Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.3: Ecuaciones de onda para regiones con pérdida

  • Page ID
    83842
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Las ecuaciones de onda para la propagación electromagnética en medios sin pérdidas y libres de fuente, en forma de fasor diferencial, son:

    \[\begin{align} \nabla^2\widetilde{\bf E} +\omega^2\mu\epsilon \widetilde{\bf E} &= 0 \label{m0128_eEL} \\ \nabla^2\widetilde{\bf H} +\omega^2\mu\epsilon \widetilde{\bf H} &= 0 \label{m0128_eHL}\end{align} \]

    La constante\(\omega^2\mu\epsilon\) está etiquetada\(\beta^2\), y\(\beta\) resulta ser la constante de propagación de fase.

    Ahora, deseamos actualizar estas ecuaciones para dar cuenta de la posibilidad de pérdida. Primero, seamos claros a lo que nos referimos con “pérdida”. Específicamente, nos referimos a la posibilidad de conversión de energía de la onda propagante a corriente, y posteriormente a calor. Este mecanismo está descrito por la ley de Ohm:

    \[\widetilde{\bf J} = \sigma\widetilde{\bf E} %~~~ \mbox{(phasor form)} \nonumber \]

    donde\(\sigma\) es conductividad y\(\widetilde{\bf J}\) es densidad de corriente de conducción (unidades base SI de A/m\(^2\)). En el caso sin pérdidas,\(\sigma\) se presume que es cero (o al menos despreciable), por lo que\({\bf J}\) se presume que es cero. Para obtener ecuaciones de onda para medios que presenten pérdidas significativas, no podemos asumir\({\bf J}=0\).

    Para obtener ecuaciones que dan cuenta de la posibilidad de una corriente de conducción significativa, de ahí la pérdida, volvemos a las formas fasoras de las ecuaciones de Maxwell:

    \[\begin{align} \nabla \cdot \widetilde{\bf E} &= \frac{\widetilde{\rho}_v}{\epsilon} \label{m0128_eMFE} \\ \nabla \times \widetilde{\bf E} &= -j\omega\mu\widetilde{\bf H} \label{m0128_eGL} \\ \nabla \cdot \widetilde{\bf H} &= 0 \label{m0128_eGM} \\ \nabla \times \widetilde{\bf H} &= \widetilde{\bf J} + j\omega\epsilon\widetilde{\bf E} \label{m0128_eACL}\end{align} \]

    donde\(\widetilde{\rho}_v\) está la densidad de carga. Si la región de interés está libre de fuentes, entonces\(\widetilde{\rho}_v=0\). Sin embargo, no podemos suprimir de manera similar\(\widetilde{\bf J}\) ya que\(\sigma\) puede ser distinto de cero. Para avanzar, identifiquemos las posibles contribuciones a\(\widetilde{\bf J}\) lo siguiente:

    \[\widetilde{\bf J} = \widetilde{\bf J}_{imp} + \widetilde{\bf J}_{ind} \label{m0128_eJimpJind} \]

    donde\(\widetilde{\bf J}_{imp}\) representa fuentes de corriente impresionadas y\(\widetilde{\bf J}_{ind}\) representa la corriente que es inducida por la pérdida. Una corriente impresa es aquella cuyo comportamiento es independiente de otras características, análogo a una fuente de corriente independiente en la teoría de circuitos elementales. En ausencia de tales fuentes, la Ecuación\ ref {M0128_EjimpJIND} se convierte en:

    \[\begin{aligned} \widetilde{\bf J} &= 0 + \sigma\widetilde{\bf E} \end{aligned} \nonumber \]

    La ecuación\ ref {M0128_EACL} ahora puede ser reescrita como:

    \[\begin{aligned} \nabla \times \widetilde{\bf H} &= \sigma\widetilde{\bf E} + j\omega\epsilon\widetilde{\bf E} \\ &= \left(\sigma+j\omega\epsilon\right)\widetilde{\bf E} \\ &= j\omega\epsilon_c\widetilde{\bf E} \end{aligned} \nonumber \]

    donde definimos la nueva constante de la\(\epsilon_c\) siguiente manera:

    \[\epsilon_c \triangleq \epsilon - j\frac{\sigma}{\omega} \nonumber \]

    Esta constante se conoce como permitividad compleja. En el caso sin pérdidas,\(\epsilon_c = \epsilon\); es decir, la parte imaginaria de\(\epsilon_c\rightarrow 0\) por lo que no hay diferencia entre la permitividad física\(\epsilon\) y\(\epsilon_c\). El efecto de la pérdida del material se representa como un componente imaginario distinto de cero de la permitividad.

    También es común expresar de la\(\epsilon_c\) siguiente manera:

    \[\epsilon_c = \epsilon' - j\epsilon'' \label{m0128_eecdef} \]

    donde las constantes de valor real\(\epsilon'\) y\(\epsilon''\) son en este caso:

    \[\begin{align} \epsilon' &= \epsilon \label{m0128_eepdef} \\ \epsilon'' &= \frac{\sigma}{\omega} \label{m0128_eeppdef}\end{align} \]

    Esta notación alternativa es útil por tres razones. En primer lugar, algunos autores utilizan el símbolo\(\epsilon\) para referirse tanto a la permitividad física como a la permitividad compleja. En este caso, la notación “\(\epsilon'-j\epsilon''\)” es útil para mitigar la confusión. En segundo lugar, a menudo es más conveniente especificar\(\epsilon''\) a una frecuencia de lo que es especificar\(\sigma\), que también puede ser una función de la frecuencia. De hecho, en algunas aplicaciones la pérdida de un material se especifica más convenientemente usando la relación\(\epsilon''/\epsilon'\) (conocida como tangente de pérdida, por razones explicadas en otra parte). Finalmente, resulta que la no linealidad de la permitividad también puede acomodarse como un componente imaginario de la permitividad. La notación “\(\epsilon''\)” nos permite acomodar ambos efectos —no linealidad y conductividad— usando notación común. En esta sección, sin embargo, seguimos enfocados exclusivamente en la conductividad.

    La permitividad compleja\(\epsilon_c\) (unidades base SI de F/m) describe los efectos combinados de permitividad y conductividad. La conductividad se representa como un componente de valor imaginario de la permitividad.

    Volviendo a Ecuaciones\ ref {M0128_EMFE} -\ ref {M0128_EACL}, obtenemos:

    \[\begin{aligned} \nabla \cdot \widetilde{\bf E} &= 0 \\ \nabla \times \widetilde{\bf E} &= -j\omega\mu\widetilde{\bf H} \\ \nabla \cdot \widetilde{\bf H} &= 0 \\ \nabla \times \widetilde{\bf H} &= j\omega\epsilon_c\widetilde{\bf E} \end{aligned} \nonumber \]

    Estas ecuaciones son idénticas a las ecuaciones correspondientes para el caso sin pérdidas, con la excepción que\(\epsilon\) ha sido reemplazada por\(\epsilon_c\). Del mismo modo, podemos reemplazar el factor\(\omega^2 \mu\epsilon\) en Ecuaciones\ ref {M0128_eel} y\ ref {M0128_ehl}, rindiendo:

    \[\begin{aligned} \nabla^2\widetilde{\bf E} +\omega^2\mu\epsilon_c \widetilde{\bf E} &= 0 \label{m0128_eE} \\ \nabla^2\widetilde{\bf H} +\omega^2\mu\epsilon_c \widetilde{\bf H} &= 0 \label{m0128_eH}\end{aligned} \]

    En el caso sin pérdidas,\(\omega^2\mu\epsilon_c \rightarrow \omega^2\mu\epsilon\), que es\(\beta^2\) como se esperaba. Para el caso general (es decir, posiblemente con pérdidas), haremos una definición análoga

    \[\gamma^2 \triangleq -\omega^2\mu\epsilon_c \label{m0128_egammadef} \]

    de tal manera que las ecuaciones de onda ahora pueden escribirse de la siguiente manera:

    \[\boxed{ \nabla^2\widetilde{\bf E} -\gamma^2 \widetilde{\bf E} = 0 } \label{m0128_eEg} \]

    \[\boxed{ \nabla^2\widetilde{\bf H} -\gamma^2 \widetilde{\bf H} = 0 } \label{m0128_eHg} \]

    Observe el signo menos en la Ecuación\ ref {m0128_egammadef}, y los cambios asociados de signos en Ecuaciones\ ref {M0128_EEG} y\ ref {M0128_eHG}. Por el momento, esta elección de signo puede ser vista como arbitraria —hubiéramos estado igualmente justificados al elegir el signo opuesto para la definición de\(\gamma^2\). Sin embargo, la elección que hemos hecho es habitual, y arroja cierta conveniencia notacional que se hará evidente más adelante.

    En el caso sin pérdidas,\(\beta\) es la constante de propagación de fase, la cual determina la velocidad a la que progresa la fase de una onda al aumentar la distancia a lo largo de la dirección de propagación. Dada la similitud de las Ecuaciones\ ref {M0128_EEG} y\ ref {M0128_eHG} con las Ecuaciones\ ref {M0128_eel} y\ ref {M0128_ehl}, respectivamente, la constante\(\gamma\) debe desempeñar un papel similar. Entonces, estamos motivados para encontrar una expresión para\(\gamma\). A primera vista, esto es simple:\(\gamma=\sqrt{\gamma^2}\). No obstante, recordemos que cada número tiene dos raíces cuadradas. Cuando se declara\(\beta=\sqrt{\beta^2}=\omega\sqrt{\mu\epsilon}\), no hay preocupación ya que\(\beta\) es, por definición, positiva; por lo tanto, se sabe tomar la raíz cuadrada de valor positivo. Por el contrario,\(\gamma^2\) es de valor complejo, por lo que los dos valores posibles de\(\sqrt{\gamma^2}\) son ambos potencialmente de valor complejo. Nos quedamos sin una orientación clara sobre cuál de estos valores es apropiado y físicamente relevante. Por lo que procedemos con precaución.

    Primero, considere el caso especial que\(\gamma\) es puramente imaginario; por ejemplo,\(\gamma = j\gamma''\) dónde\(\gamma''\) es una constante de valor real. En este caso,\(\gamma^2 = -\left(\gamma''\right)^2\) y las ecuaciones de onda se convierten

    \[\begin{aligned} \nabla^2\widetilde{\bf E} +\left(\gamma''\right)^2 \widetilde{\bf E} &= 0 \\ \nabla^2\widetilde{\bf H} +\left(\gamma''\right)^2 \widetilde{\bf H} &= 0\end{aligned} \nonumber \]

    Comparando con las Ecuaciones\ ref {M0128_eel} y\ ref {M0128_ehl}, vemos que\(\gamma''\) juega exactamente el mismo papel que\(\beta\); es decir,\(\gamma''\) es la constante de propagación de fase para cualquier onda que obtengamos como solución a las ecuaciones anteriores. Por lo tanto, hagamos formalmente esa definición:

    \[\beta \triangleq \mbox{Im}\left\{\gamma\right\} \nonumber \]

    Tenga cuidado: Tenga en cuenta que no estamos alegando que\(\gamma''\) en el caso posiblemente con pérdida es igual a\(\omega^2\mu\epsilon\). En cambio, estamos afirmando exactamente lo contrario; es decir, que hay una constante de propagación de fase en el caso general (posiblemente con pérdidas), y deberíamos encontrar que esta constante se simplifica a\(\omega^2\mu\epsilon\) en el caso sin pérdidas.

    Ahora hacemos la siguiente definición para el componente real de\(\gamma\):

    \[\alpha \triangleq \mbox{Re}\left\{\gamma\right\} \nonumber \]

    Tal que

    \[\gamma = \alpha + j\beta \nonumber \]

    donde\(\alpha\) y\(\beta\) son constantes de valor real.

    Ahora, es posible determinar\(\gamma\) explícitamente en términos\(\omega\) y las propiedades constitutivas del material. Primero, tenga en cuenta:

    \[\begin{align} \gamma^2 &= \left(\alpha + j\beta\right)^2 \nonumber \\ &= \alpha^2-\beta^2 + j2\alpha\beta \label{m0128_eg2a}\end{align} \]

    Expandiendo la Ecuación\ ref {m0128_egammadef} usando Ecuaciones\ ref {m0128_eecdef} -\ ref {m0128_eeppdef}, obtenemos:

    \[\begin{align} \gamma^2 &= -\omega^2\mu\left(\epsilon-j\frac{\sigma}{\omega}\right) \nonumber \\ &= -\omega^2\mu\epsilon +j\omega\mu\sigma \label{m0128_eg2b}\end{align} \]

    Las partes real e imaginaria de Ecuaciones\ ref {m0128_eg2a} y\ ref {m0128_eg2b} deben ser iguales. Al hacer cumplir esta igualdad se obtienen las siguientes ecuaciones:

    \[\alpha^2-\beta^2 = -\omega^2\mu\epsilon \label{m0128_ese1} \]

    \[2\alpha\beta = \omega\mu\sigma \label{m0128_ese2} \]

    Las ecuaciones\ ref {m0128_ese1} y\ ref {m0128_ese2} son ecuaciones simultáneas independientes que pueden resolverse para\(\alpha\) y\(\beta\). Ahorrando al lector los pasos restantes, que son puramente matemáticos, encontramos:

    \[\boxed{ \alpha = \omega \left\{ \frac{\mu\epsilon'}{2} \left[ \sqrt{1+\left(\frac{\epsilon''}{\epsilon'}\right)^2}-1 \right] \right\}^{1/2} } \label{m0128_ealpha} \]

    \[\boxed{ \beta = \omega \left\{ \frac{\mu\epsilon'}{2} \left[ \sqrt{1+\left(\frac{\epsilon''}{\epsilon'}\right)^2}+1 \right] \right\}^{1/2} } \label{m0128_ebeta} \]

    Las ecuaciones\ ref {m0128_ealpha} y\ ref {m0128_ebeta} se pueden verificar confirmando que las Ecuaciones\ ref {m0128_ese1} y\ ref {m0128_ese2} están satisfechas. También es útil confirmar que los resultados esperados se obtienen en el caso sin pérdidas. En el caso sin pérdidas,\(\sigma=0\), entonces\(\epsilon''=0\). Posteriormente, la Ecuación\ ref {m0128_ealpha} rendimientos\(\alpha=0\) y Ecuación\ ref {m0128_ebeta} rendimientos\(\beta=\omega\sqrt{\mu\epsilon}\), como se esperaba.

    Las ecuaciones de ondas electromagnéticas que dan cuenta de la posibilidad de medios con pérdida son las ecuaciones\ ref {m0128_EEG} y\ ref {m0128_eHG} con\(\gamma=\alpha+j\beta\), donde\(\alpha\) y\(\beta\) son las constantes positivas de valor real determinadas por las ecuaciones\ ref {m0128_ealpha} y\ ref {m0128_ebeta}, respectivamente.

    Concluimos esta sección señalando una analogía muy útil a la teoría de líneas de transmisión. En la sección “Propagación de Ondas en una Línea de Transmisión TEM”, 1 encontramos que el potencial y la corriente a lo largo de una línea de transmisión electromagnética transversal (TEM) satisfacen las mismas ecuaciones de onda que hemos desarrollado en esta sección, teniendo una constante de propagación de valor complejo\(\gamma=\alpha+j\beta\), y la misma interpretación física de\(\beta\) como la constante de propagación de fase. Como se explica en otro apartado,\(\alpha\) también tiene la misma interpretación en ambas aplicaciones —es decir, como la constante de atenuación.

    Lectura adicional:

    • “Ecuación de Ondas Electromagnéticas” en Wikipedia.

    1. Esta sección puede aparecer en un volumen diferente, dependiendo de la versión de este libro. ↩

    This page titled 3.3: Ecuaciones de onda para regiones con pérdida is shared under a CC BY-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Steven W. Ellingson (Virginia Tech Libraries' Open Education Initiative) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.