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8.2: Resonancia en Serie

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    85911
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    Comencemos con el circuito RLC más simple; uno que consiste en una sola fuente de voltaje en serie con una sola resistencia, inductor y condensador, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). De particular interés es cómo la impedancia total varía a través del espectro de frecuencias y qué impacto tiene esto en la corriente y los voltajes de tres componentes.

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    Figura\(\PageIndex{1}\): Un circuito RLC en serie.

    La impedancia vista por la fuente es simplemente la suma de los tres componentes, o

    \[Z = R+ jX_L − j X_C \nonumber \]

    Esto se puede expandir en

    \[Z = = R+ j 2\pi f L −j \frac{1}{2\pi f C} \nonumber \]

    La parte interesante aquí es que el primer término no es una función de la frecuencia, el segundo término es directamente proporcional a la frecuencia y el tercero es inversamente proporcional a la frecuencia. Además, dado que las reactancias positiva y negativa se comportan de manera opuesta, parece que con alguna frecuencia pueden cancelarse, dejando solo la resistencia.

    Para refinar esto, esperamos que a bajas frecuencias el condensador domine la impedancia. En otras palabras,\(X_C\) será el mayor de los tres valores óhmicos. Esto significa que la impedancia global tenderá a imitar tanto la magnitud como la fase de la reactancia capacitiva. Por otro lado, a frecuencias muy altas el inductor tenderá a dominar la impedancia. \(X_L\)será el mayor de los tres valores. En esta región, la impedancia combinada hará eco de la del inductor. En resumen, a bajas frecuencias la magnitud de la impedancia será grande y el circuito aparecerá capacitivo mientras que a altas frecuencias la magnitud de la impedancia será grande y el circuito aparecerá inductivo. En el medio es donde las cosas se ponen interesantes.

    En la Figura se muestra una gráfica de la resistencia o reactancia de los tres elementos\(\PageIndex{2}\). También se muestra la suma de los tres (rojo). El eje de frecuencia utiliza una escala logarítmica para mostrar la naturaleza simétrica de la curva de impedancia combinada.

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    Figura\(\PageIndex{2}\): Variación de impedancia en serie a través de frecuencia.

    La caída en el centro corresponde a una impedancia igual a\(R\). A esta frecuencia las reactancias capacitiva e inductiva son iguales en magnitud y efectivamente se cancelan entre sí. Todo lo que queda es el componente resistivo,\(R\). Esta frecuencia se conoce como la frecuencia resonante y se denota por\(f_0\).

    \[\text{The series resonant frequency, } f_0, \text{ is the frequency at which the magnitudes of the inductive and capacitive reactances are equal.} \label{8.1} \]

    Esto implica que el factor de potencia es la unidad en la resonancia. Además, en un circuito del mundo real\(R\) se encuentra la combinación de la resistencia en serie más cualquier resistencia de la bobina del inductor. Podemos derivar una fórmula para\(f_0\) lo siguiente. La definición declara que la magnitud de\(X_L\) debe ser igual a la magnitud de\(X_C\). Por lo tanto, podemos establecer las fórmulas de reactancia capacitiva e inductiva iguales entre sí y luego resolver para la frecuencia resultante.

    \[X_C = \frac{1}{2\pi f C} \\ X_L = 2\pi f L \\ X_L = X_C \\ 2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0C} \\ f_0^2 = \frac{1}{(2\pi )^2 LC} \\ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \label{8.2} \]

    Tenga en cuenta que una frecuencia resonante particular se puede obtener a través de una variedad de pares LC. Esto, junto con el valor de\(R\), alterará la forma específica de la curva de impedancia en términos de cuán estrecha o ancha es la caída. Estos componentes también afectarán la rapidez con la que la respuesta de fase cambia de completamente capacitiva (\(−90^{\circ}\)) a completamente inductiva (\(+90^{\circ}\)). Este factor de forma es descrito por el parámetro,\(Q\). Cuanto más apretada o más estrecha sea la curva, mayor será la\(Q\).

    Dada una fuente de voltaje constante, no debería sorprender que una gráfica de la corriente resultante sea una inversión de la curva de impedancia. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\).

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    Figura\(\PageIndex{3}\): Corriente en serie versus frecuencia.

    Si escalamos las curvas de tal manera que ambas tengan un pico normalizado de unidad, la diferencia en las formas puede ser un poco más fácil de ver. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\).

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    Figura\(\PageIndex{4}\): Corriente normalizada en serie versus frecuencia.

    En este punto podemos definir con mayor precisión\(Q\). Específicamente, la “nitidez” de la curva está relacionada con las frecuencias de media potencia o “−3 dB”,\(f_1\) y\(f_2\). 1 Estas son las frecuencias a las que la corriente (asumiendo el accionamiento de la fuente de voltaje) cae a 0.707 del valor máximo en resonancia. Por lo tanto, representan las frecuencias a las que la potencia habrá caído a la mitad del valor máximo visto en resonancia (recordemos que la potencia varía como el cuadrado de corriente y que 0.707 al cuadrado es aproximadamente 0.5). \(f_1\)está abajo\(f_0\) y\(f_2\) se encuentra arriba. La diferencia entre estas dos frecuencias se llama el ancho de banda, BW.

    \[BW = f_2 − f_1 \label{8.3} \]

    \[Q_{circuit} = \frac{f_0}{BW} \label{8.4} \]

    La relación entre estas variables se ilustra en la Figura\(\PageIndex{5}\). El eje vertical se muestra como porcentaje de máximo. Para un circuito resonante en serie accionado por una fuente de voltaje, este eje es corriente; sin embargo, puede ser voltaje en el caso de un circuito resonante paralelo, como veremos. Si esta gráfica se compara con las curvas de la Figura\(\PageIndex{4}\), debería ser evidente que para\(Q\) circuitos inferiores,\(f_1\) y\(f_2\) separados, alejándose de la frecuencia resonante,\(f_0\). Así, para cualquier dado\(f_0\), un menor\(Q\) significa un ancho de banda más amplio (mayor).

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    Figura\(\PageIndex{5}\): Ubicación de\(f_1\) y\(f_2\), y definición de ancho de banda (BW).

    La frecuencia resonante,\(f_0\), en general no se ubica de manera uniforme entre\(f_1\) y\(f_2\). Se encuentra, de hecho, en su media geométrica. En otras palabras,

    \[f_0 = \sqrt{f_1 f_2} \label{8.5} \]

    De la Ecuación\ ref {8.5} podemos derivar:

    \[\frac{f_0}{f_1} = \frac{f_2}{f_0} \label{8.6} \]

    Para encontrar valores precisos para\(f_1\) y\(f_2\) podemos definir un factor,\(k_0\). La derivación de\(k_0\) se encuentra en el Apéndice C.

    \[k_0 = \frac{1}{2Q_{circuit}} + \sqrt{\frac{1}{4{Q_{circuit}}^2} +1} \label{8.7} \]

    \[f_1 = \frac{f_0}{k_0} \label{8.8} \]

    \[f_2 = f_0\times k_0 \label{8.9} \]

    Para\(Q\) circuitos superiores (\(Q_{circuit} \geq 10\)), podemos aproximar la simetría, y así

    \[f_1 \approx f_0 − \frac{BW}{2} \label{8.10} \]

    \[f_2 \approx f_0+ \frac{BW}{2} \label{8.11} \]

    Como se mencionó anteriormente, el\(Q\) puede ser una función de cualquiera\(R\) o de la\(L/C\) relación. En Figuras\(\PageIndex{6}\) y\(\PageIndex{7}\) tenemos curvas de impedancia para los dos casos. El eje de frecuencia se normaliza a\(f_0\) (es decir,\(f_0\) es unidad). En la Figura\(\PageIndex{6}\) variamos el valor de resistencia para ver cómo afecta tanto a la magnitud como a la fase de la impedancia a través de la frecuencia. La figura\(\PageIndex{7}\) es similar excepto que variamos la relación inductor/condensador.

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    Figura\(\PageIndex{6}\): Magnitud y fase de impedancia para una variación de resistencia.

    Mirando primero la fase (azul, eje izquierdo), vemos en ambos casos que los\(Q\) circuitos altos exhiben una transición rápida de un ángulo de fase negativo (capacitivo) a un ángulo de fase positivo (inductivo). También notamos que el desplazamiento de fase llega a cero en\(f_0\), lo que implica factor de potencia de unidad.

    Las gráficas de magnitud de impedancia muestran una historia ligeramente diferente. Si bien es cierto que las\(Q\) parcelas superiores son más nítidas, consiguen así a través de diferentes mecanismos. En el caso de la resistencia,\(Q\) se logra un menor a través de una resistencia mayor. Esto tiene el efecto de despuntar la punta de la curva y disminuir el flujo de corriente en\(f_0\) comparación con el\(Q\) caso alto (como se ve en la Figura\(\PageIndex{3}\)). Por el contrario, reducir\(Q\) reduciendo la relación inductor/condensador amplía toda la curva. La magnitud de la impedancia en la caída no cambia y, por lo tanto, la corriente a\(f_0\) no cambia. En términos prácticos, el\(Q\) para un circuito en serie\(Q_{series}\), también puede definirse por la relación de reactancia del circuito a la resistencia total en serie en resonancia.

    \[Q_{series} = \frac{X_0}{R_T} \label{8.12} \]

    Dónde

    \(Q_{series}\)es el\(Q\) circuito resonante en serie (es decir,\(Q_{circuit}\) para serie),

    \(R_T\)es la resistencia total en serie (\(R_{series} + R_{coil}\)),

    \(X_0\)es la reactancia (ya sea\(X_L\) o\(X_C\)) a\(f_0\).

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    Figura\(\PageIndex{7}\): Magnitud y fase de impedancia para una variación de la relación inductor/condensador.

    De la ecuación\ ref {8.12} podemos derivar una expresión para\(Q_{series}\) en términos de\(R\),\(L\) y de la\(C\) siguiente manera:

    \[Q_{series} = \frac{X_0}{R_T} \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{\sqrt{X_0^2}}{R_T} \nonumber \]

    En resonancia\(X_L\) y\(X_C\) tienen la misma magnitud, así también podemos decir:

    \[Q_{series} = \frac{\sqrt{X_L X_C}}{R_T} \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{1}{R_T} \sqrt{X_L X_C} \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{1}{R_T} \sqrt{ \frac{2 \pi f L}{2\pi f C}} \nonumber \]

    Lo que simplifica a:

    \[Q_{series} = \frac{1}{R_T} \sqrt{\frac{L}{C}} \label{8.13} \]

    Efecto de Q en voltajes de componentes

    \(Q\)creará un efecto multiplicador en los voltajes del inductor y del condensador en resonancia. At\(f_0\), la corriente a través del circuito será igual al voltaje de la fuente dividido por\(R\) porque\(X_C\) y\(X_L\) cancelará. Esta corriente también fluye a través del condensador y el inductor. La ecuación\ ref {8.12} muestra que sus reactancias son\(Q\) veces mayores que\(R\), y por lo tanto sus voltajes serán\(Q\) veces mayores que el voltaje de la fuente. KVL no se viola porque los voltajes a través\(L\) y\(C\) están 180 grados fuera de fase y se cancelan entre sí. A medida que\(Q\) aumenta el circuito, el efecto multiplicador de voltaje se vuelve más pronunciado. En casos extremos es posible producir voltajes de inductores y condensadores que son más de 100 veces mayores que el voltaje de la fuente. A medida que nos alejamos de la frecuencia resonante, el efecto multiplicador disminuye. A frecuencias mucho más bajas que\(f_0\), casi todo el voltaje de la fuente aparecerá a través del condensador con poco para la resistencia y el inductor. A frecuencias mucho más altas, casi todo el potencial de la fuente aparece a través del inductor sin nada visto a través del condensador o resistencia. Esto se puede ver en la Figura\(\PageIndex{8}\), donde la tensión de la fuente es la unidad.

    A medida que\(Q\) disminuye, no sólo disminuyen los voltajes del condensador y del inductor, sino que entra en juego otro efecto. A\(Q\) valores relativamente altos, digamos 10 o más, los voltajes máximos del condensador y del inductor ocurren aproximadamente a\(f_0\). A\(Q\) valores más bajos los picos tienden a separarse, con el pico del condensador por debajo\(f_0\) y el del inductor arriba\(f_0\). Esto se ilustra en la Figura\(\PageIndex{9}\) (nuevamente, la fuente es la unidad).

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    Figura\(\PageIndex{8}\): Resonancia en serie: voltajes de componentes para alta\(Q\).
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    Figura\(\PageIndex{9}\): Resonancia en serie: voltajes de componentes para baja\(Q\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Considere el circuito en serie de la Figura\(\PageIndex{10}\) con los siguientes parámetros: la fuente es de 10 voltios pico,\(L\) = 1 mH,\(C\) = 1 nF y\(R = 50 \Omega \). Encuentra la frecuencia resonante, el sistema\(Q\) y el ancho de banda, y las frecuencias de media potencia\(f_1\) y\(f_2\).

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    Figura\(\PageIndex{10}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{1}\).

    Comenzamos por encontrar la frecuencia resonante.

    \[f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \nonumber \]

    \[f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{1e-3\cdot 1e-9}} \nonumber \]

    \[f_0 = 159 kHz \nonumber \]

    Ahora encontramos la magnitud de la reactancia inductiva, y a partir de eso, el sistema\(Q_{series}\) a través de la Ecuación\ ref {8.12}.

    \[X_L = 2\pi f_0 L \nonumber \]

    \[X_L = 2\pi 159 kHz 1mH \nonumber \]

    \[X_L = 1000\Omega \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{X_L}{R_T} \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{1000\Omega}{50\Omega} \nonumber \]

    \[Q_{series} = 20 \nonumber \]

    Conociendo el\(Q\), el ancho de banda y las frecuencias de esquina se pueden encontrar a través de Ecuaciones\ ref {8.4},\ ref {8.10} y\ ref {8.11}.

    \[BW = \frac{f_0}{Q} \nonumber \]

    \[BW = \frac{159 kHz}{20} \nonumber \]

    \[BW = 7.95 kHz \nonumber \]

    \[f_1 = f_0 − \frac{BW}{2} \nonumber \]

    \[f_1 = 159 kHz − \frac{7.95kHz}{2} \nonumber \]

    \[f_1 \approx 155 kHz \nonumber \]

    \[f_2 = f_0 + \frac{BW}{2} \nonumber \]

    \[f_2 = 159 kHz + \frac{7.95kHz}{2} \nonumber \]

    \[f_2 \approx 163 kHz \nonumber \]

    Dada la fuente de pico de 10 voltios, los voltajes a través del condensador y el inductor a la frecuencia de resonancia de 159 kHz serían\(Q\) veces mayores, o 200 voltios. A frecuencias más altas o más bajas, la impedancia incrementada disminuye la corriente y también disminuye los voltajes a través de los componentes. A bajas frecuencias, la mayor parte de la fuente aparecerá a través del condensador mientras que a altas frecuencias el voltaje del inductor se aproximará al voltaje de la fuente.

    Refinación Serie Q

    Como se señala en el Capítulo 2, todos los inductores tienen alguna resistencia en serie asociada a ellos, generalmente llamada\(R_{coil}\). Esta resistencia debe incluirse como parte de la resistencia general del circuito, lo que se suma a cualquier otra resistencia en serie que exista. Si bien es posible medir la resistencia de CC de una bobina usando un DMM, esto no necesariamente dará un valor preciso a altas frecuencias. Por lo tanto, un método preferido es determinar\(Q_{coil}\) a la frecuencia deseada a partir de la hoja de especificaciones del inductor, y utilizando la reactancia calculada a esa frecuencia, determinar el valor de\(R_{coil}\). Un ejemplo de tal curva se muestra en la Figura\(\PageIndex{11}\).

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    Figura\(\PageIndex{11}\):\(Q\) Gráfico inductor.

    Por ejemplo, usando la curva\(Q_{coil}\) A, a 100 kHz es aproximadamente 90. Si\(X_L\) es 450\(\Omega \) a esta frecuencia, entonces\(R_{coil}\) serían 450\(\Omega /90\), o 5\(\Omega \).

    Efectivamente,\(Q_{coil}\) establece el techo para\(Q\) el circuito resonante en serie,\(Q_{series}\). Es decir, el sistema nunca\(Q\) puede ser más alto que la bobina\(Q\). Para ello se requeriría menos resistencia en el bucle que\(R_{coil}\), lo cual es una imposibilidad práctica. También vale la pena señalar que\(R_{coil}\) creará una desviación en el voltaje del inductor en comparación con el caso ideal. Esto se debe a que\(v_L\) cubre la combinación de la reactancia inductiva en serie con\(R_{coil}\), así la magnitud será algo mayor de lo esperado y el ángulo será menor a 90 grados. Estas desviaciones tienden a ser bastante pequeñas a menos que los inductores sean bastante bajos y la resistencia restante del circuito no sea mucho mayor que\(R_{coil}\).\(Q\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Para el circuito de la Figura\(\PageIndex{11}\), determine la frecuencia resonante, el sistema\(Q\), el ancho de banda y el voltaje máximo ideal en cada uno de los tres componentes. Utilice la curva A de la Figura\(\PageIndex{11}\) para el inductor.

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    Figura\(\PageIndex{12}\): Circuito por Ejemplo\(\PageIndex{2}\).

    El primer elemento de importancia es encontrar la frecuencia resonante.

    \[f_0 = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \nonumber \]

    \[f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{22e-3 H50e-9F}} \nonumber \]

    \[f_0 = 4.8 kHz \nonumber \]

    La reactancia inductiva es:

    \[X_L = 2\pi f_0 L \nonumber \]

    \[X_L = 2\pi 4.8kHz 22 mH \nonumber \]

    \[X_L = 663.3\Omega \nonumber \]

    De la gráfica,\(Q_{coil}\) es aproximadamente 95,\(R_{coil}\) es decir:

    \[R_{coil} = \frac{X_L}{Q_{coil}} \nonumber \]

    \[R_{coil} = \frac{663.3 \Omega}{95} \nonumber \]

    \[R_{coil} = 7\Omega \nonumber \]

    Combinado con la\(\Omega \) resistencia 140, nos quedamos con 147\(\Omega \), un 5% más alto que si la hubiéramos ignorado. El sistema\(Q\) es:

    \[Q_{series} = \frac{X_L}{R_T} \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{663.3\Omega}{147\Omega} \nonumber \]

    \[Q_{series} = 4.51 \nonumber \]

    El\(Q\) está en el lado bajo pero no extremadamente así. Ahora para el ancho de banda:

    \[BW = \frac{f_0}{Q} \nonumber \]

    \[BW = \frac{4.8 kHz}{4.51} \nonumber \]

    \[BW = 1.06 kHz \nonumber \]

    Idealmente, en\(f_0\) lo que esperamos\(v_R\) será igual a la fuente de pico de 1 voltio mientras que los voltajes del inductor y del condensador serán\(Q\) veces mayores, o aproximadamente 4.5 voltios pico. En realidad\(R_{coil}\) se creará un divisor de voltaje, reduciendo la caída a través de la\(\Omega \) resistencia 140 a aproximadamente 0.95 voltios. El cambio en\(v_L\) será despreciable por\(Z_L\) ser\(663.34\angle 89.4^{\circ} \Omega \) versus el ideal\(663.3\angle 90^{\circ} \Omega \). El sistema\(Q\) es relativamente bajo (\(<10\)), por lo que los\(v_L\) picos\(v_C\) y se desplazarán un poco de\(f_0\), con\(v_C\) picos a una frecuencia ligeramente menor y\(v_L\) ligeramente superior.

    Simulación por Computadora

    De particular interés en el ejemplo anterior es la forma precisa de las respuestas de los componentes frente a la frecuencia. Esto se puede producir a través de una simulación de AC o de dominio de frecuencia. El circuito de la Figura\(\PageIndex{12}\) se captura en un simulador como se muestra en la Figura\(\PageIndex{13}\), y se modifica sumando la resistencia de la bobina del inductor por debajo del inductor.

    Los elementos de interés son la tensión neta de resistencia que aparece entre los nodos 1 y 2, la tensión del condensador entre los nodos 2 y 3, y la tensión del inductor que aparece desde el nodo 3 a tierra. El análisis se realiza de 500 Hz a 50 kHz dándonos un factor de 10 en frecuencia a cada lado de\(f_0\), como se ve en la Figura\(\PageIndex{14}\). Primero, los picos están justo por debajo de 5 kHz, como se esperaba. El voltaje de la resistencia (azul) es de aproximadamente 0.95 voltios, y los voltajes del inductor (rojo) y del condensador (verde) son de aproximadamente 4.5 voltios, según se calcula.

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    Figura\(\PageIndex{13}\): El circuito de Ejemplo\(\PageIndex{2}\) en un simulador.

    También, tenga en cuenta que existe una ligera dispersión entre los picos del condensador y los voltajes del inductor, con\(v_C\) un poco por debajo\(f_0\) y\(v_L\) ligeramente por encima, nuevamente justo como se esperaba. A las frecuencias más bajas, toda la fuente aparece a través del condensador mientras que en las frecuencias más altas aparece toda la fuente a través del inductor. Obsérvese la similitud entre estas curvas y las de las figuras\(\PageIndex{8}\) y\(\PageIndex{9}\)

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    Figura\(\PageIndex{14}\): Voltaje versus frecuencia para cada uno de los tres componentes del circuito de la Figura\(\PageIndex{13}\).

    Y ahora por un cambio de ritmo; un problema de diseño.

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Diseñe un circuito resonante en serie con una frecuencia resonante de 100 kHz y un ancho de banda de 2 kHz usando un inductor de 10 mH. Asume que el inductor sigue la curva B en la Figura\(\PageIndex{14}\).

    Podemos encontrar el valor de la capacitancia reordenando la ecuación de frecuencia de resonancia:

    \[f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \nonumber \]

    \[\sqrt{LC} = \frac{1}{2\pi f_0} \nonumber \]

    \[C = \frac{1}{(2\pi f_0 )^2 L} \nonumber \]

    \[C = \frac{1}{(2\pi 100 kHz )^2 10mH} \nonumber \]

    \[C = 253.3 pF \nonumber \]

    Conociendo el ancho de banda y la frecuencia resonante, podemos encontrar el sistema\(Q\):

    \[Q_{series} = \frac{f_0}{BW} \nonumber \]

    \[Q_{series} = \frac{100 kHz}{2 kHz} \nonumber \]

    \[Q_{series} = 50 \nonumber \]

    En resonancia, la reactancia inductiva será:

    \[X_L = 2\pi f_0 L \nonumber \]

    \[X_L = 2\pi 100 kHz 10 mH \nonumber \]

    \[X_L = 6283\Omega \nonumber \]

    Lo anterior nos dice que la resistencia total en serie debe ser:

    \[R_{series} = \frac{X_L}{Q_{series}} \nonumber \]

    \[R_{series} = \frac{6283\Omega}{50} \nonumber \]

    \[R_{series} = 125.7\Omega \nonumber \]

    La curva B indica que\(Q_{coil}\) es aproximadamente 115 a 100 kHz. Así,\(R_{coil}\) es:

    \[R_{coil} = \frac{X_L}{Q_{coil}} \nonumber \]

    \[R_{coil} = \frac{6283\Omega}{115} \nonumber \]

    \[R_{coil} = 54.6\Omega \nonumber \]

    En consecuencia, debemos agregar\(125.7 \Omega − 54.6 \Omega \), o\(71.1 \Omega \), a la red en serie para lograr el sistema deseado\(Q\). De no hacerlo, se producirá un rendimiento mucho\(Q\) mayor a lo especificado, resultando en un ancho de banda muy reducido. El diseño terminado se muestra en la Figura\(\PageIndex{15}\).

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    Figura\(\PageIndex{15}\): Diseño de circuito terminado por Ejemplo\(\PageIndex{3}\).

    Referencias

    1 Los decibelios se tratan en detalle en el Capítulo 10.


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