5.2: Ondas Planas a Incidencia Normal en una Losa de Material
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Para la consistencia de la terminología, vamos a referirnos al problema considerado en la Sección 5.1 como el problema de “un solo límite” y el problema actual (losa) como el problema de “doble límite”. Mientras que sólo hay dos regiones (“Región 1” y “Región 2”) en el problema de un solo límite, en el problema de doble frontera hay una tercera región a la que nos referiremos como “Región 3”. Suponemos que los medios que comprenden cada losa son “simples” y sin pérdidas (es decir, el componente imaginario de permitividad\(\epsilon''\) es igual a cero) y por lo tanto los medios están completamente definidos por una permitividad de valor real y una permeabilidad de valor real. El límite entre las Regiones 1 y 2 está en\(z=-d\), y el límite entre las Regiones 2 y 3 está en\(z=0\). Así, el espesor de la losa es\(d\). En ambos problemas, presumimos una ola incidente en la Región 1 incidente en el límite con la Región 2 que tiene intensidad de campo eléctrico
\[\widetilde{\bf E}^i(z) = \hat{\bf x} E_0^i e^{-j\beta_1 z}~~~\mbox{(Region~1)} \label{m0162_eEi} \]
donde\(\beta_1=\omega\sqrt{\mu_1 \epsilon_1}\) es la constante de propagación de fase en la Región 1. \(\widetilde{\bf E}^i\)sirve como el “estímulo” en este problema. Es decir, todas las demás contribuciones al campo total podrán expresarse en términos de\(\widetilde{\bf E}^i\).
A partir de las relaciones de onda plana, determinamos que la intensidad del campo magnético asociado es
\[\widetilde{\bf H}^i(z) = \hat{\bf y} \frac{E_0^i}{\eta_1} e^{-j\beta_1 z}~~~\mbox{(Region~1)} \label{m0162_eHi} \]
donde\(\eta_1=\sqrt{\mu_1 / \epsilon_1}\) está la impedancia de onda en la Región 1.
Los argumentos de simetría del problema de un solo límite se aplican precisamente de la misma manera al problema de doble límite. Por lo tanto, presumimos que la intensidad del campo eléctrico reflejado es:
\[\widetilde{\bf E}^r(z) = \hat{\bf x} B e^{+j\beta_1 z}~~~\mbox{(Region~1)} \label{m0162_eEr} \]
donde\(B\) es una constante de valor complejo que queda por determinar; y posteriormente la intensidad del campo magnético reflejado es:
\[\widetilde{\bf H}^r(z) = -\hat{\bf y} \frac{B}{\eta_1} e^{+j\beta_1 z}~~~\mbox{(Region~1)} \label{m0162_eHr} \]
De igual manera, inferimos la existencia de una onda plana transmitida que se propaga en\(+\hat{\bf z}\) dirección en la Región 2. Las intensidades de campo eléctrico y magnético de esta onda vienen dadas por:
\[\widetilde{\bf E}^{t2}(z) = \hat{\bf x} C e^{-j\beta_2 z}~~~\mbox{(Region~2)} \label{m0162_eEt} \]
y un campo magnético asociado que tiene la forma:
\[\widetilde{\bf H}^{t2}(z) = \hat{\bf y} \frac{C}{\eta_2} e^{-j\beta_2 z}~~~\mbox{(Region~2)} \label{m0162_eHt} \]
donde\(\beta_2=\omega\sqrt{\mu_2 \epsilon_2}\) y\(\eta_2=\sqrt{\mu_2 / \epsilon_2}\) son la constante de propagación de fase y la impedancia de onda, respectivamente, en la Región 2. La constante\(C\), como\(B\), es una constante de valor complejo que queda por determinar.
Ahora consideremos el límite entre las Regiones 2 y 3. Obsérvese que\(\widetilde{\bf E}^{t2}\) es incidente en este límite precisamente de la misma manera que lo\(\widetilde{\bf E}^i\) es incidente en el límite entre las Regiones 1 y 2. Por lo tanto, inferimos una intensidad de campo eléctrico reflejada en la Región 2 de la siguiente manera:
\[\widetilde{\bf E}^{r2}(z) = \hat{\bf x} D e^{+j\beta_2 z}~~~\mbox{(Region~2)} \label{m0162_eEr2} \]
donde\(D\) es una constante de valor complejo que queda por determinar; y un campo magnético asociado
\[\widetilde{\bf H}^{r2}(z) = -\hat{\bf y} \frac{D}{\eta_2} e^{+j\beta_2 z}~~~\mbox{(Region~2)} \label{m0162_eHr2} \]
Posteriormente, inferimos una intensidad de campo eléctrico transmitido en la Región 3 de la siguiente manera:
\[\widetilde{\bf E}^{t}(z) = \hat{\bf x} F e^{-j\beta_3 z}~~~\mbox{(Region~3)} \label{m0162_eEt3} \]
y un campo magnético asociado que tiene la forma
\[\widetilde{\bf H}^{t}(z) = \hat{\bf y} \frac{F}{\eta_3} e^{-j\beta_3 z}~~~\mbox{(Region~3)} \label{m0162_eHt3} \]
donde\(\beta_3=\omega\sqrt{\mu_3 \epsilon_3}\) y\(\eta_3=\sqrt{\mu_3 / \epsilon_3}\) son la constante de propagación de fase y la impedancia de onda, respectivamente, en la Región 3. La constante\(F\), como\(D\), es una constante de valor complejo que queda por determinar. No inferimos ninguna onda viajando en la (\(-\hat{\bf z}\)) en la Región 3, así como no inferimos tal onda en la Región 2 del problema de un solo límite.
Para mayor comodidad, Table\(\PageIndex{1}\) muestra un resumen completo de los componentes de campo que acabamos de identificar.
Intensidad de Campo Eléctrico | Intensidad de Campo Magnético | Región de Validez | |
---|---|---|---|
Región 1 | \(\widetilde{\bf E}^i(z) = \hat{\bf x} E_0^i e^{-j\beta_1 z}\) | \(\widetilde{\bf H}^i(z) = +\hat{\bf y} \left(E_0^i/\eta_1\right) e^{-j\beta_1 z}\) | \(z \le -d\) |
\(\widetilde{\bf E}^r(z) = \hat{\bf x} B e^{+j\beta_1 z}\) | \(\widetilde{\bf H}^r(z) = -\hat{\bf y} \left(B/\eta_1\right) e^{+j\beta_1 z}\) | ||
Región 2 | \(\widetilde{\bf E}^{t2}(z) = \hat{\bf x} C e^{-j\beta_2 z}\) | \(\widetilde{\bf H}^{t2}(z) = +\hat{\bf y} \left(C/\eta_2\right) e^{-j\beta_2 z}\) | \(-d \le z \le 0\) |
\(\widetilde{\bf E}^{r2}(z) = \hat{\bf x} D e^{+j\beta_2 z}\) | \(\widetilde{\bf H}^{r2}(z) = -\hat{\bf y} \left(D/\eta_2\right) e^{+j\beta_2 z}\) | ||
Región 3 | \(\widetilde{\bf E}^t(z) = \hat{\bf x} F e^{-j\beta_3 z}\) | \(\widetilde{\bf H}^t(z) = +\hat{\bf y} \left(F/\eta_3\right) e^{-j\beta_3 z}\) | \(z \ge 0\) |
Tenga en cuenta que la intensidad de campo total en cada región es la suma de los componentes de campo en esa región. Por ejemplo, la intensidad total del campo eléctrico en la Región 2 es\(\widetilde{\bf E}^{t2}+\widetilde{\bf E}^{r2}\).
Ahora observe que quedan cuatro constantes desconocidas; es decir\(B\),\(C\),\(D\), y\(F\). El problema de doble límite se resuelve completamente una vez que tenemos expresiones para estas constantes en términos de las cantidades “dadas” en la declaración del problema. Las soluciones para las constantes desconocidas se pueden obtener aplicando condiciones de límite en los campos eléctrico y magnético en cada uno de los dos límites. Al igual que en el caso de un solo límite, la condición de límite relevante es que el campo total debe ser continuo a través de cada límite. Aplicando esta condición al límite en\(z=0\), obtenemos:
\[\widetilde{\bf E}^{t2}(0) + \widetilde{\bf E}^{r2}(0) = \widetilde{\bf E}^{t}(0) \label{m0162_eB1E} \]
\[\widetilde{\bf H}^{t2}(0) + \widetilde{\bf H}^{r2}(0) = \widetilde{\bf H}^{t}(0) \label{m0162_eB1H} \]
Aplicando esta condición al límite en\(z=-d\), obtenemos:
\[\widetilde{\bf E}^i(-d) + \widetilde{\bf E}^r(-d) = \widetilde{\bf E}^{t2}(-d) + \widetilde{\bf E}^{r2}(-d) \label{m0162_eB2E} \]
\[\widetilde{\bf H}^i(-d) + \widetilde{\bf H}^r(-d) = \widetilde{\bf E}^{t2}(-d) + \widetilde{\bf E}^{r2}(-d) \label{m0162_eB2H} \]
Haciendo sustituciones de Tabla\(\PageIndex{1}\) y dividiendo factores comunes, la Ecuación\ ref {M0162_EB1e} se convierte en:
\[C + D =F \label{m0162_eB1Es} \]
La ecuación\ ref {M0162_EB1h} se convierte en:
\[\frac{C}{\eta_2} - \frac{D}{\eta_2} = \frac{F}{\eta_3} \label{m0162_eB1Hs} \]
La ecuación\ ref {M0162_EB2e} se convierte en:
\[E_0^i e^{+j\beta_1 d} + B e^{-j\beta_1 d} = C e^{+j\beta_2 d} + D e^{-j\beta_2 d} \label{m0162_eB2Es} \]
La ecuación\ ref {M0162_EB2h} se convierte en:
\[\frac{E_0^i}{\eta_1} e^{+j\beta_1 d} - \frac{B}{\eta_1} e^{-j\beta_1 d} = \frac{C}{\eta_2} e^{+j\beta_2 d} - \frac{D}{\eta_2} e^{-j\beta_2 d} \label{m0162_eB2Hs} \]
Las ecuaciones\ ref {M0162_EB1es} -\ ref {M0162_EB2hs} son reconocibles como un sistema de 4 ecuaciones lineales simultáneas con el número de incógnitas igual al número de ecuaciones. Simplemente podríamos dejarlo así, sin embargo, se obtienen algunas ideas muy útiles al resolver este sistema de ecuaciones de una manera particular. Primero, anotar el parecido entre la situación en el\(z=0\) límite en este problema y la situación en\(z=0\) frontera en el problema de un solo límite. De hecho, los dos son el mismo problema, con la siguiente transformación de variables (límite único y\(\rightarrow\) doble límite):
\[E_0^i \rightarrow C ~~~\mbox{i.e., the independent variable} \nonumber \]
\[B \rightarrow D ~~~\mbox{i.e., reflection} \nonumber \]
\[C \rightarrow F ~~~\mbox{i.e., transmission} \nonumber \]
De ello se deduce inmediatamente que
\[D = \Gamma_{23} C \nonumber \]
y
\[F = \left(1+\Gamma_{23}\right) C \nonumber \]
donde
\[\boxed{ \Gamma_{23} \triangleq \frac{\eta_3-\eta_2}{\eta_3+\eta_2} } \label{m0162_eGamma23} \]
En este punto, podríamos usar las expresiones que acabamos de derivar para eliminar\(D\) y\(F\) en el sistema de cuatro ecuaciones simultáneas identificadas anteriormente. Esto reduciría el problema al de dos ecuaciones en dos incógnitas: ¡una simplificación dramática!
Sin embargo, incluso esto es más trabajo del necesario, y un poco de astucia en este punto paga grandes dividendos después. La idea clave es que normalmente no tenemos interés en los campos internos de la losa; en la mayoría de los problemas, nos interesa meramente la reflexión hacia la Región 1 desde el\(z=-d\) límite y la transmisión a la Región 3 a través de la\(z=0\) interfaz. Con esto en mente, simplemente reemplacemos el problema de dos interfaces en la Figura\(\PageIndex{1}\) con un problema de límite único “equivalente” que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). Este problema es “equivalente” únicamente en el siguiente sentido: Los campos de la Región 1 son idénticos a los de la Región 1 del problema original. Parece poco probable que las propiedades materiales en la región a la derecha del\(z=-d\) límite en el problema equivalente sean iguales a las de las Regiones 2 o 3 del problema original, por lo que definimos una nueva impedancia de onda\(\eta_{eq}\) para representar esta nueva condición. Si podemos encontrar una expresión para\(\eta_{eq}\), entonces podemos desarrollar una solución al problema original (de dos límites) que parece una solución al problema equivalente (más simple, de un solo límite).
Para obtener una expresión para\(\eta_{eq}\), invocamos la definición de impedancia de onda: Es simplemente la relación entre la intensidad del campo eléctrico y la intensidad del campo magnético en el medio. Así:
\[\eta_{eq} \triangleq \frac{ \hat{\bf x} \cdot \widetilde{\bf E}_2(z_2) }{ \hat{\bf y} \cdot \widetilde{\bf H}_2(z_2) } = \frac{ \hat{\bf x} \cdot \left[ \widetilde{\bf E}^{t2}(z_2) + \widetilde{\bf E}^{r2}(z_2) \right] }{ \hat{\bf y} \cdot \left[ \widetilde{\bf H}^{t2}(z_2) + \widetilde{\bf H}^{r2}(z_2) \right] } \nonumber \]
donde\(z_2\) hay algún punto en la Región 2. Por simplicidad, elijamos\(z_2 = -d\). Haciendo sustituciones, obtenemos:
\[\eta_{eq} = \frac{ C e^{+j\beta_2 d} + D e^{-j\beta_2 d} }{ \left(C/\eta_2\right) e^{+j\beta_2 d} - \left(D/\eta_2\right) e^{-j\beta_2 d} } \nonumber \]
Llevando el factor de\(\eta_2\) al frente y sustituyendo\(D = \Gamma_{23} C\):
\[\eta_{eq} = \eta_2 \frac{ C e^{+j\beta_2 d} + \Gamma_{23} C e^{-j\beta_2 d} }{ C e^{+j\beta_2 d} - \Gamma_{23} C e^{-j\beta_2 d} } \nonumber \]
Finalmente, dividimos el factor común de\(C\) y multiplicamos el numerador y el denominador por\(e^{-j\beta_2 d}\), rindiendo:
\[\boxed{ \eta_{eq} = \eta_2 \frac{ 1 + \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} }{ 1 - \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} } } \label{m0162_eetaeq} \]
La ecuación\ ref {m0162_eetaeq} es la impedancia de onda en la región a la derecha del límite en el escenario equivalente que se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). “Equivalente” en este caso significa que los campos incidentes y reflejados en la Región 1 son idénticos a los del problema original (losa).
Dos comentarios sobre esta expresión antes de proceder. Primero: Obsérvese que si los materiales en las Regiones 2 y 3 son idénticos, entonces\(\eta_2=\eta_3\), así\(\Gamma_{23}=0\), y así\(\eta_{eq}=\eta_2\), como se esperaba. Segundo: Tenga en cuenta que\(\eta_{eq}\) es, en general, de valor complejo. Esto inicialmente puede parecer preocupante, ya que el componente imaginario de la impedancia de onda normalmente se asocia con material general (por ejemplo, posiblemente con pérdidas). Específicamente excluimos esta posibilidad en la declaración del problema, por lo que claramente el valor complejo de la impedancia de onda no indica pérdida. En cambio, la fase distinta de cero\(\eta_{eq}\) representa la capacidad de la onda estacionaria dentro de la losa para impartir un desplazamiento de fase entre los campos eléctrico y magnético. Este es precisamente el mismo efecto que se observa en la entrada de una línea de transmisión: La impedancia de entrada\(Z_{in}\) es, en general, de valor complejo incluso si la línea no tiene pérdidas y la impedancia característica y la impedancia de carga son de valor real. 1 De hecho, la impedancia que mira a una línea de transmisión viene dada por una expresión precisamente de la misma forma que la Ecuación\ ref {m0162_eetaeq}. Esta sorprendente analogía entre las ondas planas en los límites planos y las ondas de voltaje y corriente en las líneas de transmisión se aplica ampliamente.
Ahora podemos identificar un “coeficiente de reflexión equivalente”\(\Gamma_{1,eq}\) para el escenario mostrado en la Figura\(\PageIndex{2}\):
\[\boxed{ \Gamma_{1,eq} \triangleq \frac{\eta_{eq}-\eta_1}{\eta_{eq}+\eta_1} } \nonumber \]
La cantidad ahora\(\Gamma_{1,eq}\) puede ser utilizada precisamente de la misma manera que\(\Gamma_{12}\) se utilizó en el problema de un solo límite para encontrar los campos reflejados y la densidad de potencia reflejada en la Región 1.
Una señal WiFi (LAN inalámbrica) a una frecuencia central de 2.45 GHz normalmente es incidente en un panel de vidrio que tiene 1 cm de grosor y está bien caracterizado en esta aplicación como un dieléctrico sin pérdidas con\(\epsilon_r=4\). La fuente de la señal está suficientemente distante de la ventana para que la señal incidente se aproxime bien como una onda plana. Determinar la fracción de potencia reflejada desde el panel.
Solución
En este caso, identificamos las Regiones 1 y 3 como aproximadamente espacio libre, y la Región 2 como panel. Así
\[\eta_1=\eta_3=\eta_0 \cong 376.7~\Omega \nonumber \]
y
\[\eta_2=\frac{\eta_0}{\sqrt{\epsilon_r}} \cong 188.4~\Omega \nonumber \]
El coeficiente de reflexión de la Región 2 a la Región 3 es
\[\begin{align*} \Gamma_{23} &= \frac{\eta_3-\eta_2}{\eta_3+\eta_2} \nonumber \\ &= \frac{\eta_0-\eta_2}{\eta_0+\eta_2} \nonumber \\ &\cong 0.3333 \end{align*} \nonumber \]
Dado\(f=2.45\) GHz, la constante de propagación de fase en el vidrio es
\[\beta_2 = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi f\sqrt{\epsilon_r}}{c} \cong 102.6~\mbox{rad/m} \nonumber \]
Dado\(d=1\) cm, la impedancia de onda equivalente es
\[\begin{align*} \eta_{eq} &= \eta_2 \frac{ 1 + \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} }{ 1 - \Gamma_{23} e^{-j2\beta_2 d} } \nonumber \\ &\cong 117.9 -j78.4~\Omega\end{align*} \nonumber \]
A continuación calculamos
\[\begin{align*} \Gamma_{1,eq} &= \frac{\eta_{eq}-\eta_1}{\eta_{eq}+\eta_1} \nonumber \\ &\cong -0.4859 -j0.2354 \end{align*} \nonumber \]
La relación entre la densidad de potencia reflejada y la densidad de potencia incidente es simplemente la magnitud cuadrada de este coeficiente de reflexión, es decir:
\[\frac{S_{ave}^r}{S_{ave}^i} = \left|\Gamma_{1,eq}\right|^2 = 0.292 \cong \boxed{\mbox{29.2%}} \nonumber \]
donde\(S_{ave}^r\) y\(S_{ave}^i\) son las densidades de potencia reflejada e incidente, respectivamente.
Desde entonces\(B=\Gamma_{1,eq}E_0^i\), tenemos:
\[\widetilde{\bf E}^r(z) = \hat{\bf x} \Gamma_{1,eq} E_0^i e^{+j\beta_1 z}~\mbox{,}~~z \le -d \nonumber \]
y se\(\widetilde{\bf H}^r(z)\) puede obtener de las relaciones de onda plana. Si se desea, ahora es bastante sencillo obtener soluciones para los campos eléctrico y magnético en las Regiones 2 y 3. Sin embargo, es la generalmente la densidad de potencia transmitida a la Región 3 la que es de mayor interés. Esta densidad de potencia se determina fácilmente a partir del principio de conservación de la energía. Si la pérdida en la Región 2 es insignificante, entonces allí no se podrá disipar ningún poder. En este caso, toda la potencia no reflejada desde la\(z=-d\) interfaz debe ser transmitida a la Región 3. En otras palabras:
\[\boxed{ \frac{S_{ave}^t}{S_{ave}^i} = 1-|\Gamma_{1,eq}|^2 } \label{m0162_eSavet} \]
donde\(S_{ave}^t\) está la densidad de potencia transmitida.
Continuar Ejemplo\(\PageIndex{1}\): ¿Qué fracción de energía incidente pasa completamente a través del cristal?
Solución
\[\frac{S_{ave}^t}{S_{ave}^i} = 1-|\Gamma_{1,eq}|^2 \cong \boxed{\mbox{70.8%}} \nonumber \]
- Consulte la sección “Impedancia de entrada de una línea de transmisión sin pérdidas terminada” para un recordatorio. Esta sección puede aparecer en un volumen diferente dependiendo de la versión de este libro. ↩