9.8: Radiación a partir de distribuciones superficiales y volumétricas de corriente

En la Sección 9.3, se desarrolló una solución para la radiación de la corriente localizada en un solo punto\({\bf r}'\). Esta distribución de corriente se expresó matemáticamente como un momento actual, de la siguiente manera:

\[\widetilde{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf l}~\widetilde{I}~\Delta l~\delta({\bf r}-{\bf r}') \label{m0221_eCM} \]

donde\(\hat{\bf l}\) está la dirección del flujo de corriente,\(\widetilde{I}\) tiene unidades de corriente (unidades base SI de A),\(\Delta l\) tiene unidades de longitud (unidades base SI de m), y\(\delta({\bf r})\) es la función de muestreo volumétrico (función Dirac “delta”; unidades base SI de m\(^{-3}\)). En esta formulación,\(\widetilde{\bf J}\) cuenta con unidades base SI de A/m\(^2\). Se encontró que el potencial de vector magnético irradiado por esta corriente, observado en el punto de campo\({\bf r}\), es

\[\widetilde{\bf A}({\bf r}) = \hat{\bf l}~\mu~\widetilde{I}~\Delta l~\frac{e^{-\gamma \left|{\bf r}-{\bf r}'\right|}}{4\pi \left|{\bf r}-{\bf r}'\right|} \label{m0221_eA} \]

Esta solución se generalizó posteriormente para obtener la radiación de cualquier distribución de corriente de línea; es decir, cualquier distribución de corriente que esté restringida a fluir a lo largo de una sola trayectoria a través del espacio, como a lo largo de un cable infinitesimalmente delgado.

En esta sección, derivamos una expresión para la radiación de la corriente que está restringida a fluir a lo largo de una superficie y de la corriente que fluye a través de un volumen. La solución en ambos casos se puede obtener “reciclando” la solución para corriente de línea de la siguiente manera. Dejando que se\(\Delta l\) encoja a la longitud diferencial\(dl\), la ecuación\ ref {M0221_ECM} se convierte en:

\[d\widetilde{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf l}~\widetilde{I}~dl~\delta({\bf r}-{\bf r}') \label{m0221_eCMd} \]

Posteriormente, la Ecuación\ ref {M0221_EA} se convierte en:

\[d\widetilde{\bf A}({\bf r};{\bf r}') = \hat{\bf l}~\mu~\widetilde{I}~dl~\frac{e^{-\gamma \left|{\bf r}-{\bf r}'\right|}}{4\pi \left|{\bf r}-{\bf r}'\right|} \label{m0221_eAd} \]

donde la notación\(d\widetilde{\bf A}({\bf r};{\bf r}')\) se usa para denotar el potencial del vector magnético en el punto de campo\({\bf r}\) debido al momento actual de longitud diferencial en el punto fuente\({\bf r}'\). A continuación, considere que cualquier distribución de corriente puede describirse como una distribución de momentos actuales. Por el principio de superposición, la radiación de esta distribución de momentos actuales se puede calcular como la suma de la radiación de los momentos actuales individuales. Esto se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

\[\widetilde{\bf A}({\bf r}) = \int{ d\widetilde{\bf A}({\bf r};{\bf r}') } \label{m0221_eAi} \]

donde la integral ha terminado\({\bf r}'\); es decir, sumando sobre la corriente fuente.

Si sustituimos la Ecuación\ ref {M0221_EAD} por la Ecuación\ ref {M0221_EAI}, obtenemos la solución derivada en la Sección 9.3, que es específica para distribuciones de línea de corriente. Para obtener la solución para distribuciones de superficie y volumen de corriente, reinterpretamos la definición del momento de corriente diferencial en la Ecuación\ ref {M0221_eCMD}. Tenga en cuenta que esta corriente está completamente especificada por su dirección (\(\hat{\bf l}\)) y la cantidad\(\widetilde{I}~dl\), que tiene unidades base SI de A\(\cdot\) m. Podemos describir la misma distribución de corriente alternativamente de la siguiente manera:

\[d\widetilde{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf l}~\widetilde{J}_s~ds~\delta({\bf r}-{\bf r}') \label{m0221_eCM2} \]

donde\(\widetilde{J}_s\) tiene unidades de densidad de corriente superficial (unidades base SI de A/m) y\(ds\) tiene unidades de área (unidades base SI de m\(^2\)). Para enfatizar que este es precisamente el mismo momento actual, tenga en cuenta que\(\widetilde{J}_s~ds\), al igual que\(\widetilde{I}~dl\), tiene unidades de A\(\cdot\) m. de igual manera,

\[d\widetilde{\bf J}({\bf r}) = \hat{\bf l}~\widetilde{J}~dv~\delta({\bf r}-{\bf r}') \label{m0221_eCM3} \]

donde\(\widetilde{J}\) tiene unidades de densidad de corriente volumétrica (unidades base SI de A/m\(^2\)) y\(dv\) tiene unidades de volumen (unidades base SI de m\(^3\)). Nuevamente,\(\widetilde{J}~dv\) tiene unidades de A\(\cdot\) m. Resumiendo, hemos encontrado que

\[\widetilde{I}~dl = \widetilde{J}_s~ds = \widetilde{J}~dv \label{m0221_eCDE} \]

todos describen el mismo momento de corriente diferencial.

Así, podemos obtener soluciones para distribuciones de superficie y volumen de corriente simplemente reemplazando\(\widetilde{I}~dl\) en la Ecuación\ ref {M0221_EAD}, y posteriormente en la Ecuación\ ref {M0221_EAI}, con la cantidad apropiada de la Ecuación\ ref {M0221_ECDE}. Para una distribución de corriente superficial, obtenemos:

\[\boxed{ \widetilde{\bf A}({\bf r}) = \frac{\mu}{4\pi}~\int_{\mathcal{S}}~\widetilde{\bf J}_s({\bf r}') ~\frac{e^{-\gamma \left|{\bf r}-{\bf r}'\right|}}{\left|{\bf r}-{\bf r}'\right|} ~ds } \label{m0221_eAS} \]

dónde\(\widetilde{\bf J}_s({\bf r}') \triangleq \hat{\bf l}({\bf r}')\widetilde{J}_s({\bf r}')\) y dónde\(\mathcal{S}\) está la superficie sobre la que fluye la corriente. De manera similar para una distribución de corriente de volumen, obtenemos:

\[\boxed{ \widetilde{\bf A}({\bf r}) = \frac{\mu}{4\pi}~\int_{\mathcal{V}} ~\widetilde{\bf J}({\bf r}') ~\frac{e^{-\gamma \left|{\bf r}-{\bf r}'\right|}}{\left|{\bf r}-{\bf r}'\right|} ~dv } \label{m0221_eAV} \]

dónde\(\widetilde{\bf J}({\bf r}') \triangleq \hat{\bf l}({\bf r}')\widetilde{J}({\bf r}')\) y dónde\(\mathcal{V}\) está el volumen en el que fluye la corriente.

El potencial de vector magnético correspondiente a la radiación de una superficie y distribución volumétrica de la corriente viene dado por las Ecuaciones\ ref {M0221_Eas} y\ ref {M0221_EaV}, respectivamente.

Dado\(\widetilde{\bf A}({\bf r})\), los campos magnético y eléctrico pueden determinarse utilizando el procedimiento desarrollado en la Sección 9.2.