1.4: Teoría del Campo Electromagnético- Una revisión
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Este libro es el segundo de una serie de libros de texto sobre electromagnetismo. En esta sección se presenta un resumen de los conceptos de teoría del campo electromagnético presentados en el volumen anterior.
Carga eléctrica y corriente
La carga es la fuente definitiva del campo eléctrico y tiene unidades base SI de culomb (C). Una fuente importante de carga es el electrón, cuya carga se define como negativa. Sin embargo, el término “carga” generalmente se refiere a un gran número de portadores de carga de diversos tipos, y cuya carga neta relativa puede ser positiva o negativa. Las distribuciones de carga pueden expresarse alternativamente en términos de densidad de carga de línea\(\rho_l\) (C/m), densidad de carga superficial\(\rho_s\) (C/m\(^2\)) o densidad de carga volumétrica\(\rho_v\) (C/m\(^3\)). La corriente eléctrica describe el movimiento neto de carga. La corriente se expresa en unidades base SI de amperios (A) y alternativamente puede cuantificarse en términos de densidad de corriente superficial\({\bf J}_s\) (A/m) o densidad de corriente volumétrica\({\bf J}\) (A/m\(^2\)).
Electrostática
La electrostática es la teoría del campo eléctrico sujeta a la restricción de que la carga no se acelera. Es decir, las cargas pueden estar inmóviles (“estáticas”) o moverse sin aceleración (“corriente constante”).
El campo eléctrico puede interpretarse en términos de energía o flujo. La interpretación energética del campo eléctrico se denomina intensidad de campo eléctrico\({\bf E}\) (unidades base SI de N/C o V/m), y está relacionada con la energía asociada con la carga y las fuerzas entre cargas. Se encuentra que el potencial eléctrico (unidades base SI de V) sobre una trayectoria\(\mathcal{C}\) viene dado por
\[V = -\int_{\mathcal{C}} {\bf E}\cdot d{\bf l} \label{m0179_eV} \]
El principio de independencia del camino significa que solo los puntos finales de\(\mathcal{C}\) en la Ecuación\ ref {M0179_ev}, y ningún otro detalle de\(\mathcal{C}\), importan. Esto lleva al hallazgo de que el campo electrostático es conservador; es decir,
\[\oint_{\mathcal{C}} {\bf E}\cdot d{\bf l} = 0 \label{m0179_mes1} \]
Esto se conoce como ley de voltaje de Kirchoff para electrostáticos. La inversa de la ecuación\ ref {m0179_ev} es
\[{\bf E} = -\nabla V \nonumber \]
Es decir, la intensidad del campo eléctrico apunta en la dirección en la que el potencial está disminuyendo más rápidamente, y la magnitud es igual a la velocidad de cambio en esa dirección.
La interpretación del flujo del campo eléctrico se conoce como densidad de flujo eléctrico\({\bf D}\) (unidades base SI de C/m\(^2\)), y cuantifica el efecto de la carga como un flujo que emana de la carga. La ley de Gauss para campos eléctricos establece que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga encerrada\(Q_{encl}\); es decir,
\[\oint_{\mathcal{S}} {\bf D}\cdot d{\bf s} = Q_{encl} \label{m0179_mes2} \]
Dentro de una región material, encontramos
\[{\bf D} = \epsilon {\bf E} \label{m0179_eED} \]
donde\(\epsilon\) está la permitividad (SI unidades base de F/m) del material. En el espacio libre,\(\epsilon\) es igual a
\[\epsilon_0\triangleq 8.854 \times 10^{-12}~\mbox{F/m} \nonumber \]
A menudo es conveniente cuantificar la permitividad del material en términos de la permitividad relativa sin unidades\(\epsilon_r\triangleq \epsilon/\epsilon_0\).
Ambos\({\bf E}\) y\({\bf D}\) son útiles ya que conducen a condiciones de límite distintas e independientes en el límite entre regiones materiales diferentes. Vamos a referirnos a estas regiones como Regiones 1 y 2, teniendo campos\(({\bf E}_1,{\bf D}_1)\) y\(({\bf E}_2,{\bf D}_2)\), respectivamente. Dado un vector\(\hat{\bf n}\) perpendicular al límite y apuntando a la Región 1, encontramos
\[\hat{\bf n}\times\left[{\bf E}_1-{\bf E}_2\right] = 0 \nonumber \]
es decir, el componente tangencial del campo eléctrico es continuo a través de un límite, y
\[\hat{\bf n}\cdot\left[{\bf D}_1-{\bf D}_2\right] = \rho_s \nonumber \]
es decir, cualquier discontinuidad en el componente normal del campo eléctrico debe ser soportada por una distribución de carga superficial en el límite.
Magnetostáticos
La magnetostática es la teoría del campo magnético en respuesta a la corriente constante o la magnetización intrínseca de los materiales. La magnetización intrínseca es una propiedad de algunos materiales, incluidos los imanes permanentes y los materiales magnetizables.
Al igual que el campo eléctrico, el campo magnético puede cuantificarse en términos de energía o flujo. La interpretación de flujo del campo magnético se conoce como densidad de flujo magnético\({\bf B}\) (unidades base SI de Wb/m\(^2\)), y cuantifica el campo como un flujo asociado con, pero que no emana de, la fuente del campo. El flujo magnético\(\Phi\) (unidades base SI de Wb) es este flujo medido a través de una superficie especificada. La ley de Gauss para los campos magnéticos establece que
\[\oint_{\mathcal{S}} {\bf B}\cdot d{\bf s} = 0 \label{m0179_mes3} \]
es decir, el flujo magnético a través de una superficie cerrada es cero. La comparación con la ecuación\ ref {m0179_mes2} lleva a la conclusión de que la fuente del campo magnético no puede ser localizada; es decir, no hay “carga magnética” análoga a la carga eléctrica. La ecuación\ ref {m0179_mes3} también lleva a la conclusión de que las líneas de campo magnético forman bucles cerrados.
La interpretación energética del campo magnético se conoce como intensidad de campo magnético\({\bf H}\) (unidades base SI de A/m), y está relacionada con la energía asociada a fuentes del campo magnético. La ley de Ampere para magnetostáticos establece que
\[\oint_{\mathcal{C}} {\bf H}\cdot d{\bf l} = I_{encl} \label{m0179_mes4} \]
donde\(I_{encl}\) esta la corriente que fluye mas allá de cualquier superficie abierta delimitada por\(\mathcal{C}\).
Dentro de una región material homogénea, encontramos
\[{\bf B} = \mu {\bf H} \label{m0179_eBH} \]
donde\(\mu\) está la permeabilidad (unidades base SI de H/m) del material. En el espacio libre,\(\mu\) es igual a
\[\mu_0\triangleq 4\pi \times 10^{-7}~\mbox{H/m}. \nonumber \]
A menudo es conveniente cuantificar la permeabilidad del material en términos de la permeabilidad relativa sin unidades\(\mu_r\triangleq \mu/\mu_0\).
Ambos\({\bf B}\) y\({\bf H}\) son útiles ya que conducen a condiciones de límite distintas e independientes en los límites entre regiones materiales diferentes. Vamos a referirnos a estas regiones como Regiones 1 y 2, teniendo campos\(({\bf B}_1,{\bf H}_1)\) y\(({\bf B}_2,{\bf H}_2)\), respectivamente. Dado un vector\(\hat{\bf n}\) perpendicular al límite y apuntando a la Región 1, encontramos
\[\hat{\bf n}\cdot\left[{\bf B}_1-{\bf B}_2\right] = 0 \nonumber \]
es decir, el componente normal del campo magnético es continuo a través de un límite, y
\[\hat{\bf n}\times\left[{\bf H}_1-{\bf H}_2\right] = {\bf J}_s \nonumber \]
es decir, cualquier discontinuidad en el componente tangencial del campo magnético debe ser soportada por la corriente en el límite.
Ecuaciones de Maxwell
Las ecuaciones\ ref {m0179_mes1},\ ref {m0179_mes2},\ ref {m0179_mes3}, y\ ref {m0179_mes4} son ecuaciones de Maxwell para campos estáticos en forma integral. Como se indica en la Tabla\(\PageIndex{1}\), estas ecuaciones pueden expresarse alternativamente en forma diferencial. La principal ventaja de las formas diferenciales es que se aplican en cada punto del espacio (a diferencia de las regiones definidas por\(\mathcal{C}\) o\(\mathcal{S}\)), y posteriormente se pueden combinar con las condiciones de contorno para resolver problemas complejos utilizando métodos estándar de la teoría de ecuaciones diferenciales.
| Electrostática/Magnetostática | Variable en el tiempo (dinámico) | |
|---|---|---|
| Los campos eléctricos y magnéticos son... | independiente | \(\color{blue} \text{possibly coupled}\) |
| Eqns de Maxwell. (integral) |
\(\oint_{\mathcal S}\mathbf {D}\cdot d \mathbf{ s} = Q_{encl}\) |
\(\oint_{\mathcal S}\mathbf {D}\cdot d\mathbf{s} = Q_{encl}\) |
| \(\oint_{\mathcal C}\mathbf{E}\cdot d\mathbf {l} = 0\) | \(\oint_{\mathcal C}\mathbf {E}\cdot d\mathbf {l} = \color{blue}-\frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathcal S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{s}\) | |
| \(\oint_{\mathcal S}\mathbf{B}\cdot d \mathbf {s} = 0\) | \(\oint_{\mathcal S}\mathbf{B} \cdot d \mathbf{s} = 0\) | |
|
\(\oint_{\mathcal C} \mathbf {H} \cdot d \mathbf {l} = I_{encl}\) |
\(\oint_{\mathcal C} \mathbf {H}\cdot d \mathbf {l} = I_{encl} \color{blue} + \int_{\mathcal S}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf {D}\cdot d\mathbf {s}\) | |
| Eqns de Maxwell. (diferencial) | \(\nabla\cdot{\mathbf D}=\rho_v\) | \(\nabla\cdot{\mathbf D}=\rho_v\) |
| \(\nabla\times{\mathbf E}=0\) | \(\nabla\times{\mathbf E}={\color{blue}-\frac{\partial}{\partial t}{\mathbf B}}\) | |
| \(\nabla\cdot{\mathbf B}=0\) | \(\nabla\cdot{\mathbf B}=0\) | |
| \(\nabla\times{\mathbf H}={\mathbf J}\) | \(\nabla\times{\mathbf H}={\mathbf J} {\color{blue}+ \frac{\partial}{\partial t}{\mathbf D}}\) |
Conductividad
Algunos materiales consisten en una abundancia de electrones que están ligados libremente a los átomos y moléculas que comprenden el material. La fuerza ejercida sobre estos electrones por un campo eléctrico puede ser suficiente para superar la fuerza de unión, dando como resultado el movimiento de las cargas asociadas y posteriormente la corriente. Este efecto es cuantificado por la ley de Ohm para electromagnetismo:
\[{\bf J} = \sigma{\bf E} \label{m0179_eJE} \]
donde\({\bf J}\) en este caso es la corriente de conducción determinada por la conductividad\(\sigma\) (unidades base SI de S/m). La conductividad es una propiedad de un material que va desde insignificante (es decir, para “aislantes”) hasta muy grande para buenos conductores, que incluye la mayoría de los metales.
Un conductor perfecto es un material dentro del cual\({\bf E}\) es esencialmente cero independientemente de\({\bf J}\). Para dicho material,\(\sigma\to\infty\). Se dice que los conductores perfectos son regiones equipotenciales; es decir, la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera dentro de un conductor perfecto es cero, ya que se puede verificar fácilmente usando la Ecuación\ ref {M0179_ev}.
Campos variables en el tiempo
La ley de Faraday establece que un flujo magnético variable en el tiempo induce un potencial eléctrico en un circuito cerrado de la siguiente manera:
\[V = -\frac{\partial}{\partial t}\Phi \nonumber \]
Establecer esto igual al lado izquierdo de la Ecuación\ ref {m0179_mes1} conduce a la ecuación de Maxwell-Faraday en forma integral:
\[\oint_{\mathcal C}\mathbf {E}\cdot d \mathbf{l} = -\frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathcal S}\mathbf {B}\cdot d \mathbf{s} \nonumber \]
donde\(\mathcal{C}\) es el camino cerrado definido por el borde de la superficie abierta\(\mathcal{S}\). Así, vemos que un flujo magnético variable en el tiempo es capaz de generar un campo eléctrico. También observamos que los campos eléctricos y magnéticos se acoplan cuando el flujo magnético varía en el tiempo.
Un hallazgo análogo conduce a la forma general de la ley de Ampere:
\[\oint_{\mathcal C}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l} = I_{encl} + \int_{\mathcal S}\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{D}\cdot d\mathbf {s} \nonumber \]
donde el nuevo término se denomina corriente de desplazamiento. A través de la corriente de desplazamiento, un flujo eléctrico variable en el tiempo puede ser una fuente del campo magnético. Es decir, vemos que los campos eléctrico y magnético se acoplan cuando el flujo eléctrico varía en el tiempo.
La ley de Gauss para los campos eléctricos y magnéticos, las condiciones de contorno y las relaciones constitutivas (Ecuaciones\ ref {M0179_Eed},\ ref {M0179_EBH} y\ ref {M0179_EJE}) son las mismas en el caso variable en el tiempo.
Como se indica en la Tabla\(\PageIndex{1}\), la versión variable en el tiempo de las ecuaciones de Maxwell también puede expresarse en forma diferencial. Las formas diferenciales dejan claro que las variaciones en el campo eléctrico con respecto a la posición están asociadas con variaciones en el campo magnético con respecto al tiempo (la ecuación de Maxwell-Faraday), y viceversa (ley de Ampere).
Ondas armónicas de tiempo en medios sin fuente y sin pérdidas
El acoplamiento entre campos eléctricos y magnéticos en el caso variable en el tiempo conduce a fenómenos de onda. Esto se analiza más fácilmente para campos que varían sinusoidalmente, y por lo tanto pueden expresarse como fasores. 1 Los fasores, indicados en este libro por la tilde (“\(\widetilde{~~~}\)”), son cantidades de valor complejo que representan la magnitud y fase de la forma de onda sinusoidal asociada. Las ecuaciones de Maxwell en forma de fasor diferencial son:
\[\begin{aligned} \nabla \cdot \widetilde{\bf D} &= \widetilde{\rho}_v \\ \nabla \times \widetilde{\bf E} &= -j\omega\widetilde{\bf B} \\ \nabla \cdot \widetilde{\bf B} &= 0 \\ \nabla \times \widetilde{\bf H} &= \widetilde{\bf J} + j\omega\widetilde{\bf D} \end{aligned} \nonumber \]
dónde\(\omega\triangleq 2\pi f\) y dónde\(f\) es la frecuencia (unidades base SI de Hz). En regiones que están libres de fuentes (es decir, cargas y corrientes) y que consisten en medios libres de pérdidas (es decir,\(\sigma=0\)), estas ecuaciones se reducen a lo siguiente:
\[\begin{align} \nabla \cdot \widetilde{\bf E} &= 0 \label{m0179_eMDP1} \\ \nabla \times \widetilde{\bf E} &= -j\omega\mu\widetilde{\bf H} \label{m0179_eMDP2} \\ \nabla \cdot \widetilde{\bf H} &= 0 \label{m0179_eMDP3} \\ \nabla \times \widetilde{\bf H} &= +j\omega\epsilon\widetilde{\bf E} \label{m0179_eMDP4} \end{align} \]
donde hemos utilizado las relaciones\({\bf D}=\epsilon{\bf E}\) y\({\bf B}=\mu{\bf H}\) para eliminar las densidades de flujo\({\bf D}\) y\({\bf B}\), que ahora son redundantes. Resolviendo Ecuaciones\ ref {M0179_EMDP1} -\ ref {M0179_EMDP4} para\({\bf E}\) y\({\bf H}\), obtenemos las ecuaciones de onda vectorial:
\[\begin{aligned} \nabla^2\widetilde{\bf E} +\beta^2 \widetilde{\bf E} &= 0 \\ \nabla^2\widetilde{\bf H} +\beta^2 \widetilde{\bf H} &= 0\end{aligned} \nonumber \]
donde
\[\beta \triangleq \omega\sqrt{\mu\epsilon} \nonumber \]
Las ondas en medios libres de fuentes y sin pérdidas son soluciones a las ecuaciones de onda vectorial.
Ondas planas uniformes en medios sin fuente y sin pérdidas
Un subconjunto importante de soluciones a las ecuaciones de onda vectorial son las ondas planas uniformes. Las ondas planas uniformes resultan cuando las soluciones están restringidas para exhibir una magnitud y fase constantes en un plano. Por ejemplo, si se especifica que este plano sea perpendicular a\(z\) (es decir,\(\partial/\partial x = \partial/\partial y =0\)) entonces las soluciones para\(\widetilde{\bf E}\) tienen la forma:
\[\widetilde{\bf E} = \hat{\bf x}\widetilde{E}_x + \hat{\bf y}\widetilde{E}_y \nonumber \]
donde
\[\begin{align} \widetilde{E}_x &= E_{x0}^+ e^{-j\beta z} + E_{x0}^- e^{+j\beta z} \label{m0179_ePWLM-Ex} \\ \widetilde{E}_y &= E_{y0}^+ e^{-j\beta z} + E_{y0}^- e^{+j\beta z} \label{m0179_ePWLM-Ey} \end{align} \]
y donde\(E_{x0}^+\),\(E_{x0}^-\)\(E_{y0}^+\), y\(E_{y0}^-\) son coeficientes constantes de valor complejo que dependen de fuentes y condiciones de contorno. El primer término y segundo términos de Ecuaciones\ ref {M0179_EPWLM-Ex} y\ ref {M0179_EPWLM-ey} corresponden a olas que viajan en las\(-\hat{\bf z}\) direcciones\(+\hat{\bf z}\) y, respectivamente. Debido a que\(\widetilde{\bf H}\) es una solución a la misma ecuación de onda vectorial, la solución para\({\bf H}\) es idéntica excepto con diferentes coeficientes.
Los componentes escalares de las ondas planas descritas en las Ecuaciones\ ref {M0179_EPWLM-Ex} y\ ref {M0179_EPWLM-ey} exhiben las mismas características que otros tipos de ondas, incluyendo ondas sonoras y ondas de voltaje y corriente en líneas de transmisión. En particular, la velocidad de fase de las ondas que se propagan en la\(-\hat{\bf z}\) dirección\(+\hat{\bf z}\) y es
\[v_p = \frac{\omega}{\beta} = \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} \nonumber \]
y la longitud de onda es
\[\lambda = \frac{2\pi}{\beta} \nonumber \]
Al requerir soluciones\(\widetilde{\bf H}\) para\(\widetilde{\bf E}\) y satisfacer las ecuaciones de rizo de Maxwell (es decir, la ecuación de Maxwell-Faraday y la ley de Ampere), encontramos que\(\widetilde{\bf E}\)\(\widetilde{\bf H}\), y la dirección de propagación\(\hat{\bf k}\) son mutuamente perpendiculares. En particular, obtenemos las relaciones de onda plana:
\[\begin{aligned} \widetilde{\bf E} &= -\eta \hat{\bf k} \times \widetilde{\bf H} \label{m0179_ePWRE} \\ \widetilde{\bf H} &= \frac{1}{\eta} \hat{\bf k} \times \widetilde{\bf E} \label{m0179_ePWRH}\end{aligned} \]
donde
\[\eta \triangleq \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \nonumber \]
es la impedancia de onda, también conocida como la impedancia intrínseca del medio, y\(\hat{\bf k}\) está en la misma dirección que\(\widetilde{\bf E}\times\widetilde{\bf H}\).
La densidad de potencia asociada a una onda plana es
\[S = \frac{\left|\widetilde{\bf E}\right|^2}{2\eta} \nonumber \]
donde\(S\) tiene unidades base SI de W/m\(^2\), y aquí se supone que\(\widetilde{\bf E}\) está en unidades pico (a diferencia de rms).
Propiedades comúnmente asumidas de los materiales
Finalmente, un recordatorio sobre las propiedades comúnmente asumidas de los parámetros constitutivos del material\(\epsilon\),\(\mu\), y\(\sigma\). A menudo asumimos que estos parámetros exhiben las siguientes propiedades:
- Homogeneidad. Un material homogéneo es uniforme sobre el espacio que ocupa; es decir, los valores de sus parámetros constitutivos son constantes en todas las ubicaciones dentro del material.
- Isotropía. Un material que es isotrópico se comporta precisamente de la misma manera independientemente de cómo se oriente con respecto a fuentes, campos y otros materiales.
- Linealidad. Se dice que un material es lineal si sus propiedades no dependen de las fuentes y campos aplicados al material. Los medios lineales exhiben superposición; es decir, la respuesta a múltiples fuentes es igual a la suma de las respuestas a las fuentes individualmente.
- Invarianza de tiempo. Se dice que un material es invariable en el tiempo si sus propiedades no varían en función del tiempo.
- A veces también se dice que los campos que varían sinusoidalmente son armónicos de tiempo. ↩