} \nonumber \]

    \[P = 2.22 W \nonumber \]

    Para ser claros, 2.22 vatios es la disipación de potencia combinada entre las dos resistencias.

    \[Q = S \sin \theta \nonumber \]

    \[Q = 3.03 VA \sin 43^{\circ} \nonumber \]

    \[Q = 2.07 \text{ VAR, inductive} \nonumber \]

    El triángulo de potencia para este circuito se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\).

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    Figura\(\PageIndex{5}\): Triángulo de potencia para el circuito de la Figura\(\PageIndex{4}\).

    Para la segunda parte que involucra la corrección del factor de potencia, necesitamos agregar una potencia reactiva igual en magnitud al valor existente pero del signo opuesto. Esto significa que necesitamos agregar 2.07 VAR capacitivo. El nuevo triángulo de poder se muestra en la Figura\(\PageIndex{6}\). Los componentes verticales se cancelan, dando como resultado que la potencia aparente sea igual a la verdadera potencia con\(PF = 1\).

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    Figura\(\PageIndex{6}\): Triángulo de potencia para el circuito de la Figura\(\PageIndex{4}\) con corrección del factor de potencia.

    Podemos colocar el condensador de corrección donde sea conveniente en términos físicos, siempre y cuando agreguemos 2.07 VAR capacitivo. No tenemos un circuito físico, así que eso no es una consideración aquí. Una ubicación conveniente sería colocarlo a través del combo resistor-inductor existente. Nuestro objetivo entonces es encontrar primero la reactancia requerida, y a partir de eso, determinar la capacitancia requerida. Esto lo haremos de dos maneras distintas. En el primer caso, observamos que el condensador aparece a través del único otro elemento reactivo en el circuito. Por lo tanto, para que cancelen deben tener la misma magnitud de reactancia, y así\(X_C\) deben ser iguales\(−j62.8 \Omega\). Pero, ¿y si hubiera múltiples elementos reactivos en el circuito o si no fuera práctico ubicar ahí el componente, por ejemplo, debido a restricciones de espacio? En ese caso, simplemente trabajaríamos la relación de poder al revés. A modo de comparación, supongamos que colocamos el condensador en la misma ubicación; de nodo\(a\) a tierra. Se puede utilizar un divisor de voltaje para determinar el valor actual de\(v_a\). Esto funciona a 11.4 voltios RMS. Usando la forma de voltaje de la regla de potencia:

    \[Q = \frac{v_X^2}{X} \nonumber \]

    \[X = \frac{v_X^2}{Q} \nonumber \]

    \[X = \frac{11.4V^2}{2.07VAR} \nonumber \]

    \[X = 62.8\Omega \nonumber \]

    De cualquier manera derivamos\(X_C\), ahora solo resolvemos la fórmula de reactancia capacitiva para encontrar\(C\).

    \[C = \frac{1}{2\pi f X_C} \nonumber \]

    \[ C = \frac{1}{2\pi 10 kHz62.8\Omega} \nonumber \]

    \[C = 253.3 nF \nonumber \]

    El circuito resultante se muestra en la Figura\(\PageIndex{7}\).

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    Figura\(\PageIndex{7}\): El circuito de la Figura\(\PageIndex{4}\) con corrección del factor de potencia.

    Simulación por Computadora

    Es útil ver la reducción de la demanda actual causada por el uso de la corrección del factor de potencia. Para ello, el circuito de la Figura\(\PageIndex{7}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{8}\).

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    Figura\(\PageIndex{8}\): El circuito de la Figura\(\PageIndex{7}\) en un simulador.

    Realizaremos dos análisis transitorios para encontrar la corriente de origen. La primera versión se ejecutará utilizando la configuración original del circuito sin el condensador. La segunda ejecución incluirá el condensador. Para trazar las corrientes, haremos uso de la ley de Ohm. Primero obtenemos los voltajes en los nodos 1 y 2. Entonces, usando el postprocesador del simulador, restamos\(v_1\) del\(v_2\) cual produce el voltaje a través de la\(\Omega \) resistencia 20. Esta cantidad se divide entonces por 20\(\Omega \) para llegar a la corriente de entrada. Esto es similar a la técnica de resistencia de detección de corriente utilizada en capítulos anteriores.

    La corriente resultante para el circuito original se muestra en la Figura\(\PageIndex{9}\). Tenga en cuenta que la corriente pico es de poco más de 300 miliamperios, según se calcula en el paso dos del ejemplo.

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    Figura\(\PageIndex{9}\): Resultados de simulación para el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\) sin corrección del factor de potencia.

    La segunda simulación se muestra en la Figura\(\PageIndex{10}\), ahora con corrección del factor de potencia.

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Resultados de simulación para el circuito de la Figura\(\PageIndex{8}\) con corrección del factor de potencia.

    La amplitud aquí es muy reducida, en el rango de 160 a 170 miliamperios pico. Al agregar el condensador, las dos corrientes reactivas se cancelan, dejando una impedancia paralela de solo 100\(\Omega \). Esto está en serie con la\(\Omega \) resistencia 20. Dividiendo 120\(\Omega \) en la fuente de pico de 20 voltios produce una corriente máxima de aproximadamente 167 mA, de acuerdo con la simulación. La cancelación de las corrientes reactivas también se muestra por el hecho de que la corriente fuente ya no está desfasada. En\(\PageIndex{10}\) la Figura la forma de onda de la corriente está en fase y comienza en cero, como se esperaba. Esto implica una carga que es el equivalente a una resistencia pura. En contraste, la gráfica de la Figura\(\PageIndex{9}\) muestra una corriente que está rezagada alrededor de media división, o alrededor de 45 grados, que como era de esperar es el valor aproximado del ángulo de impedancia del circuito. Obviamente entonces, esta impedancia combinada debe ser inductiva.

    En resumen, la corrección del factor de potencia se utiliza para reducir la demanda de corriente mientras se mantiene constante la potencia de carga. Si la carga es fija, esto se puede lograr mediante el uso de un condensador (para cargas inductivas) o un inductor (para cargas capacitivas). Si la demanda de carga es dinámica, entonces se requiere un sistema más complejo, por ejemplo, cambiar a través de un banco de condensadores para obtener un valor cercano al valor preciso necesario para esa carga en particular. Más ejemplos de corrección del factor de potencia se encuentran en la siguiente sección.

    Referencias

    1 Hipérbole parece funcionar para la industria cinematográfica, de todos modos.


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