3.11: Buenos Conductores

Un buen conductor es un material que se comporta en la mayoría de los aspectos como un conductor perfecto, pero exhibe pérdidas significativas. Ahora, hay que tener mucho cuidado: El término “pérdida” aplicado al concepto de “conductor” significa algo bastante diferente del término “pérdida” aplicado a otro tipo de materiales. Tomemos un momento para desambiguar este término.

Los conductores son materiales que están destinados a sostener eficientemente la corriente, lo que requiere una alta conductividad\(\sigma\). Por el contrario, los no conductores son materiales que están destinados a sostener de manera eficiente el campo eléctrico, que requiere baja\(\sigma\). “Pérdida” para un no conductor (ver en particular “conductores pobres”, Sección 3.10) significa la conversión de energía en el campo eléctrico en corriente. En contraste, la “pérdida” para un conductor se refiere a la energía ya asociada a la corriente, que posteriormente se disipa en resistencia. Resumiendo: Un buen conductor (“de baja pérdida”) es un material con alta conductividad, tal que la potencia disipada en la resistencia del material es baja.

Un criterio cuantitativo para un buen conductor se puede obtener del concepto de permitividad compleja\(\epsilon_c\), que tiene la forma:

\[\epsilon_c = \epsilon' - j\epsilon'' \nonumber \]

Recordemos que\(\epsilon''\) es proporcional a la conductividad (\(\sigma\)) y por lo tanto\(\epsilon''\) es muy grande para un buen conductor. Por lo tanto, podemos identificar un buen conductor usando la relación\(\epsilon''/\epsilon'\), que a veces se denomina “tangente de pérdida” (ver Sección 3.5). Usando esta cantidad definimos un buen conductor como material para el cual:

\[\frac{\epsilon''}{\epsilon'} \gg 1 ~~~ \mbox{(good conductor)} \label{m0157_eDef} \]

Esta condición se cumple para la mayoría de los materiales clasificados como “metales”, y especialmente para los metales que exhiben una conductividad muy alta como el oro, el cobre y el aluminio.

Un buen conductor es un material que tiene tangente de pérdida mucho mayor que 1.

La definición imprecisa de la Ecuación\ ref {M0157_Edef} es suficiente para derivar algunas características que son comunes a los materiales en un amplio rango de conductividad. Para derivar estas características, primero recordemos que la constante de propagación\(\gamma\) se da en general de la siguiente manera:

\[\gamma^2 = -\omega^2\mu\epsilon_c \nonumber \]

Por lo tanto:

\[\gamma = \sqrt{-\omega^2\mu\epsilon_c} \nonumber \]

En general, un número tiene dos raíces cuadradas, por lo que aquí se requiere cierta precaución. En este caso, podemos proceder de la siguiente manera:

\[\begin{align} \gamma &= j\omega\sqrt{\mu}\sqrt{\epsilon'-j\epsilon''} \nonumber \\ &= j\omega\sqrt{\mu\epsilon'}\sqrt{1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'}} \label{m0157_eGE}\end{align} \]

Ya que\(\epsilon''/\epsilon' \gg 1\) para un buen conductor,

\[\begin{align} \gamma &\approx j\omega\sqrt{\mu\epsilon'}\sqrt{- j\frac{\epsilon''}{\epsilon'}} \nonumber \\ &\approx j\omega\sqrt{\mu\epsilon''}\sqrt{-j}\end{align} \nonumber \]

Para proceder, debemos determinar el valor principal de\(\sqrt{-j}\). La respuesta es esa\(\sqrt{-j} = \left(1-j\right)/\sqrt{2}\). ¹ Continuando:

\[\gamma \approx j\omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon''}{2}} + \omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon''}{2}} \nonumber \]

Ahora podemos identificar expresiones para las constantes de atenuación y propagación de fase:

\[\boxed{\alpha \triangleq \mbox{Re}\left\{\gamma\right\} \approx \omega\sqrt{\frac{\mu\epsilon''}{2}} ~~~\mbox{(good conductor)}} \label{m0157_ealpha1} \]

\[\boxed{\beta \triangleq \mbox{Im}\left\{\gamma\right\} \approx \alpha ~~~\mbox{(good conductor)}} \nonumber \]

Notablemente, nos encontramos con eso\(\alpha\approx\beta\) para un buen conductor, y\(\alpha\) ni ni\(\beta\) dependemos de él\(\epsilon'\).

En el caso especial que\(\epsilon_c\) está determinado completamente por la pérdida de conductividad (es decir,\(\sigma>0\)) y no está contabilizando la respuesta de polarización retardada (como se describe en la Sección 3.4), entonces

\[\epsilon'' = \frac{\sigma}{\omega} \nonumber \]

Bajo esta condición, la Ecuación\ ref {m0157_ealpha1} puede ser reescrita:

\[\alpha \approx \omega\sqrt{\frac{\mu\sigma}{2\omega}} = \sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}} ~~~\mbox{(good conductor)} \nonumber \]

Ya que\(\omega = 2\pi f\), otra forma posible para esta expresión es

\[\boxed{ \alpha \approx \sqrt{\pi f\mu\sigma} ~~~\mbox{(good conductor)} } \nonumber \]

La conductividad de la mayoría de los materiales cambia muy lentamente con la frecuencia, por lo que esta expresión indica que\(\alpha\) (y\(\beta\)) aumenta aproximadamente en proporción a la raíz cuadrada de frecuencia para buenos conductores. Esto se observa comúnmente en aplicaciones de ingeniería eléctrica. Por ejemplo, la tasa de atenuación de las líneas de transmisión aumenta aproximadamente como\(\sqrt{f}\). Esto es así porque la principal contribución a la atenuación es la resistencia en los conductores que comprenden la línea.

La tasa de atenuación de las señales transportadas por las líneas de transmisión es aproximadamente proporcional a la raíz cuadrada de la frecuencia.

Consideremos ahora la impedancia de onda\(\eta_c\) en un buen conductor. Recordar:

\[\eta_c = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \cdot \left[ 1-j\frac{\epsilon''}{\epsilon'} \right]^{-1/2} \nonumber \]

Aplicando la misma aproximación aplicada\(\gamma\) anteriormente en esta sección, se puede escribir la expresión anterior

\[\begin{align} \eta_c &\approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon'}} \cdot \left[ -j\frac{\epsilon''}{\epsilon'} \right]^{-1/2} ~~~\mbox{(good conductor)} \nonumber \\ &\approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon''}} \cdot \frac{1}{\sqrt{-j}}\end{align} \nonumber \]

Eso ya lo hemos establecido\(\sqrt{-j} = \left(1-j\right)/\sqrt{2}\). Aplicando ese resultado aquí:

\[\eta_c \approx \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon''}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{1-j} \nonumber \]

Ahora multiplicando numerador y denominador por\(1+j\), obtenemos

\[\eta_c \approx \sqrt{\frac{\mu}{2\epsilon''}} \cdot \left(1+j\right) \nonumber \]

En el caso especial que\(\epsilon_c\) está determinado en su totalidad por la pérdida de conductividad y no está contabilizando la respuesta de polarización retardada\(\epsilon''=\sigma/\omega\), entonces, y encontramos:

\[\boxed{ \eta_c \approx \sqrt{\frac{\mu\omega}{2\sigma}} \cdot \left(1+j\right) } \nonumber \]

Hay al menos otras dos formas en las que esta expresión se escribe comúnmente. Primero, podemos usar\(\omega=2\pi f\) para obtener:

\[\eta_c \approx \sqrt{\frac{\pi f\mu}{\sigma}} \cdot \left(1+j\right) \nonumber \]

En segundo lugar, podemos usar el hecho de que\(\alpha\approx\sqrt{\pi f \mu\sigma}\) para buenos conductores obtener:

\[\eta_c \approx \frac{\alpha}{\sigma} \cdot \left(1+j\right) \nonumber \]

En cualquier caso, vemos que la magnitud de la impedancia de onda se parece poco a la impedancia de onda para un conductor pobre. En particular, no hay dependencia de la permitividad física\(\epsilon'=\epsilon\), como vimos también para\(\alpha\) y\(\beta\). En este sentido, el concepto de permitividad no se aplica a los buenos conductores, y sobre todo a los conductores perfectos.

Tenga en cuenta también que\(\psi_{\eta}\), la fase de\(\eta_c\), es siempre\(\approx\pi/4\) para un buen conductor, en contraste con\(\approx 0\) para un conductor pobre. Esto tiene dos implicaciones que son útiles de conocer. En primer lugar, dado que\(\eta_c\) es la relación de la magnitud de la intensidad del campo eléctrico a la magnitud de la intensidad del campo magnético, la fase del campo magnético se desplazará en\(\approx\pi/4\) relación con la fase del campo eléctrico en un buen conductor. Segundo, recordemos de la Sección 3.7 que la densidad de potencia para una onda es proporcional a\(\cos\psi_{\eta}\). Por lo tanto, la medida en que un buen conductor es capaz de “extinguir” una onda que se propaga a través de él está determinada en su totalidad por\(\alpha\), y específicamente es proporcional a\(e^{-\alpha l}\) donde\(l\) se recorre la distancia a través del material. En otras palabras, solo un conductor perfecto (\(\sigma\to\infty\)) es capaz de suprimir completamente la propagación de ondas, mientras que las ondas siempre son capaces de penetrar cierta distancia en cualquier conductor que sea meramente “bueno”. Una medida de esta distancia es la profundidad de la piel del material. El concepto de profundidad de la piel se presenta en la Sección 3.12.

La\(\beta\) dependencia de la conductividad conduce a un resultado particularmente sorprendente para la velocidad de fase de las olas asediadas que logran propagarse dentro de un buen conductor. Recordemos que tanto para materiales sin pérdidas como de baja pérdida (“conductor pobre”), la velocidad de fase\(v_p\) es exactamente o aproximadamente\(c/\sqrt{\epsilon_r}\), donde\(\epsilon_r\triangleq \epsilon'/\epsilon_0\), resultando en velocidades de fase típicas dentro de un orden de magnitud de\(c\). Para un buen conductor, encontramos en su lugar:

\[v_p = \frac{\omega}{\beta} \approx \frac{\omega}{\sqrt{\pi f\mu\sigma}}~~~\mbox{(good conductor)} \nonumber \]

y desde\(\omega=2\pi f\):

\[v_p \approx \sqrt{\frac{4\pi f}{\mu\sigma}} ~~~\mbox{(good conductor)} \nonumber \]

Tenga en cuenta que la velocidad de fase en un buen conductor aumenta con la frecuencia y disminuye con la conductividad. A diferencia de conductores pobres y no conductores, la velocidad de fase en buenos conductores suele ser una pequeña fracción de\(c\). Por ejemplo, para un buen conductor no magnético (\(\mu\approx\mu_0\)) con\(\sigma\sim 10^6\) S/m típico, encontramos\(v_p \sim 100\) km/s a 1 GHz, apenas\(\sim 0.03\)% de la velocidad de la luz en el espacio libre.

Este resultado también nos dice algo profundo sobre la naturaleza de las señales que son transportadas por las líneas de transmisión. Independientemente de si analizamos señales tales como ondas de voltaje y corriente asociadas con los conductores o en términos de ondas guiadas entre los conductores, encontramos que la velocidad de fase está dentro de un orden de magnitud o así de\(c\). Así, la información transportada por las señales que se propagan a lo largo de las líneas de transmisión viaja principalmente dentro del espacio entre los conductores, y no dentro de los conductores. La información no puede viajar principalmente en los conductores, ya que esto daría como resultado una velocidad de fase aparente que es órdenes de magnitud menor que\(c\), como se señaló anteriormente. Notablemente, la teoría clásica de líneas de transmisión que emplea el modelo de circuito\(L'\) equivalente\(R'\)\(G'\)\(C'\),,,, ^hace esto bien, a pesar de que ese enfoque no considera explícitamente la posibilidad de que las ondas guiadas viajen entre los conductores.

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1. Puedes confirmarlo simplemente cuadrando este resultado. La forma más fácil de derivar este resultado es trabajar en forma polar, en la que\(-j\) se encuentra 1 en un ángulo de\(-\pi/2\), y la operación de raíz cuadrada consiste en tomar la raíz cuadrada de la magnitud y dividir la fase por 2. ↩
2. Dependiendo de la versión de este libro, este tema puede aparecer en otro volumen. ↩