Saltar al contenido principal
LibreTexts Español

3.6: Ondas planas en regiones con pérdida

  • Page ID
    83841
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Las ecuaciones de ondas electromagnéticas para regiones libres de fuente que consisten en material posiblemente con pérdida son (ver Sección 3.3):

    \[\begin{align} \nabla^2\widetilde{\bf E} -\gamma^2 \widetilde{\bf E} &= 0 \label{m0130_eEg} \\ \nabla^2\widetilde{\bf H} -\gamma^2 \widetilde{\bf H} &= 0 \label{m0130_eHg}\end{align} \]

    donde

    \[\gamma^2 \triangleq -\omega^2\mu\epsilon_c \label{m0130_egammadef} \]

    Ahora volvemos nuestra atención a la pregunta, ¿cuáles son las características de las olas que se propagan en estas condiciones? Como en el caso sin pérdidas, estas ecuaciones permiten ondas que tienen una variedad de geometrías incluyendo ondas planas, ondas cilíndricas y ondas esféricas. En esta sección, consideraremos el importante caso especial de ondas planas uniformes.

    Para obtener la expresión general para la solución de onda plana uniforme, seguimos precisamente el mismo procedimiento descrito en la sección “Ondas Planas Uniformes: Derivación”. 1 Aunque esa sección presumió medios sin pérdidas, la única diferencia en la situación actual es que la constante de valor real\(+\beta^2\) se sustituye por la constante de valor complejo\(-\gamma^2\). Así, obtenemos la solución deseada a través de una simple modificación de la solución para el caso sin pérdidas. Para una onda que exhibe magnitud y fase uniformes en planos de constante\(z\), encontramos que el campo eléctrico es:

    \[\widetilde{\bf E} = \hat{\bf x}\widetilde{E}_x + \hat{\bf y}\widetilde{E}_y \nonumber \]

    donde

    \[\begin{align} \widetilde{E}_x &= E_{x0}^+ e^{-\gamma z} + E_{x0}^- e^{+\gamma z} \label{m0130_eEx} \\ \widetilde{E}_y &= E_{y0}^+ e^{-\gamma z} + E_{y0}^- e^{+\gamma z} \label{m0130_eEy} \end{align} \]

    donde los coeficientes de valor complejo\(E_{x0}^+\),\(E_{x0}^-\)\(E_{y0}^+\), y\(E_{y0}^-\) están determinados por condiciones de límite (posiblemente incluyendo fuentes) fuera de la región de interés. Este resultado se puede confirmar verificando que las Ecuaciones\ ref {M0130_Eex} y\ ref {M0130_eey} satisfacen cada una de las Ecuaciones\ ref {M0130_EEG}. Además, puede ser útil señalar que estas expresiones son idénticas a las obtenidas para el voltaje y la corriente en líneas de transmisión con pérdidas, como se describe en la sección “Ecuación de onda para una línea de transmisión TEM”. 2

    Consideremos el caso especial de una onda plana\(\hat{\bf x}\) polarizada que se propaga en la\(+\hat{\bf z}\) dirección:

    \[\widetilde{\bf E} = \hat{\bf x}E_{x0}^+ e^{-\gamma z} \nonumber \]

    Establecimos en la Sección 3.3 que\(\gamma\) puede escribirse explícitamente en términos de sus componentes reales e imaginarios de la siguiente manera:

    \[\gamma = \alpha + j\beta \nonumber \]

    donde\(\alpha\) y\(\beta\) son constantes positivas de valor real dependiendo de la frecuencia (\(\omega\)) y las propiedades constitutivas del medio; es decir, permitividad, permeabilidad y conductividad. Así:

    \[\begin{align} \widetilde{\bf E} &= \hat{\bf x}E_{x0}^+ e^{-\left(\alpha+j\beta\right) z} \nonumber \\ &= \hat{\bf x}E_{x0}^+ e^{-\alpha z} e^{-j\beta z}\end{align} \nonumber \]

    Observe que la variación de fase con la distancia está determinada\(\beta\) por el factor\(e^{-j\beta z}\); así,\(\beta\) es la constante de propagación de fase y juega precisamente el mismo papel que en el caso sin pérdidas. Obsérvese también que la variación de magnitud viene determinada por\(\alpha\) a través del factor de valor real\(e^{-\alpha z}\). Específicamente, la magnitud se reduce inverso-exponencialmente al aumentar la distancia a lo largo de la dirección de propagación. Por lo tanto,\(\alpha\) es la constante de atenuación y juega precisamente el mismo papel que la constante de atenuación para una línea de transmisión con pérdidas.

    La presencia de pérdida en el material da lugar a un factor de valor real\(e^{-\alpha z}\) que describe la atenuación de la onda con propagación (en este caso, a lo largo\(z\)) en el material.

    Podemos continuar explotando la similitud de los resultados de onda plana con potencial pérdida y sin pérdida para determinar rápidamente las características del campo magnético. En particular, las relaciones de onda plana se aplican exactamente como lo hacen en el caso sin pérdidas. Estas relaciones son:

    \[\widetilde{\bf H} = \frac{1}{\eta} \hat{\bf k} \times \widetilde{\bf E} \label{m0130_ePWRH} \]

    \[\widetilde{\bf E} = -\eta \hat{\bf k} \times \widetilde{\bf H} \label{m0130_ePWRE} \]

    donde\(\hat{\bf k}\) está la dirección de propagación y\(\eta\) es la impedancia de onda. En el caso sin pérdidas,\(\eta=\sqrt{\mu/\epsilon}\); sin embargo, en el caso posiblemente\(\epsilon=\epsilon'\) con pérdidas debemos reemplazarlo por\(\epsilon_c=\epsilon'-j\epsilon''\). Así:

    \[\begin{aligned} \eta \rightarrow \eta_c &= \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon_c}} = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'-j\epsilon''}} \nonumber \\ &= \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}}\sqrt{\frac{1}{1-j\left(\epsilon''/\epsilon'\right)}} \end{aligned} \nonumber \]

    Así:

    \[\boxed{ \eta_c = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \cdot \left[ 1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'} \right]^{-1/2} } \label{m0130_eetac} \]

    Sorprendentemente, encontramos que la impedancia de onda para un material con pérdida es igual a\(\sqrt{\mu/\epsilon}\) —la impedancia de onda que calcularíamos si descuidáramos la pérdida (es decir, asumida\(\sigma=0\) )— multiplicada por un factor de corrección que da cuenta de la pérdida. Este factor de corrección es de valor complejo; por lo tanto,\({\bf E}\) y no\({\bf H}\) se encuentran en fase cuando se propaga a través de material con pérdida. Ahora vemos que en el dominio fasor:

    \[\widetilde{\bf H} = \frac{1}{\eta_c} \hat{\bf k} \times \widetilde{\bf E} \label{m0130_eEpw} \]

    \[\widetilde{\bf E} = -\eta_c \hat{\bf k} \times \widetilde{\bf H} \label{m0130_eHpw} \]

    Las relaciones de onda plana en los medios que son posiblemente con pérdida están dadas por las Ecuaciones\ ref {M0130_EEPW} y\ ref {M0130_EHPW}, con la impedancia de onda de valor complejo dada por la Ecuación\ ref {m0130_eetac}.


    1. Dependiendo de la versión de este libro, esta sección puede aparecer en un volumen diferente. ↩
    2. Dependiendo de la versión de este libro, esta sección puede aparecer en un volumen diferente. ↩

    This page titled 3.6: Ondas planas en regiones con pérdida is shared under a CC BY-SA 4.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Steven W. Ellingson (Virginia Tech Libraries' Open Education Initiative) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform; a detailed edit history is available upon request.