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5.11: Reflexión interna total

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    La reflexión interna total se refiere a una condición particular que resulta en la reflexión completa de una onda en el límite entre dos medios, sin poder transmitido a la segunda región. Una forma de lograr una reflexión completa con transmisión cero es simplemente requerir que el segundo material sea un conductor perfecto. Sin embargo, la reflexión interna total es un fenómeno distinto en el que ninguno de los dos medios son conductores perfectos. La reflexión interna total tiene una serie de aplicaciones prácticas; notablemente, es el principio habilitador de la fibra óptica.

    Considere la situación que se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\):

    m0169_fOblique.png
    Figura\(\PageIndex{1}\): Onda plana uniforme que incide oblicuamente en el límite plano entre dos regiones de material semiinfinitas. Aquí\(\mu_{r 1} \epsilon_{r 1}>\mu_{r 2} \epsilon_{r 2}\), entonces\(\psi^{t}>\psi^{i}\) (CC BY-SA 4.0 (modificado); C. Wang)

    Una onda plana uniforme es oblicuamente incidente en el límite plano entre dos regiones de material semi-infinitas. En la Sección 5.8, se encuentra que

    \[\psi^r = \psi^i \nonumber \]

    es decir, el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. También, de la ley de Snell:

    \[\sqrt{\mu_{r1}\epsilon_{r1}} \sin\psi^i = \sqrt{\mu_{r2}\epsilon_{r2}} \sin\psi^t \label{m0169_eAt3} \]

    donde “\(r\)” en los subíndices indica las cantidades relativas (sin unidades). La fórmula asociada para\(\psi^t\) explícitamente es:

    \[\psi^t = \arcsin\left(\sqrt{\frac{\mu_{r1}\epsilon_{r1}}{\mu_{r2}\epsilon_{r2}}} \sin\psi^i \right) \label{m0169_eAt} \]

    De la Ecuación\ ref {M0169_Eat}, es evidente que cuando\(\mu_{r1}\epsilon_{r1}>\mu_{r2}\epsilon_{r2}\),\(\psi^t>\psi^r\); es decir, la onda transmitida parece doblarse alejándose de la superficie normal, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). De hecho,\(\psi^t\) puede ser tan grande como\(\pi/2\) (correspondiente a propagación paralela al límite) para ángulos de incidencia que son menores que\(\pi/2\). ¿Qué sucede si el ángulo de incidencia se incrementa aún más? Al calcular\(\psi^t\) usando la ecuación\ ref {M0169_Eat}, se encuentra que el argumento de la función arcoseno se vuelve mayor que 1. Dado que los posibles valores de la función sinusoidal están entre\(-1\) y\(+1\), la función arcoseno es indefinida. Claramente nuestro análisis es inadecuado ante esta situación.

    Para darle sentido a esto, comencemos por identificar el ángulo umbral de incidencia\(\psi^i_c\) en el que comienza el problema. Del análisis del párrafo anterior,

    \[\sqrt{\frac{\mu_{r1}\epsilon_{r1}}{\mu_{r2}\epsilon_{r2}}} \sin\psi^i_c = 1 \nonumber \]

    por lo tanto,

    \[\boxed{ \psi^i_c = \arcsin\sqrt{\frac{\mu_{r2}\epsilon_{r2}}{\mu_{r1}\epsilon_{r1}}} } \label{m0169_eCA} \]

    Esto se conoce como el ángulo crítico. Cuando\(\psi^i<\psi^i_c\), nuestra teoría existente se aplica. Cuando\(\psi^i\ge\psi^i_c\), la situación es, en la actualidad, poco clara. Para materiales no magnéticos, la ecuación\ ref {M0169_ECa} simplifica a

    \[\psi^i_c = \arcsin\sqrt{\frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}}} \label{m0169_eCAnm} \]

    Ahora examinemos el comportamiento del coeficiente de reflexión. Por ejemplo, el coeficiente de reflexión para componentes TE y materiales no magnéticos es

    \[\Gamma_{TE} = \frac{ \cos\psi^i - \sqrt{ \epsilon_{r2}/\epsilon_{r1}-\sin^2\psi^i } } { \cos\psi^i + \sqrt{ \epsilon_{r2}/\epsilon_{r1}-\sin^2\psi^i } } \label{m0169_eGTE} \]

    De la Ecuación\ ref {M0169_ECANM}, vemos que

    \[\sin^2{\psi^i_c} = \frac{\epsilon_{r2}}{\epsilon_{r1}} \nonumber \]

    Entonces, cuando\(\psi^i>\psi^i_c\), vemos que

    \[\epsilon_{r2}/\epsilon_{r1}-\sin^2\psi^i < 0 ~~~ (\psi^i>\psi^i_c) \nonumber \]

    y por lo tanto

    \[\sqrt{\epsilon_{r2}/\epsilon_{r1}-\sin^2\psi^i} = jB ~~~ (\psi^i>\psi^i_c) \nonumber \]

    donde\(B\) es un número positivo de valor real. Ahora podemos escribir la Ecuación\ ref {M0169_EGTE} de la siguiente manera:

    \[\Gamma_{TE} = \frac{A-jB}{A+jB} ~~~ (\psi^i>\psi^i_c) \label{m0169_eGTE2} \]

    donde también\(A\triangleq\cos\psi^i\) es un número positivo de valor real. Tenga en cuenta que el numerador y denominador en la Ecuación\ ref {M0169_EGTE2} tienen igual magnitud. Por lo tanto, la magnitud de\(\left|\Gamma_{TE}\right|=1\) y

    \[\Gamma_{TE} = e^{j\zeta} ~~~ (\psi^i>\psi^i_c) \nonumber \]

    donde\(\zeta\) es un número de valor real que indica la fase de\(\Gamma_{TE}\). En otras palabras,

    Cuando el ángulo de incidencia\(\psi^i\) excede el ángulo crítico\(\psi^i_c\), la magnitud del coeficiente de reflexión es 1. En este caso, toda la potencia se refleja, y ninguna potencia se transmite al segundo medio. Esta es una reflexión interna total.

    Aunque hemos obtenido este resultado para el componente TE, también se obtiene la conclusión idéntica para el componente TM. Esto se deja como ejercicio para el alumno.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Total internal reflection in glass

    La Figura 5.8.2 (Sección 5.8) muestra una demostración de la refracción de un haz de luz incidente del aire sobre un límite plano con vidrio. El análisis de esa demostración reveló que la permitividad relativa del vidrio fue\(\cong 2.28\). En la figura se\(\PageIndex{2}\) muestra una modificación de la demostración: En este caso, un haz de luz incide desde el vidrio sobre un límite plano con aire. Confirmar que la reflexión interna total es el resultado esperado en esta demostración.

    m0169_fTeljes_fenyvisszaverodes.png
    Figura\(\PageIndex{2}\): Reflejo interno total de una onda de luz incidente en un límite plano entre vidrio y aire. (CC BY-SA 3.0; Z. Sándor)
    Solución

    Suponiendo que el vidrio no es magnético, el ángulo crítico viene dado por la Ecuación\ ref {M0169_ECANM}. En el presente ejemplo,\(\epsilon_{r1}\cong 2.28\) (vidrio),\(\epsilon_{r2}\cong 1\) (aire). Por lo tanto, el ángulo crítico\(\psi^i_c \cong 41.5^{\circ}\). Se observa que el ángulo de incidencia en la Figura\(\PageIndex{2}\) es aproximadamente\(\cong 50^{\circ}\), el cual es mayor que el ángulo crítico. Por lo tanto, se espera una reflexión interna total.

    Obsérvese también que la fase\(\zeta\) del coeficiente de reflexión es precisamente cero a menos que\(\psi^i>\psi^i_c\), momento en el que sea a la vez distinto de cero y varíe con\(\psi^i\). Esto se conoce como el efecto Goos-H ä nchen. Esto lleva al fenómeno sorprendente que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). En esta figura, el desplazamiento de fase Goos-H ä nchen es evidente como un desplazamiento entre el punto de incidencia y el punto de reflexión.

    m0169_Laser_in_fibre.png
    Figura\(\PageIndex{3}\): Luz láser en una varilla dieléctrica que exhibe el efecto Goos-Hänchen. (CC BY-SA 3.0; Timwether)

    La presencia de un componente imaginario en el coeficiente de reflexión es impar por dos razones. Primero, no estamos acostumbrados a ver surgir un coeficiente de reflexión de valor complejo cuando las impedancias de onda de los medios asociados son de valor real. Segundo, la reflexión total de la onda incidente parece contradecir la condición límite que requiere que los componentes tangenciales de los campos eléctrico y magnético sean continuos a través del límite. Es decir, ¿cómo pueden estos componentes de los campos ser continuos a través del límite si no se transmite energía a través del límite? Estas consideraciones sugieren que hay un campo en el lado opuesto del límite, pero —de alguna manera— debe tener potencia cero. Este es exactamente el caso, como se explica en la Sección 5.12.


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