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# 6.10: Guía de ondas rectangular- Características de propagación

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En esta sección, consideramos las características de propagación de los modos TE y TM en guías de onda rectangulares. Debido a que estos modos exhiben la misma dependencia de fase$$z$$, los hallazgos de esta sección se aplican igualmente a ambos conjuntos de modos. Recordemos que los modos TM en una guía de ondas rectangular vienen dados por:

$\widetilde{E}_z^{(m,n)} = E_0^{(m,n)} \sin\left(\frac{m\pi}{a} x\right) \sin\left(\frac{n\pi}{b} y\right) e^{-jk_z^{(m,n)} z} \label{m0224_eEz}$

donde$$E_0^{(m,n)}$$ es una constante arbitraria (determinada en parte por las fuentes), y:

$k_z^{(m,n)} = \sqrt{ \omega^2\mu\epsilon - \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 - \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 } \label{m0224_ekzm}$

Los modos TE en una guía de ondas rectangular son:

$\widetilde{H}_z^{(m,n)} = H_0^{(m,n)} \cos\left(\frac{m\pi}{a} x\right) \cos\left(\frac{n\pi}{b} y\right) e^{-jk_z^{(m,n)} z} \label{m0224_eHz}$

donde$$H_0^{(m,n)}$$ es una constante arbitraria (determinada en parte por las fuentes).

## Frecuencia de corte

Primero, observe que los valores de$$k_z^{(m,n)}$$ obtenidos de la Ecuación\ ref {m0224_ekzm} no son necesariamente de valor real. Para cualquier valor dado de$$m$$,$$(k_z^{(m,n)})^2$$ será negativo para todos los valores$$n$$ mayores que algún valor. De igual manera, para cualquier valor dado de$$n$$,$$(k_z^{(m,n)})^2$$ será negativo para todos los valores$$m$$ mayores que algún valor. En caso de que ocurra alguna de estas condiciones, encontramos:

\ begin {align}\ left (k_z^ {(m, n)}\ right) ^2 &=\ omega^2\ mu\ epsilon -\ left (\ frac {m\ pi} {a}\ right) ^2 -\ left (\ frac {n\ pi} {b}\ right) ^2 ~~~ < 0\ nonumber\\ &= -\ izquierda |\ omega^2\ mu\ épsilon -\ izquierda (\ frac {m\ pi} {a}\ derecha) ^2 -\ izquierda (\ frac {n\ pi} {b}\ derecha) ^2\ derecha|\ nonumber\\ &= -\ alpha^2\ end {align}

donde$$\alpha$$ es una constante positiva de valor real. Entonces:

\ begin {align} k_z^ {(m, n)} &=\ pm j\ alpha\ end {align}

Posteriormente:

\ begin {align} e^ {-jk_z^ {(m, n)} z} &= e^ {-j\ left (\ pm j\ alpha\ right) z}\ nonumber\\ &= e^ {\ pm\ alpha z}\ end {align}

La opción de signo “$$+$$” corresponde a una onda que crece exponencialmente en magnitud con el aumento$$z$$, que es un comportamiento no físico. Por lo tanto:

$e^{-jk_z^{(m,n)} z} = e^{-\alpha z} \nonumber$

Resumiendo: Cuando los valores de$$m$$ o$$n$$ son tales que$$(k_z^{(m,n)})^2<0$$, la magnitud de la onda asociada ya no es constante con$$z$$. En cambio, la magnitud de la onda disminuye exponencialmente con el aumento$$z$$. Tal onda no transporta efectivamente energía a través de la guía de ondas, y se dice que está cortada.

Dado que las guías de onda normalmente están pensadas para la transferencia eficiente de energía, es importante conocer los criterios para que se corte un modo. Dado que el corte ocurre cuando$$(k_z^{(m,n)})^2<0$$, el corte ocurre cuando:

$\omega^2\mu\epsilon > \left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n\pi}{b}\right)^2 \nonumber$

Desde$$\omega=2\pi f$$:

\ begin {align} f &>\ frac {1} {2\ pi\ sqrt {\ mu\ épsilon}}\ sqrt {\ left (\ frac {m\ pi} {a}\ derecha) ^2 +\ izquierda (\ frac {n\ pi} {b}\\ derecha) ^2}\\ &=\ frac {1} {2\ sqrt {\ mu ep\ silon}}\ sqrt {\ izquierda (\ frac {m} {a}\ derecha) ^2 +\ izquierda (\ frac {n} {b}\ derecha) ^2}\ end {align}

Tenga en cuenta que$$1/\sqrt{\mu\epsilon}$$ es la velocidad de fase$$v_p$$ para el medio utilizado en la guía de ondas. Con esto en mente, definamos:

$v_{pu} \triangleq \frac{1}{\sqrt{\mu\epsilon}} \nonumber$

Esta es la velocidad de fase en un medio no acotado que tiene la misma permeabilidad y permitividad que el interior de la guía de ondas. Así:

$f > \frac{v_{pu}}{2} \sqrt{ \left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 } \nonumber$

Es decir, el modo$$(m,n)$$ evita ser cortado si la frecuencia es lo suficientemente alta como para cumplir con este criterio. Por lo tanto, es útil hacer la siguiente definición:

$f_{mn} \triangleq \frac{v_{pu}}{2} \sqrt{ \left(\frac{m}{a}\right)^2 + \left(\frac{n}{b}\right)^2 } \label{m0224_efmn}$

La frecuencia de corte$$f_{mn}$$ (Ecuación\ ref {m0224_efmn}) es la frecuencia más baja para la que el modo$$(m,n)$$ es capaz de propagarse (es decir, no cortar).

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: Cutoff frequencies for WR-90

WR-90 es una implementación popular de la guía de ondas rectangular. WR-90 está lleno de aire con dimensiones$$a=22.86$$$$b=10.16$$ mm y mm. Determinar las frecuencias de corte y, en particular, la frecuencia más baja a la que se puede usar WR-90.

###### Solución

Dado que WR-90 está lleno de aire$$\mu\approx\mu_0$$,$$\epsilon\approx\epsilon_0$$,, y$$v_{pu} \approx {1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} \cong 3.00 \times 10^8$$ m/s. las frecuencias de corte están dadas por la Ecuación\ ref {m0224_efmn}. Recordemos que no hay modos TE o TM distintos de cero con$$m=0$$ y$$n=0$$. Ya que$$a>b$$, la frecuencia de corte no nula más baja se logra cuando$$m=1$$ y$$n=0$$. En este caso, la Ecuación\ ref {m0224_efmn} rinde$$f_{10} = \underline{6.557~\mbox{GHz}}$$; esta es la frecuencia más baja que es capaz de propagarse eficientemente en la guía de ondas. La siguiente frecuencia de corte más baja es$$f_{20} = 13.114~\mbox{GHz}$$. La tercera frecuencia de corte más baja es$$f_{01} = 14.754~\mbox{GHz}$$. El modo TM de orden más bajo que no es cero y no cortado es TM$$_{11}$$ ($$f_{11}=16.145$$).

La velocidad de fase para una onda que se propaga dentro de una guía de ondas rectangular es mayor que la de la radiación electromagnética en un espacio no limitado. Por ejemplo, la velocidad de fase de cualquier modo de propagación en una guía de ondas llena de vacío es mayor que$$c$$, la velocidad de la luz en el espacio libre. Este es un resultado sorprendente. Primero derivemos este resultado y luego intentemos darle sentido.

La velocidad de fase$$v_p$$ en la guía de ondas rectangular viene dada por

\ begin {align} v_p &\ triangleq\ frac {\ omega} {k_z^ {(m, n)}}\\ & =\ frac {\ omega} {\ sqrt {\ omega^2\ mu\ épsilon -\ izquierda (m\ pi/a\ derecha) ^2 -\ izquierda (n\ pi/b\ derecha) ^2}}\ end align {}

Inmediatamente observamos que la velocidad de fase parece ser diferente para diferentes modos. Dividiendo el numerador y el denominador por$$\beta=\omega\sqrt{\mu\epsilon}$$, obtenemos:

\ begin {align} v_p &=\ frac {1} {\ sqrt {\ mu\ épsilon}}\ frac {1} {\ sqrt {1 -\ izquierda (\ omega^2\ mu\ épsilon\ derecha) ^ {-1}\ izquierda [\ izquierda (m\ pi/a\ derecha) ^2 +\ izquierda (n\ pi/b\ derecha) ^2 derecha\]}}\ etiqueta {m0224_evp2}\ end {align}

Tenga en cuenta$$1/\sqrt{\mu\epsilon}$$ es decir$$v_{pu}$$, como se definió anteriormente. Empleando la Ecuación\ ref {m0224_efmn} y también señalando que$$\omega=2\pi f$$, la Ecuación\ ref {m0224_evp2} puede ser reescrita en la siguiente forma:

\ begin {align} v_p &=\ frac {v_ {pu}} {\ sqrt {1 -\ izquierda (f_ {mn} /f\ derecha) ^2}}\ end {align}

Para cualquier modo de propagación,$$f>f_{mn}$$; posteriormente,$$v_p > v_{pu}$$. En particular,$$v_p > c$$ para una guía de ondas llena de vacío.

¿Cómo puede esto no ser una violación de la física fundamental? Como se señala en la Sección 6.1, la velocidad de fase no es necesariamente la velocidad a la que viaja la información, sino simplemente la velocidad a la que viaja un punto de fase constante. Para enviar información, debemos crear una perturbación en la excitación por lo demás sinusoidal presumida en el análisis hasta el momento. La compleja estructura de campo crea puntos de fase constante que viajan más rápido que la perturbación es capaz de transmitir información, por lo que no hay violación de principios físicos.

Como se señala en la Sección 6.1, la velocidad a la que viaja la información viene dada por la velocidad del grupo$$v_g$$. En el espacio ilimitado,$$v_g=v_p$$, por lo que la velocidad de la información es igual a la velocidad de fase en ese caso. En una guía de ondas rectangular, la situación es diferente. Nos encontramos con:

\ begin {align} v_g &=\ left (\ frac {\ parcial k_z^ {(m, n)}} {\ parcial\ omega}\ derecha) ^ {-1}\\ & = v_ {pu}\ sqrt {1 -\ izquierda (f_ {mn} /f\ derecha) ^2}\ label {m0224_EGV}\ end {align}

que siempre es menor que$$v_{pu}$$ para un modo de propagación.

Tenga en cuenta que la velocidad de grupo en la guía de ondas depende de la frecuencia de dos maneras. Primero, debido a que$$f_{mn}$$ toma diferentes valores para diferentes modos, la velocidad de grupo es diferente para diferentes modos. Específicamente, los modos de orden superior se propagan más lentamente que los modos de orden inferior que tienen la misma frecuencia. Esto se conoce como dispersión modal. En segundo lugar, tenga en cuenta que la velocidad de grupo de cualquier modo dado depende de la frecuencia. Esto se conoce como dispersión cromática.

La velocidad de una señal dentro de una guía de ondas rectangular viene dada por la velocidad de grupo del modo asociado (Ecuación\ ref {M0224_EGV}). Esta velocidad es menor que la velocidad de propagación en medios no acotados que tienen la misma permitividad y permeabilidad. La velocidad depende de la relación$$f_{mn}/f$$, y generalmente disminuye con el aumento de la frecuencia para cualquier modo dado.

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$: Speed of propagating in WR-90.

Revisitando la guía de ondas WR-90 de Ejemplo$$\PageIndex{1}$$: ¿Cuál es la velocidad de propagación de una señal de banda estrecha a 10 GHz?

###### Solución

Supongamos que aquí “banda estrecha” significa que el ancho de banda es insignificante en relación con la frecuencia central, por lo que solo necesitamos considerar la frecuencia central. Como se determinó previamente, el modo de propagación de orden más bajo es TE$$_{10}$$, para lo cual$$f_{10} = 6.557~\mbox{GHz}$$. La siguiente frecuencia de corte más baja es$$f_{20} = 13.114~\mbox{GHz}$$. Por lo tanto, solo está disponible el$$_{10}$$ modo TE para esta señal. La velocidad de grupo para este modo a la frecuencia de interés viene dada por la Ecuación\ ref {M0224_EGV}. Usando esta ecuación, se encuentra que la velocidad de propagación es$$\cong 2.26 \times 10^{8} \: m/s$$, que es aproximadamente 75.5% de$$c$$.

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